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三、解答题
7. 某盒子中装有6张黑色卡片和若干张白色卡片，它们除颜色外其余都相同.某班级为估计盒子中白色卡片的张数，分15个组进行摸卡片试验.每一组做300次试验，汇总后，摸到白色卡片的次数为1500次.
（1）估计从盒子中任意摸出一张卡片，恰好是白色卡片的概率；
（2）请你估计这个盒子中白色卡片的张数.
7. 某盒子中装有6张黑色卡片和若干张白色卡片，它们除颜色外其余都相同.某班级为估计盒子中白色卡片的张数，分15个组进行摸卡片试验.每一组做300次试验，汇总后，摸到白色卡片的次数为1500次.
（1）估计从盒子中任意摸出一张卡片，恰好是白色卡片的概率；
（2）请你估计这个盒子中白色卡片的张数.
答案
解：
（1）总试验次数为 $15×300=4500$ 次，
摸到白色卡片的频率为 $\frac{1500}{4500}=\frac{1}{3}$，
根据频率估计概率的原理，估计从盒子中任意摸出一张卡片，恰好是白色卡片的概率为 $\frac{1}{3}$。
（2）设盒子中白色卡片的张数为 $x$，
根据题意列方程：
$\frac{x}{x+6}=\frac{1}{3}$
解得 $x=3$，
经检验，$x=3$ 是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：（1）恰好摸到白色卡片的概率估计为$\frac{1}{3}$；（2）估计盒子中白色卡片的张数为3张。
（1）总试验次数为 $15×300=4500$ 次，
摸到白色卡片的频率为 $\frac{1500}{4500}=\frac{1}{3}$，
根据频率估计概率的原理，估计从盒子中任意摸出一张卡片，恰好是白色卡片的概率为 $\frac{1}{3}$。
（2）设盒子中白色卡片的张数为 $x$，
根据题意列方程：
$\frac{x}{x+6}=\frac{1}{3}$
解得 $x=3$，
经检验，$x=3$ 是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：（1）恰好摸到白色卡片的概率估计为$\frac{1}{3}$；（2）估计盒子中白色卡片的张数为3张。
解析
【分析】
（1）要估计摸出白色卡片的概率，可根据大量重复试验中频率稳定于概率的原理求解：先计算总试验次数，再用摸到白色卡片的次数除以总试验次数得到频率，即可作为概率的估计值。
（2）求白色卡片张数时，可设白色卡片为x张，根据概率公式“某事件概率=该事件对应情况数÷总情况数”，结合（1）中得到的概率列分式方程求解，求解后需检验方程的解是否符合实际意义。
【解析】
（1）总试验次数为：$15×300=4500$（次）
摸到白色卡片的频率为：$\frac{1500}{4500}=\frac{1}{3}$
根据频率估计概率的原理，估计从盒子中任意摸出一张卡片，恰好是白色卡片的概率为$\frac{1}{3}$。
（2）设盒子中白色卡片的张数为$x$，根据题意列方程：
$\frac{x}{x+6}=\frac{1}{3}$
解得：$3x=x+6$，$2x=6$，$x=3$
经检验，$x=3$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
（1）$\frac{1}{3}$；（2）3张
【知识点】
用频率估计概率、概率公式、分式方程的应用
【点评】
本题结合实际摸卡试验场景，考查频率与概率的关系，以及运用概率公式列方程求解未知量的能力，解题时要注意分式方程求出解后需检验是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
（1）要估计摸出白色卡片的概率，可根据大量重复试验中频率稳定于概率的原理求解：先计算总试验次数，再用摸到白色卡片的次数除以总试验次数得到频率，即可作为概率的估计值。
（2）求白色卡片张数时，可设白色卡片为x张，根据概率公式“某事件概率=该事件对应情况数÷总情况数”，结合（1）中得到的概率列分式方程求解，求解后需检验方程的解是否符合实际意义。
【解析】
（1）总试验次数为：$15×300=4500$（次）
摸到白色卡片的频率为：$\frac{1500}{4500}=\frac{1}{3}$
根据频率估计概率的原理，估计从盒子中任意摸出一张卡片，恰好是白色卡片的概率为$\frac{1}{3}$。
（2）设盒子中白色卡片的张数为$x$，根据题意列方程：
$\frac{x}{x+6}=\frac{1}{3}$
解得：$3x=x+6$，$2x=6$，$x=3$
经检验，$x=3$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
（1）$\frac{1}{3}$；（2）3张
【知识点】
用频率估计概率、概率公式、分式方程的应用
【点评】
本题结合实际摸卡试验场景，考查频率与概率的关系，以及运用概率公式列方程求解未知量的能力，解题时要注意分式方程求出解后需检验是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
8. 在3件同型号的产品A，B，C中，A为不合格产品，B，C为合格产品.在这3件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则x的值是多少？
答案
解：
∵大量重复试验后，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率约为0.95。
加入x件合格品后，产品总数量为$(x+3)$件，合格品总数量为$(x+2)$件，
由此列方程：
$\frac{x+2}{x+3}=0.95$
解方程：
$x+2=0.95(x+3)$
$x+2=0.95x+2.85$
$0.05x=0.85$
$x=17$
检验：当$x=17$时，$x+3=20≠0$，故$x=17$是原分式方程的解，且符合题意。
答：x的值是17。
∵大量重复试验后，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率约为0.95。
加入x件合格品后，产品总数量为$(x+3)$件，合格品总数量为$(x+2)$件，
由此列方程：
$\frac{x+2}{x+3}=0.95$
解方程：
$x+2=0.95(x+3)$
$x+2=0.95x+2.85$
$0.05x=0.85$
$x=17$
检验：当$x=17$时，$x+3=20≠0$，故$x=17$是原分式方程的解，且符合题意。
答：x的值是17。
解析
【分析】
解题时首先明确：大量重复试验中，频率稳定到的数值就是对应事件发生的概率，由此可得抽到合格品的概率为0.95。接下来先确定加入x件合格品后，合格品的总数量和产品的总数量，再根据“概率=所求情况数与总情况数之比”列出分式方程，解方程后注意检验根是否符合实际意义和分式方程的要求即可。
【解析】
∵大量重复试验后，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率约为0.95。
加入x件合格品后，产品总数量为$(x+3)$件，合格品总数量为$(x+2)$件，
根据概率计算公式列方程得：
$\frac{x+2}{x+3}=0.95$
解方程：
两边同乘$(x+3)$得：$x+2=0.95(x+3)$
展开得：$x+2=0.95x+2.85$
移项合并同类项得：$0.05x=0.85$
解得：$x=17$
检验：当$x=17$时，$x+3=20≠0$，故$x=17$是原分式方程的解，且符合实际题意。
【答案】
x的值是17
【知识点】
用频率估计概率、概率的计算、分式方程求解
【点评】
本题是频率估计概率与分式方程结合的基础应用题，解题关键是掌握频率与概率的关系，准确找到合格品数量和总产品数量两个对应量列方程，同时要注意分式方程必须检验根的合理性。
【难度系数】
0.75
解题时首先明确：大量重复试验中，频率稳定到的数值就是对应事件发生的概率，由此可得抽到合格品的概率为0.95。接下来先确定加入x件合格品后，合格品的总数量和产品的总数量，再根据“概率=所求情况数与总情况数之比”列出分式方程，解方程后注意检验根是否符合实际意义和分式方程的要求即可。
【解析】
∵大量重复试验后，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率约为0.95。
加入x件合格品后，产品总数量为$(x+3)$件，合格品总数量为$(x+2)$件，
根据概率计算公式列方程得：
$\frac{x+2}{x+3}=0.95$
解方程：
两边同乘$(x+3)$得：$x+2=0.95(x+3)$
展开得：$x+2=0.95x+2.85$
移项合并同类项得：$0.05x=0.85$
解得：$x=17$
检验：当$x=17$时，$x+3=20≠0$，故$x=17$是原分式方程的解，且符合实际题意。
【答案】
x的值是17
【知识点】
用频率估计概率、概率的计算、分式方程求解
【点评】
本题是频率估计概率与分式方程结合的基础应用题，解题关键是掌握频率与概率的关系，准确找到合格品数量和总产品数量两个对应量列方程，同时要注意分式方程必须检验根的合理性。
【难度系数】
0.75
9. 一个口袋中放有 20 个球，其中红球 6 个，白球和黑球各若干个，每个球除了颜色以外没有任何区别.
（1）小王通过大量重复的试验（每次取一个球，放回搅匀后再取第二个）发现，取出黑球的频率稳定在$\frac{1}{4}$，请你估计袋中黑球的个数；
（2）若小王取出的第一个球是白球，将它放在桌上，然后从袋中余下的球中再任意取出一个球，此时取出红球的概率是多少？
（1）小王通过大量重复的试验（每次取一个球，放回搅匀后再取第二个）发现，取出黑球的频率稳定在$\frac{1}{4}$，请你估计袋中黑球的个数；
（2）若小王取出的第一个球是白球，将它放在桌上，然后从袋中余下的球中再任意取出一个球，此时取出红球的概率是多少？
答案
解：
（1）大量重复试验中，取出黑球的频率稳定在$\frac{1}{4}$，由此估计取出黑球的概率为$\frac{1}{4}$。
估计袋中黑球的个数为：$20×\frac{1}{4}=5$。
（2）袋中白球的数量为：$20-6-5=9$。
取出1个白球放在桌上后，袋中余下的球总数为$20-1=19$，其中红球仍为6个，
因此此时从余下的球中任意取出一个球，取出红球的概率为$\frac{6}{19}$。
答：（1）估计袋中黑球的个数为5个；（2）此时取出红球的概率是$\frac{6}{19}$。
（1）大量重复试验中，取出黑球的频率稳定在$\frac{1}{4}$，由此估计取出黑球的概率为$\frac{1}{4}$。
估计袋中黑球的个数为：$20×\frac{1}{4}=5$。
（2）袋中白球的数量为：$20-6-5=9$。
取出1个白球放在桌上后，袋中余下的球总数为$20-1=19$，其中红球仍为6个，
因此此时从余下的球中任意取出一个球，取出红球的概率为$\frac{6}{19}$。
答：（1）估计袋中黑球的个数为5个；（2）此时取出红球的概率是$\frac{6}{19}$。
解析
【分析】
（1）解决第一小问的核心是明确大量重复试验中，事件发生的频率稳定值即为该事件发生的概率。因此可先由取出黑球的频率稳定在$\frac{1}{4}$，得到取出黑球的概率为$\frac{1}{4}$，再结合总球数，用总球数乘黑球的概率即可估算黑球的个数。
（2）解决第二小问首先需要根据总球数、红球数和第一问求出的黑球数，算出原有白球的数量；要注意取出一个白球后未放回，此时袋中总球数减少1个，红球数量不变，再根据概率公式“$P(A)=\frac{事件A包含的情况数}{总情况数}$”计算取出红球的概率即可。
【解析】
（1）大量重复试验中，取出黑球的频率稳定在$\frac{1}{4}$，由此估计取出黑球的概率为$\frac{1}{4}$。
估计袋中黑球的个数为：$20×\frac{1}{4}=5$（个）。
（2）袋中原有白球的数量为：$20-6-5=9$（个）。
取出1个白球放在桌上后，袋中余下的球总数为$20-1=19$，其中红球数量仍为6个，
因此此时从余下的球中任意取出一个球，取出红球的概率为$\frac{6}{19}$。
【答案】
（1）估计袋中黑球的个数为5个；（2）此时取出红球的概率是$\frac{6}{19}$。
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 简单概率计算
【点评】
本题结合实际摸球场景，考查对频率与概率关系的理解，以及不放回试验下的概率计算，解题时需注意第二问中取走白球后总球数减少，避免误用原总球数计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一小问的核心是明确大量重复试验中，事件发生的频率稳定值即为该事件发生的概率。因此可先由取出黑球的频率稳定在$\frac{1}{4}$，得到取出黑球的概率为$\frac{1}{4}$，再结合总球数，用总球数乘黑球的概率即可估算黑球的个数。
（2）解决第二小问首先需要根据总球数、红球数和第一问求出的黑球数，算出原有白球的数量；要注意取出一个白球后未放回，此时袋中总球数减少1个，红球数量不变，再根据概率公式“$P(A)=\frac{事件A包含的情况数}{总情况数}$”计算取出红球的概率即可。
【解析】
（1）大量重复试验中，取出黑球的频率稳定在$\frac{1}{4}$，由此估计取出黑球的概率为$\frac{1}{4}$。
估计袋中黑球的个数为：$20×\frac{1}{4}=5$（个）。
（2）袋中原有白球的数量为：$20-6-5=9$（个）。
取出1个白球放在桌上后，袋中余下的球总数为$20-1=19$，其中红球数量仍为6个，
因此此时从余下的球中任意取出一个球，取出红球的概率为$\frac{6}{19}$。
【答案】
（1）估计袋中黑球的个数为5个；（2）此时取出红球的概率是$\frac{6}{19}$。
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 简单概率计算
【点评】
本题结合实际摸球场景，考查对频率与概率关系的理解，以及不放回试验下的概率计算，解题时需注意第二问中取走白球后总球数减少，避免误用原总球数计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
