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6. 计算：
(1) $(-3× 2)^2 - 3× 2^2$；
(2) $-1^3 - (1 - \dfrac{1}{2}) ÷ 3 × [(-2)^2 -5]$。
(1) $(-3× 2)^2 - 3× 2^2$；
(2) $-1^3 - (1 - \dfrac{1}{2}) ÷ 3 × [(-2)^2 -5]$。
答案
6. (1) 24；(2) $-\dfrac{5}{6}$.
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题时需严格遵循有理数混合运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算从左到右依次计算；③有括号时先算括号内的，按小括号、中括号的顺序依次计算。同时要注意区分乘方的底数，避免符号计算错误。
对于(1)，先计算小括号内的乘法，再分别计算两个乘方项，接着算乘法，最后做减法即可；对于(2)，先计算所有乘方项，再依次计算小括号、中括号内的运算，之后按从左到右顺序计算乘除，最后计算减法即可。
【解析】
(1) 按照运算顺序逐步计算：
$\begin{aligned}(-3×2)^2 - 3×2^2&= (-6)^2 - 3×4\\&=36 - 12\\&=24\end{aligned}$
(2) 按运算优先级逐步推导：
$\begin{aligned}-1^3 - (1 - \frac{1}{2}) ÷ 3 × [(-2)^2 -5]&=-1 - \frac{1}{2} ÷ 3 × (4 -5)\\&=-1 - \frac{1}{2} × \frac{1}{3} × (-1)\\&=-1 + \frac{1}{6}\\&=-\frac{5}{6}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{24}$；(2) $\boxed{-\dfrac{5}{6}}$
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 有理数混合运算顺序
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，核心是要牢记运算优先级，特别要注意乘方运算的符号规则，避免出现将$-1^3$算成$1$、$3×2^2$算成$(3×2)^2$这类常见错误，计算时按照步骤逐步推导即可保证正确率。
【难度系数】
0.75
本题考查有理数的混合运算，解题时需严格遵循有理数混合运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算从左到右依次计算；③有括号时先算括号内的，按小括号、中括号的顺序依次计算。同时要注意区分乘方的底数，避免符号计算错误。
对于(1)，先计算小括号内的乘法，再分别计算两个乘方项，接着算乘法，最后做减法即可；对于(2)，先计算所有乘方项，再依次计算小括号、中括号内的运算，之后按从左到右顺序计算乘除，最后计算减法即可。
【解析】
(1) 按照运算顺序逐步计算：
$\begin{aligned}(-3×2)^2 - 3×2^2&= (-6)^2 - 3×4\\&=36 - 12\\&=24\end{aligned}$
(2) 按运算优先级逐步推导：
$\begin{aligned}-1^3 - (1 - \frac{1}{2}) ÷ 3 × [(-2)^2 -5]&=-1 - \frac{1}{2} ÷ 3 × (4 -5)\\&=-1 - \frac{1}{2} × \frac{1}{3} × (-1)\\&=-1 + \frac{1}{6}\\&=-\frac{5}{6}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{24}$；(2) $\boxed{-\dfrac{5}{6}}$
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 有理数混合运算顺序
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，核心是要牢记运算优先级，特别要注意乘方运算的符号规则，避免出现将$-1^3$算成$1$、$3×2^2$算成$(3×2)^2$这类常见错误，计算时按照步骤逐步推导即可保证正确率。
【难度系数】
0.75
问题 “数形结合”是一种重要的数学思想，观察下面的图形和算式.
$1+3=4=2^2$
$1+3+5=9=3^2$
$1+3+5+7=16=4^2$
$1+3+5+7+9=25=5^2$
解答下列问题：
（1）试猜想：$1+3+5+7+9+\dots+19=$$=($$)^2$；
（2）试猜想：当$n$是正整数时，$1+3+5+7+9+\dots+(2n-1)=$；
（3）请用(2)中得到的规律计算：$19+21+23+25+27+\dots+99$.
名师指导
认真观察各式的特点找规律.
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
$1+3=4=2^2$
$1+3+5=9=3^2$
$1+3+5+7=16=4^2$
$1+3+5+7+9=25=5^2$
解答下列问题：
（1）试猜想：$1+3+5+7+9+\dots+19=$$=($$)^2$；
（2）试猜想：当$n$是正整数时，$1+3+5+7+9+\dots+(2n-1)=$；
（3）请用(2)中得到的规律计算：$19+21+23+25+27+\dots+99$.
名师指导
认真观察各式的特点找规律.
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
答案
解：
（1）$1+3+5+7+9+\dots+19=100=10^2$；
（2）当$n$是正整数时，$1+3+5+7+9+\dots+(2n-1)=n^2$；
（3）$19+21+23+25+27+\dots+99$
$=(1+3+5+\dots+99)-(1+3+5+\dots+17)$
$=50^2 - 9^2$
$=2500 - 81$
$=2419$
（1）$1+3+5+7+9+\dots+19=100=10^2$；
（2）当$n$是正整数时，$1+3+5+7+9+\dots+(2n-1)=n^2$；
（3）$19+21+23+25+27+\dots+99$
$=(1+3+5+\dots+99)-(1+3+5+\dots+17)$
$=50^2 - 9^2$
$=2500 - 81$
$=2419$
解析
【分析】
首先观察给出的已知算式，可总结出规律：从1开始的连续奇数相加，和等于奇数的总个数的平方。
(1) 解决第一问时，先统计1到19的连续奇数的总个数，代入规律即可得到结果；
(2) 第二问中$2n-1$是从1开始的第n个奇数，按照总结的规律可直接写出求和结果；
(3) 第三问的算式不是从1开始的连续奇数求和，可将其转化为「从1加到99的所有奇数的和」减去「从1加到17的所有奇数的和」，再用第二问得到的规律分别计算两部分的和，相减即可得到最终结果。
【解析】
解：观察已知算式可得规律：从1开始的连续k个奇数相加，和等于$k^2$。
(1) 1到19的奇数一共有$\frac{19+1}{2}=10$个，因此$1+3+5+7+9+\dots+19=10^2=100$；
(2) 式子$1+3+5+7+9+\dots+(2n-1)$中，共有n个连续奇数，因此和为$n^2$；
(3) 计算$19+21+23+25+27+\dots+99$时，先将式子变形：
$\begin{aligned}19+21+23+\dots+99&=(1+3+5+\dots+99)-(1+3+5+\dots+17)\\&=50^2 - 9^2\\&=2500 - 81\\&=2419\end{aligned}$
【答案】
(1) $100$，$10$
(2) $n^2$
(3) $2419$
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方，加减法巧算
【点评】
本题考查观察归纳能力和知识迁移能力，解题的核心是先总结从1开始的连续奇数的求和规律，再将非标准形式的求和转化为符合规律的形式计算，很好地体现了数形结合和转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
首先观察给出的已知算式，可总结出规律：从1开始的连续奇数相加，和等于奇数的总个数的平方。
(1) 解决第一问时，先统计1到19的连续奇数的总个数，代入规律即可得到结果；
(2) 第二问中$2n-1$是从1开始的第n个奇数，按照总结的规律可直接写出求和结果；
(3) 第三问的算式不是从1开始的连续奇数求和，可将其转化为「从1加到99的所有奇数的和」减去「从1加到17的所有奇数的和」，再用第二问得到的规律分别计算两部分的和，相减即可得到最终结果。
【解析】
解：观察已知算式可得规律：从1开始的连续k个奇数相加，和等于$k^2$。
(1) 1到19的奇数一共有$\frac{19+1}{2}=10$个，因此$1+3+5+7+9+\dots+19=10^2=100$；
(2) 式子$1+3+5+7+9+\dots+(2n-1)$中，共有n个连续奇数，因此和为$n^2$；
(3) 计算$19+21+23+25+27+\dots+99$时，先将式子变形：
$\begin{aligned}19+21+23+\dots+99&=(1+3+5+\dots+99)-(1+3+5+\dots+17)\\&=50^2 - 9^2\\&=2500 - 81\\&=2419\end{aligned}$
【答案】
(1) $100$，$10$
(2) $n^2$
(3) $2419$
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方，加减法巧算
【点评】
本题考查观察归纳能力和知识迁移能力，解题的核心是先总结从1开始的连续奇数的求和规律，再将非标准形式的求和转化为符合规律的形式计算，很好地体现了数形结合和转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
1. 下列说法正确的是（
A.一个数的偶次幂一定是正数
B.一个正数的平方比原数大
C.一个负数的立方比原数小
D.互为相反数的两个数的立方仍互为相反数
D
）A.一个数的偶次幂一定是正数
B.一个正数的平方比原数大
C.一个负数的立方比原数小
D.互为相反数的两个数的立方仍互为相反数
答案
1. D.
解析
【分析】
本题考查有理数乘方的基本性质，解题可采用排除法，逐个分析选项：先回忆乘方的运算规则，再结合0、大于0小于1的正数、大于-1小于0的负数等特殊值验证选项是否成立，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 0的偶次幂为0，0不是正数，因此“一个数的偶次幂一定是正数”的说法错误；
B. 举反例：正数0.5的平方为0.25，0.25＜0.5；正数1的平方为1，和原数相等，因此该说法错误；
C. 举反例：负数-0.5的立方为-0.125，根据负数比较大小的规则，-0.125＞-0.5，因此该说法错误；
D. 设互为相反数的两个数为a和-a，根据乘方运算规则，$(-a)^3=-a^3$，即$a^3$与$-a^3$仍互为相反数，因此该说法正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算，相反数的性质
【点评】
本题是乘方性质的基础考查题，解题时要注意考虑特殊数值的运算结果，避免因忽略特殊情况而判断错误。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数乘方的基本性质，解题可采用排除法，逐个分析选项：先回忆乘方的运算规则，再结合0、大于0小于1的正数、大于-1小于0的负数等特殊值验证选项是否成立，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 0的偶次幂为0，0不是正数，因此“一个数的偶次幂一定是正数”的说法错误；
B. 举反例：正数0.5的平方为0.25，0.25＜0.5；正数1的平方为1，和原数相等，因此该说法错误；
C. 举反例：负数-0.5的立方为-0.125，根据负数比较大小的规则，-0.125＞-0.5，因此该说法错误；
D. 设互为相反数的两个数为a和-a，根据乘方运算规则，$(-a)^3=-a^3$，即$a^3$与$-a^3$仍互为相反数，因此该说法正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算，相反数的性质
【点评】
本题是乘方性质的基础考查题，解题时要注意考虑特殊数值的运算结果，避免因忽略特殊情况而判断错误。
【难度系数】
0.8
