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1. 某射箭选手在同一条件下进行射箭训练，结果如下表所示：
| 射箭次数$n$ | 10 | 20 | 50 | 100 | 200 | 350 | 500 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 射中靶心的次数$m$ | 7 | 17 |
| 92 | 178 | 315 | 455 |
| 射中靶心的频率$\frac{m}{n}$ | 0.70 | 0.85 | 0.88 | 0.92 | 0.89 | 0.90 | 0.91 |
下列说法正确的是().
A.该选手射箭1次，射中靶心的概率约为0.90
B.该选手射箭80次，射中靶心的频率不超过0.90
C.该选手射箭400次，射中靶心的次数不超过360次
D.该选手射箭1000次，射中靶心的次数一定为910次
| 射箭次数$n$ | 10 | 20 | 50 | 100 | 200 | 350 | 500 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 射中靶心的次数$m$ | 7 | 17 |
| 92 | 178 | 315 | 455 || 射中靶心的频率$\frac{m}{n}$ | 0.70 | 0.85 | 0.88 | 0.92 | 0.89 | 0.90 | 0.91 |
下列说法正确的是().
A.该选手射箭1次，射中靶心的概率约为0.90
B.该选手射箭80次，射中靶心的频率不超过0.90
C.该选手射箭400次，射中靶心的次数不超过360次
D.该选手射箭1000次，射中靶心的次数一定为910次
答案
A
解析
【分析】
这道题考查用频率估计概率的相关知识，解题思路如下：首先明确核心原理：当大量重复进行同一试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。其次要区分概率和频率的差异：概率是稳定的数值，反映事件发生的可能性大小；而单次或少量试验的频率具有随机性，不能由概率直接断定某次或某几次试验的频率、频数一定为某个值。接下来结合表格数据和四个选项逐一判断即可。
【解析】
观察表格数据可知：随着射箭次数不断增大，射中靶心的频率逐渐稳定在0.90附近，根据用频率估计概率的规律，可估计该选手射箭1次，射中靶心的概率约为0.90。
对各选项逐一分析：
A选项：由上述推导可知，该说法符合频率估计概率的结论，正确；
B选项：频率具有随机性，射箭80次属于少量试验，射中靶心的频率有可能超过0.90，该说法错误；
C选项：概率0.90是估计值，仅反映事件发生的可能性，射箭400次时，射中靶心的次数有可能超过$400×0.90=360$次，该说法错误；
D选项：概率不代表事件必然发生，射箭1000次时，射中靶心的次数只是大约为910次，不是一定为910次，该说法错误。
【答案】
A
【知识点】
用频率估计概率；概率的意义
【点评】
本题解题的关键是正确理解频率与概率的联系和区别，要注意只有大量重复试验得到的稳定频率才能用来估计概率，不能把概率的估计值当做少量试验下的必然结果。
【难度系数】
0.7
这道题考查用频率估计概率的相关知识，解题思路如下：首先明确核心原理：当大量重复进行同一试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。其次要区分概率和频率的差异：概率是稳定的数值，反映事件发生的可能性大小；而单次或少量试验的频率具有随机性，不能由概率直接断定某次或某几次试验的频率、频数一定为某个值。接下来结合表格数据和四个选项逐一判断即可。
【解析】
观察表格数据可知：随着射箭次数不断增大，射中靶心的频率逐渐稳定在0.90附近，根据用频率估计概率的规律，可估计该选手射箭1次，射中靶心的概率约为0.90。
对各选项逐一分析：
A选项：由上述推导可知，该说法符合频率估计概率的结论，正确；
B选项：频率具有随机性，射箭80次属于少量试验，射中靶心的频率有可能超过0.90，该说法错误；
C选项：概率0.90是估计值，仅反映事件发生的可能性，射箭400次时，射中靶心的次数有可能超过$400×0.90=360$次，该说法错误；
D选项：概率不代表事件必然发生，射箭1000次时，射中靶心的次数只是大约为910次，不是一定为910次，该说法错误。
【答案】
A
【知识点】
用频率估计概率；概率的意义
【点评】
本题解题的关键是正确理解频率与概率的联系和区别，要注意只有大量重复试验得到的稳定频率才能用来估计概率，不能把概率的估计值当做少量试验下的必然结果。
【难度系数】
0.7
2. 如图(1)所示，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为20 cm²的长方形，将不规则图案围起来，然后随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了如图(2)所示的统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为().
A.6 cm²
B.7 cm²
C.8 cm²
D.9 cm²
A.6 cm²
B.7 cm²
C.8 cm²
D.9 cm²
答案
B
解析
【分析】
要估算不规则图案的面积，可利用频率估计概率的思路求解：首先，随机向长方形区域扔小球，小球落在不规则图案内的概率等于不规则图案面积与长方形面积的比值；其次，大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，因此我们可以从折线统计图中找到试验次数足够多时的稳定频率，将其作为概率的估计值，最后代入概率计算公式即可求出不规则图案的面积。
【解析】
观察折线统计图可知，当试验次数足够大时，小球落在不规则图案内的频率稳定在0.35附近，因此估计小球落在不规则图案内的概率为0.35。
设不规则图案的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$，已知长方形的面积为$20\ \mathrm{cm}^2$，根据几何概率的计算公式：
$P(\mathrm{落在不规则图案内})=\frac{\mathrm{不规则图案面积}}{\mathrm{长方形面积}}$
代入数据得：
$\frac{S}{20}=0.35$
解得：$S=20×0.35=7$
即不规则图案的面积大约为$7\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率、几何概率计算
【点评】
本题将频率估计概率的知识和实际问题结合，解题核心是理解大量重复试验下频率的稳定值即为概率，再结合几何概率的计算逻辑就能求解不规则图形的面积，体现了统计思想在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.7
要估算不规则图案的面积，可利用频率估计概率的思路求解：首先，随机向长方形区域扔小球，小球落在不规则图案内的概率等于不规则图案面积与长方形面积的比值；其次，大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，因此我们可以从折线统计图中找到试验次数足够多时的稳定频率，将其作为概率的估计值，最后代入概率计算公式即可求出不规则图案的面积。
【解析】
观察折线统计图可知，当试验次数足够大时，小球落在不规则图案内的频率稳定在0.35附近，因此估计小球落在不规则图案内的概率为0.35。
设不规则图案的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$，已知长方形的面积为$20\ \mathrm{cm}^2$，根据几何概率的计算公式：
$P(\mathrm{落在不规则图案内})=\frac{\mathrm{不规则图案面积}}{\mathrm{长方形面积}}$
代入数据得：
$\frac{S}{20}=0.35$
解得：$S=20×0.35=7$
即不规则图案的面积大约为$7\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率、几何概率计算
【点评】
本题将频率估计概率的知识和实际问题结合，解题核心是理解大量重复试验下频率的稳定值即为概率，再结合几何概率的计算逻辑就能求解不规则图形的面积，体现了统计思想在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.7
3. 某学习小组在做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的试验最有可能是().
A.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B.在一个装有3个红球、6个白球的箱子里（小球除颜色外都相同），从中摸到的是红球
C.抛一个质地均匀的骰子，向上的点数是5
D.抛一枚质地均匀的硬币，出现的是反面
A.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B.在一个装有3个红球、6个白球的箱子里（小球除颜色外都相同），从中摸到的是红球
C.抛一个质地均匀的骰子，向上的点数是5
D.抛一枚质地均匀的硬币，出现的是反面
答案
B
解析
【分析】
根据用频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在对应的概率附近。我们首先从表格中观察频率的稳定值，得到该事件的概率大概数值，再分别计算四个选项对应事件的概率，选出概率和该数值匹配的选项即可。
【解析】
观察表格可知，随着试验次数逐渐增加，频率逐渐稳定在0.333附近，即该事件的概率约为$\frac{1}{3}$。
逐一计算各选项对应事件的概率：
A. 去掉大小王的普通扑克牌共52张，其中红桃有13张，任抽一张是红桃的概率为$\frac{13}{52}=\frac{1}{4}=0.25$，和0.333不匹配；
B. 箱子里总共有$3+6=9$个除颜色外都相同的球，其中红球有3个，摸到红球的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\approx0.333$，和稳定频率匹配；
C. 质地均匀的骰子共有6个不同的点数，向上点数是5的概率为$\frac{1}{6}\approx0.167$，和0.333不匹配；
D. 抛质地均匀的硬币，只有正面、反面两种等可能结果，出现反面的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，和0.333不匹配。
综上符合条件的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率，简单事件概率计算
【点评】
本题考查对频率与概率关系的理解，解题关键是明确大量重复试验下频率的稳定值就是事件的概率，再结合简单概率计算即可求解，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
根据用频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在对应的概率附近。我们首先从表格中观察频率的稳定值，得到该事件的概率大概数值，再分别计算四个选项对应事件的概率，选出概率和该数值匹配的选项即可。
【解析】
观察表格可知，随着试验次数逐渐增加，频率逐渐稳定在0.333附近，即该事件的概率约为$\frac{1}{3}$。
逐一计算各选项对应事件的概率：
A. 去掉大小王的普通扑克牌共52张，其中红桃有13张，任抽一张是红桃的概率为$\frac{13}{52}=\frac{1}{4}=0.25$，和0.333不匹配；
B. 箱子里总共有$3+6=9$个除颜色外都相同的球，其中红球有3个，摸到红球的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\approx0.333$，和稳定频率匹配；
C. 质地均匀的骰子共有6个不同的点数，向上点数是5的概率为$\frac{1}{6}\approx0.167$，和0.333不匹配；
D. 抛质地均匀的硬币，只有正面、反面两种等可能结果，出现反面的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，和0.333不匹配。
综上符合条件的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率，简单事件概率计算
【点评】
本题考查对频率与概率关系的理解，解题关键是明确大量重复试验下频率的稳定值就是事件的概率，再结合简单概率计算即可求解，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
