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三、解答题
7. 如图，在给出的方格内通过放大或缩小画出已给图形的相似图形.
7. 如图，在给出的方格内通过放大或缩小画出已给图形的相似图形.
答案
解：
依据相似多边形的定义：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
1. 绘制放大相似图形：选取相似比为2，将原图形每条边的长度扩大为原来的2倍，保持所有内角大小与原图形一致，在右上方方格内顺次连接各边端点，得到的图形即为原图形放大后的相似图形。
2. 绘制缩小相似图形：选取相似比为$\frac{1}{2}$，将原图形每条边的长度缩小为原来的$\frac{1}{2}$，保持所有内角大小与原图形一致，在右下方方格内顺次连接各边端点，得到的图形即为原图形缩小后的相似图形。
注：相似比选取合理，所作图形满足相似多边形性质即可。
依据相似多边形的定义：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
1. 绘制放大相似图形：选取相似比为2，将原图形每条边的长度扩大为原来的2倍，保持所有内角大小与原图形一致，在右上方方格内顺次连接各边端点，得到的图形即为原图形放大后的相似图形。
2. 绘制缩小相似图形：选取相似比为$\frac{1}{2}$，将原图形每条边的长度缩小为原来的$\frac{1}{2}$，保持所有内角大小与原图形一致，在右下方方格内顺次连接各边端点，得到的图形即为原图形缩小后的相似图形。
注：相似比选取合理，所作图形满足相似多边形性质即可。
解析
【分析】
要绘制已知图形的相似图形，首先要明确相似图形的核心特征：对应角相等，对应边成比例。解题时首先确定合适的相似比：放大图形可选择大于1的相似比，如2；缩小图形可选择小于1的相似比，如$\frac{1}{2}$。接下来数出原图形每条边所占的方格长度，按照选定的相似比计算出缩放后对应边的长度，作图时保持所有内角的大小与原图形完全一致，最后顺次连接各个端点就能得到符合要求的相似图形。
【解析】
依据相似多边形的定义：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
1. 绘制放大相似图形：选取相似比为2，将原图形每条边的长度扩大为原来的2倍，保持所有内角大小与原图形一致，在右上方方格内顺次连接各边端点，得到的图形即为原图形放大后的相似图形。
2. 绘制缩小相似图形：选取相似比为$\frac{1}{2}$，将原图形每条边的长度缩小为原来的$\frac{1}{2}$，保持所有内角大小与原图形一致，在右下方方格内顺次连接各边端点，得到的图形即为原图形缩小后的相似图形。
注：相似比选取合理，所作图形满足相似多边形性质即可。
【答案】
选择合理相似比，分别作出满足对应角相等、对应边成比例的放大、缩小图形即可。
【知识点】
相似多边形的定义，图形的缩放，相似图形作图
【点评】
这道题侧重考查对相似图形特征的理解与动手作图能力，只要把握相似图形“对应角相等、对应边成比例”的核心要求，选择合适的相似比即可完成作图，作图时注意保证边的比例和角的大小准确即可。
【难度系数】
0.8
要绘制已知图形的相似图形，首先要明确相似图形的核心特征：对应角相等，对应边成比例。解题时首先确定合适的相似比：放大图形可选择大于1的相似比，如2；缩小图形可选择小于1的相似比，如$\frac{1}{2}$。接下来数出原图形每条边所占的方格长度，按照选定的相似比计算出缩放后对应边的长度，作图时保持所有内角的大小与原图形完全一致，最后顺次连接各个端点就能得到符合要求的相似图形。
【解析】
依据相似多边形的定义：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
1. 绘制放大相似图形：选取相似比为2，将原图形每条边的长度扩大为原来的2倍，保持所有内角大小与原图形一致，在右上方方格内顺次连接各边端点，得到的图形即为原图形放大后的相似图形。
2. 绘制缩小相似图形：选取相似比为$\frac{1}{2}$，将原图形每条边的长度缩小为原来的$\frac{1}{2}$，保持所有内角大小与原图形一致，在右下方方格内顺次连接各边端点，得到的图形即为原图形缩小后的相似图形。
注：相似比选取合理，所作图形满足相似多边形性质即可。
【答案】
选择合理相似比，分别作出满足对应角相等、对应边成比例的放大、缩小图形即可。
【知识点】
相似多边形的定义，图形的缩放，相似图形作图
【点评】
这道题侧重考查对相似图形特征的理解与动手作图能力，只要把握相似图形“对应角相等、对应边成比例”的核心要求，选择合适的相似比即可完成作图，作图时注意保证边的比例和角的大小准确即可。
【难度系数】
0.8
8. 如图，在$△ ABC$中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，$△ DEF$与$△ ABC$相似吗？为什么？
(第8题)
(第8题)答案
解：△DEF与△ABC相似，理由如下：
∵ D，E分别是BC，CA的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//AB，且$DE=\frac{1}{2}AB$。
同理可得：$EF// BC$，且$EF=\frac{1}{2}BC$；$FD// AC$，且$FD=\frac{1}{2}AC$。
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{FD}{AC}=\frac{1}{2}$。
由$DE// AB$，$EF// BC$，可得$∠ DEF=∠ A$，$∠ DFE=∠ B$，
同理可得$∠ EDF=∠ C$。
即△DEF与△ABC的对应角相等，对应边成比例，
∴ △DEF与△ABC相似。
∵ D，E分别是BC，CA的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//AB，且$DE=\frac{1}{2}AB$。
同理可得：$EF// BC$，且$EF=\frac{1}{2}BC$；$FD// AC$，且$FD=\frac{1}{2}AC$。
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{FD}{AC}=\frac{1}{2}$。
由$DE// AB$，$EF// BC$，可得$∠ DEF=∠ A$，$∠ DFE=∠ B$，
同理可得$∠ EDF=∠ C$。
即△DEF与△ABC的对应角相等，对应边成比例，
∴ △DEF与△ABC相似。
解析
【分析】
要判断△DEF与△ABC是否相似，可依据相似三角形的判定条件，验证两个三角形的对应角是否相等、对应边是否成比例。题目已知D、E、F分别是三角形三边的中点，首先联想到三角形中位线定理，借助中位线“平行于第三边且长度为第三边一半”的性质，可得到△DEF各边与△ABC对应边的比例关系，再由平行线的性质推导对应角相等，即可完成证明。
【解析】
△DEF与△ABC相似，理由如下：
∵ D，E分别是BC，CA的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//AB，且$DE=\frac{1}{2}AB$。
同理可得：$EF// BC$，且$EF=\frac{1}{2}BC$；$FD// AC$，且$FD=\frac{1}{2}AC$。
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{FD}{AC}=\frac{1}{2}$。
由$DE// AB$，$EF// BC$，可得$∠ DEF=∠ A$，$∠ DFE=∠ B$，
同理可得$∠ EDF=∠ C$。
即△DEF与△ABC的对应角相等，对应边成比例，
∴ △DEF与△ABC相似。
【答案】
△DEF与△ABC相似
【知识点】
三角形中位线定理、相似三角形判定、平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的突破口是结合中点条件运用中位线定理得到边、角的对应关系，这类题要求同学们熟练掌握中位线性质和相似三角形的判定规则，才能快速梳理证明思路。
【难度系数】
0.8
要判断△DEF与△ABC是否相似，可依据相似三角形的判定条件，验证两个三角形的对应角是否相等、对应边是否成比例。题目已知D、E、F分别是三角形三边的中点，首先联想到三角形中位线定理，借助中位线“平行于第三边且长度为第三边一半”的性质，可得到△DEF各边与△ABC对应边的比例关系，再由平行线的性质推导对应角相等，即可完成证明。
【解析】
△DEF与△ABC相似，理由如下：
∵ D，E分别是BC，CA的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//AB，且$DE=\frac{1}{2}AB$。
同理可得：$EF// BC$，且$EF=\frac{1}{2}BC$；$FD// AC$，且$FD=\frac{1}{2}AC$。
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{FD}{AC}=\frac{1}{2}$。
由$DE// AB$，$EF// BC$，可得$∠ DEF=∠ A$，$∠ DFE=∠ B$，
同理可得$∠ EDF=∠ C$。
即△DEF与△ABC的对应角相等，对应边成比例，
∴ △DEF与△ABC相似。
【答案】
△DEF与△ABC相似
【知识点】
三角形中位线定理、相似三角形判定、平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的突破口是结合中点条件运用中位线定理得到边、角的对应关系，这类题要求同学们熟练掌握中位线性质和相似三角形的判定规则，才能快速梳理证明思路。
【难度系数】
0.8
9. 矩形纸张的长与宽之比为$\sqrt{2}$，沿长边对折，所得的矩形纸张是否和原来的矩形纸张相似？请说明理由。
答案
解：所得的矩形纸张和原来的矩形纸张相似，理由如下：
设原来矩形纸张的宽为$a$，则它的长为$\sqrt{2}a$。
沿长边对折后，所得新矩形的长为$a$，宽为$\frac{\sqrt{2}a}{2}$。
原矩形长与宽的比为$\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$，
新矩形长与宽的比为$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}a}{2}}=\sqrt{2}$，
因此两个矩形的对应边成比例。
又因为两个矩形的所有内角都是直角，对应角相等。
根据相似多边形的定义，可知对折后所得的矩形纸张和原来的矩形纸张相似。
设原来矩形纸张的宽为$a$，则它的长为$\sqrt{2}a$。
沿长边对折后，所得新矩形的长为$a$，宽为$\frac{\sqrt{2}a}{2}$。
原矩形长与宽的比为$\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$，
新矩形长与宽的比为$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}a}{2}}=\sqrt{2}$，
因此两个矩形的对应边成比例。
又因为两个矩形的所有内角都是直角，对应角相等。
根据相似多边形的定义，可知对折后所得的矩形纸张和原来的矩形纸张相似。
解析
【分析】
要判断两个矩形是否相似，需结合相似多边形的判定条件分析：相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个要求。由于矩形的四个内角都是直角，因此两个矩形的对应角一定相等，只需验证对应边是否成比例即可。我们可以设原矩形的宽为参数$a$，根据已知的长宽比表示出原矩形的长，再求出沿长边对折后新矩形的长和宽，分别计算两个矩形长与宽的比值，判断比值是否相等即可得出结论。
【解析】
解：所得的矩形纸张和原来的矩形纸张相似，理由如下：
设原来矩形纸张的宽为$a$，则它的长为$\sqrt{2}a$。
沿长边对折后，所得新矩形的长为$a$，宽为$\frac{\sqrt{2}a}{2}$。
原矩形长与宽的比为$\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$，
新矩形长与宽的比为$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}a}{2}}=\sqrt{2}$，
因此两个矩形的对应边成比例。
又因为两个矩形的所有内角都是直角，对应角相等。
根据相似多边形的定义，可知对折后所得的矩形纸张和原来的矩形纸张相似。
【答案】
所得的矩形纸张和原来的矩形纸张相似。
【知识点】
相似多边形的判定、矩形的性质、比例化简
【点评】
本题是相似多边形判定的基础应用，解题时需注意对折后新矩形与原矩形的边的对应关系，结合矩形内角均为直角的性质，只需验证对应边成比例即可判定相似，通过设参数的方式可以简化比例计算过程。
【难度系数】
0.7
要判断两个矩形是否相似，需结合相似多边形的判定条件分析：相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个要求。由于矩形的四个内角都是直角，因此两个矩形的对应角一定相等，只需验证对应边是否成比例即可。我们可以设原矩形的宽为参数$a$，根据已知的长宽比表示出原矩形的长，再求出沿长边对折后新矩形的长和宽，分别计算两个矩形长与宽的比值，判断比值是否相等即可得出结论。
【解析】
解：所得的矩形纸张和原来的矩形纸张相似，理由如下：
设原来矩形纸张的宽为$a$，则它的长为$\sqrt{2}a$。
沿长边对折后，所得新矩形的长为$a$，宽为$\frac{\sqrt{2}a}{2}$。
原矩形长与宽的比为$\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$，
新矩形长与宽的比为$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}a}{2}}=\sqrt{2}$，
因此两个矩形的对应边成比例。
又因为两个矩形的所有内角都是直角，对应角相等。
根据相似多边形的定义，可知对折后所得的矩形纸张和原来的矩形纸张相似。
【答案】
所得的矩形纸张和原来的矩形纸张相似。
【知识点】
相似多边形的判定、矩形的性质、比例化简
【点评】
本题是相似多边形判定的基础应用，解题时需注意对折后新矩形与原矩形的边的对应关系，结合矩形内角均为直角的性质，只需验证对应边成比例即可判定相似，通过设参数的方式可以简化比例计算过程。
【难度系数】
0.7
