一、选择题
1. 已知点B在线段AC上，且AB：BC=1：2，则AC：BC等于()。

A.1：3
B.2：3
C.3：1
D.3：2

D

【分析】
遇到线段比例类问题，我们常用设参数法来简化计算。首先明确点B在线段AC上，说明整条线段AC的长度等于AB与BC的长度之和。已知AB:BC=1:2，我们可以把AB看作1份、BC看作2份，先计算出AC对应的份数，再求AC与BC的比值即可。
【解析】
∵ 点B在线段AC上
∴ 线段AC的长度为AB与BC的和，即$AC=AB+BC$
∵ $AB:BC=1:2$
∴ 设$AB=k$（$k＞0$），则$BC=2k$
代入得$AC=k+2k=3k$
因此$AC:BC=3k:2k=3:2$
故选D
【答案】
D
【知识点】
线段的和差计算、比例线段
【点评】
本题是比例线段的基础题型，核心解题方法是参数法，将比例关系转化为具体的长度表示再计算比值，解题时只需注意点的位置是在线段上，不需要考虑延长线的情况，仔细审题即可得分。
【难度系数】
0.9

2. 下列各组中的四条线段不成比例的是().

A.2，5，10，25
B.4，7，8，14
C.1，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，3
D.1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$

C

【分析】
要判断四条线段是否成比例，首先将四条线段按照从小到大的顺序排列，再根据比例的基本性质，验证最长线段与最短线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积：若乘积相等，则四条线段成比例；若乘积不相等，则不成比例。接下来按这个方法逐一验证各选项即可。
【解析】
我们使用“排序+乘积法”逐一分析选项：
A. 将线段从小到大排序为：2，5，10，25
计算乘积：$2×25=50$，$5×10=50$，乘积相等，四条线段成比例，不符合题意；
B. 将线段从小到大排序为：4，7，8，14
计算乘积：$4×14=56$，$7×8=56$，乘积相等，四条线段成比例，不符合题意；
C. 将线段从小到大排序为：$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，1，3
计算乘积：$\frac{1}{3}×3=1$，$\frac{1}{3}×1=\frac{1}{3}$，$1≠\frac{1}{3}$，乘积不相等，四条线段不成比例，符合题意；
D. 将线段从小到大排序为：1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$
计算乘积：$1×\sqrt{6}=\sqrt{6}$，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$，乘积相等，四条线段成比例，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 比例线段的判定
2. 比例的基本性质
【点评】
本题是比例线段相关的基础题，核心考查成比例线段的判断方法，解题时注意先排序再用乘积法验证，避免随意两两比对出现错误。
【难度系数】
0.8

3. 如果b是a和c的比例中项，且$a:b=12:8$，那么$b:c$等于().

A.$4:3$
B.$3:2$
C.$2:3$
D.$3:4$

B

【分析】
解题时首先回忆比例中项的相关性质：若b是a和c的比例中项，则满足a:b = b:c。题目已经直接给出a:b的比值，我们只需要先化简已知的a:b的比，就能直接得到b:c的结果，无需额外计算未知量。
【解析】
∵ b是a和c的比例中项
∴ 根据比例中项的性质可得：$a:b = b:c$
已知$a:b=12:8$，对12:8进行化简，前后项同时除以最大公约数4，得：
$12:8=(12÷4):(8÷4)=3:2$
因此$b:c = a:b = 3:2$
【答案】
B
【知识点】
比例中项的定义、比的化简
【点评】
本题是比例中项性质的基础应用题型，解题核心是牢记比例中项对应的比例关系，直接通过已知比化简就能得到答案，难度较低。
【难度系数】
0.8

二、填空题
4. 在比例尺为1∶5 000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25 cm，则甲、乙两地的实际距离是km.

$\boldsymbol{1.25}$

【分析】
解题首先要明确比例尺的定义：比例尺=图上距离∶实际距离，要求实际距离，我们可以根据比例尺的公式列比例式求解，最后要注意将计算得到的实际距离单位从厘米换算成题目要求的千米。具体步骤：第一步根据比例尺公式列出比例关系，第二步求解得到以厘米为单位的实际距离，第三步按照长度单位进率换算为千米即可。
【解析】
设甲、乙两地的实际距离为$ x \, \mathrm{cm} $，根据比例尺的定义可得：
$\frac{1}{5000} = \frac{25}{x}$
解得：$ x = 25 × 5000 = 125000 \, \mathrm{cm} $
进行单位换算：因为$ 1 \, \mathrm{km} = 100000 \, \mathrm{cm} $，所以$ 125000 \, \mathrm{cm} = 125000 ÷ 100000 = 1.25 \, \mathrm{km} $
【答案】
$\boldsymbol{1.25}$
【知识点】
比例尺的应用、比例线段、长度单位换算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查比例尺公式的运用，易错点是单位换算时容易记错厘米和千米之间的进率，做题时注意统一单位、按步计算即可避免错误。
【难度系数】
0.8

5.已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a=3 cm，b=2 cm，c=6 cm，则d=

$\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$

【分析】
要解决这道题，首先回忆成比例线段的定义：若四条线段a、b、c、d是成比例线段，则满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$的固定比例关系，不能随意调换线段顺序。接下来我们可以利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，代入已知的a、b、c的数值，即可求出d的长度。
【解析】
解：
∵线段a，b，c，d是成比例线段
∴$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
将$a=3\ \mathrm{cm}$，$b=2\ \mathrm{cm}$，$c=6\ \mathrm{cm}$代入上式，得：
$\frac{3}{2}=\frac{6}{d}$
根据比例的基本性质交叉相乘可得：
$3d=2×6$
$3d=12$
解得$d=4\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
成比例线段的定义；比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是明确成比例线段的顺序要求，不要随意调换四条线段的排列顺序，再结合比例的基本性质计算即可，解题时注意不要遗漏单位。
【难度系数】
0.8

6. 已知三个数1，2，3，再添上一个数，使它们构成一个比例式，这个数可以是。

解：设添加的这个数为x，根据比例的基本性质分三种情况计算：
① 若1、2为比例的同项（同为内项或同为外项），则1×2=3x，解得$x=\frac{2}{3}$；
② 若1、3为比例的同项（同为内项或同为外项），则1×3=2x，解得$x=\frac{3}{2}$；
③ 若2、3为比例的同项（同为内项或同为外项），则2×3=1x，解得$x=6$。
所以这个数可以是$\boldsymbol{6}$（答案不唯一，也可为$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{2}$）。

【分析】
要使四个数构成比例式，需依据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）求解。设添加的数为$x$，由于四个数中任意两个数都可同为内项或同为外项，因此需要分三种情况讨论：分别让已知的1和2、1和3、2和3作为同项，剩余的一个已知数和$x$作为另一组同项，根据比例基本性质列方程即可求出$x$的所有可能值。
【解析】
设添加的这个数为$x$，根据比例的基本性质分三种情况计算：
① 若1、2同为比例的内项或外项，则$1×2=3x$，解得$x=\frac{2}{3}$；
② 若1、3同为比例的内项或外项，则$1×3=2x$，解得$x=\frac{3}{2}$；
③ 若2、3同为比例的内项或外项，则$2×3=1× x$，解得$x=6$。
因此这个数可从上述三个结果中任选其一。
【答案】
6（答案不唯一，$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{2}$也正确）
【知识点】
比例的基本性质；分类讨论思想
【点评】
本题考查比例基本性质的应用，解题的关键是考虑到所有内项、外项的组合情况，避免漏解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7

三、解答题
7.（1）已知$a=4$，$c=9$，若$b$是$a$，$c$的比例中项，求$b$的值；
（2）已知三条线段的长度分别是4 cm，8 cm，5 cm，试写出另一条线段的长度，使这四条线段成比例。

解：
(1) ∵ b是a，c的比例中项，
∴ $b^2 = ac$，
将$a=4$，$c=9$代入得：$b^2 = 4×9 = 36$，
解得$b=\pm6$，
∵ 线段长度为正，
∴ $b=6$。
(2) 设所求第四条线段的长度为$x\ \mathrm{cm}$，分三种情况讨论：
① 若$4:8 = 5:x$，解得$x=10$；
② 若$4:x = 5:8$，解得$x=\frac{32}{5}$；
③ 若$x:4 = 5:8$，解得$x=\frac{5}{2}$。
综上，另一条线段的长度可以为$10\ \mathrm{cm}$或$\frac{32}{5}\ \mathrm{cm}$或$\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。

【分析】
（1）解决第一问首先要明确比例中项的定义：若b是a、c的比例中项，则满足$b^2=ac$，代入a、c的值计算后，结合b表示线段长度的隐含条件（长度为正数），舍去负根即可得到结果。
（2）解决第二问首先要注意题目没有指定四条线段成比例的顺序，因此需要分类讨论：将所求线段x分别放在比例的不同位置，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”列方程求解，即可得到所有符合条件的线段长度。
【解析】
(1)
∵ b是a，c的比例中项，
∴ $b^2 = ac$，
将$a=4$，$c=9$代入得：$b^2 = 4×9 = 36$，
解得$b=\pm6$，
∵ 线段长度为正，
∴ $b=6$。
(2) 设所求第四条线段的长度为$x\ \mathrm{cm}$，分三种情况讨论：
① 若$4:8 = 5:x$，根据比例的基本性质得$4x=8×5$，解得$x=10$；
② 若$4:x = 5:8$，根据比例的基本性质得$5x=4×8$，解得$x=\frac{32}{5}$；
③ 若$x:4 = 5:8$，根据比例的基本性质得$8x=4×5$，解得$x=\frac{5}{2}$。
综上，另一条线段的长度可以为$10\ \mathrm{cm}$或$\frac{32}{5}\ \mathrm{cm}$或$\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $b=6$；(2) $10\ \mathrm{cm}$或$\frac{32}{5}\ \mathrm{cm}$或$\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
比例中项、比例的基本性质、成比例线段
【点评】
本题是比例线段的基础题型，第一问需要注意结合线段的非负性对计算结果进行取舍，避免出现多解错误；第二问未指定四条线段成比例的顺序，解题时需要用到分类讨论思想，全面考虑所有可能的比例排列，避免漏解。
【难度系数】
0.7

8. 如图，直线$y=3x+3$与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作直线BP与x轴正半轴交于点P，取线段OA，OB，OP，当其中一条线段的长度是其他两条线段长度的比例中项时，求点P的坐标。

解：
对于直线$y=3x+3$：
令$y=0$，则$3x+3=0$，解得$x=-1$，得点$A(-1,0)$，故$OA=1$；
令$x=0$，则$y=3$，得点$B(0,3)$，故$OB=3$。
设点$P$的坐标为$(p,0)$，由$P$在$x$轴正半轴可知$p＞0$，故$OP=p$。
分三种情况讨论：
1. 若$OA$是$OB$，$OP$的比例中项：
由比例中项定义得$OA^2=OB· OP$，代入得$1^2=3p$，解得$p=\frac{1}{3}$，此时$P(\frac{1}{3},0)$；
2. 若$OB$是$OA$，$OP$的比例中项：
由比例中项定义得$OB^2=OA· OP$，代入得$3^2=1· p$，解得$p=9$，此时$P(9,0)$；
3. 若$OP$是$OA$，$OB$的比例中项：
由比例中项定义得$OP^2=OA· OB$，代入得$p^2=1×3$，结合$p＞0$解得$p=\sqrt{3}$，此时$P(\sqrt{3},0)$。
综上，点$P$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{1}{3},0)}$或$\boldsymbol{(9,0)}$或$\boldsymbol{(\sqrt{3},0)}$。

【分析】
首先利用一次函数与坐标轴交点的求解方法，求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度；再设点P的坐标为(p,0)，结合P在x轴正半轴得p＞0，即OP=p。根据比例中项的定义：若a是b、c的比例中项，则$a^2=b· c$，题目中三条线段均可作为另外两条的比例中项，因此分三种情况分别列方程求解，最后验证解满足p＞0的条件即可。
【解析】
对于直线$y=3x+3$：
令$y=0$，则$3x+3=0$，解得$x=-1$，得点$A(-1,0)$，故$OA=1$；
令$x=0$，则$y=3$，得点$B(0,3)$，故$OB=3$。
设点$P$的坐标为$(p,0)$，由$P$在$x$轴正半轴可知$p＞0$，故$OP=p$。
分三种情况讨论：
1. 若$OA$是$OB$，$OP$的比例中项：
由比例中项定义得$OA^2=OB· OP$，代入得$1^2=3p$，解得$p=\frac{1}{3}$，此时$P(\frac{1}{3},0)$；
2. 若$OB$是$OA$，$OP$的比例中项：
由比例中项定义得$OB^2=OA· OP$，代入得$3^2=1· p$，解得$p=9$，此时$P(9,0)$；
3. 若$OP$是$OA$，$OB$的比例中项：
由比例中项定义得$OP^2=OA· OB$，代入得$p^2=1×3$，结合$p＞0$解得$p=\sqrt{3}$，此时$P(\sqrt{3},0)$。
综上，点P的坐标为$\boldsymbol{(\frac{1}{3},0)}$或$\boldsymbol{(9,0)}$或$\boldsymbol{(\sqrt{3},0)}$。
【答案】
$\boldsymbol{(\frac{1}{3},0)}$或$\boldsymbol{(9,0)}$或$\boldsymbol{(\sqrt{3},0)}$
【知识点】
一次函数交点求解，比例中项，分类讨论
【点评】
本题重点考查比例中项的应用，解题时要注意根据“一条线段是另外两条线段的比例中项”的条件进行全面分类，避免漏解，同时要结合P点的位置限制，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.6