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4. 一个盒子中装有20颗蓝色幸运星、若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5，则盒中红色幸运星有颗。
答案
解：设盒中红色幸运星有$x$颗。
根据频率估计概率的原理，多次摸取试验后频率的稳定值即为对应事件发生的概率，可知摸取到红色幸运星的概率为$0.5$。
列方程得：
$\frac{x}{20 + x + 15} = 0.5$
解得：$x=35$
经检验，$x=35$符合题意。
答：盒中红色幸运星有35颗。
根据频率估计概率的原理，多次摸取试验后频率的稳定值即为对应事件发生的概率，可知摸取到红色幸运星的概率为$0.5$。
列方程得：
$\frac{x}{20 + x + 15} = 0.5$
解得：$x=35$
经检验，$x=35$符合题意。
答：盒中红色幸运星有35颗。
解析
【分析】
解题时首先回忆用频率估计概率的相关知识：大量重复试验下，事件发生的频率稳定值近似等于该事件发生的概率，因此本题中摸到红色幸运星的概率为0.5。接下来结合概率计算公式：某类对象的概率=该类对象的数量÷总对象数量，我们可以设红色幸运星有x颗，先表示出幸运星的总数量，再根据概率公式列方程求解，最后检验结果是否符合实际意义即可。
【解析】
设盒中红色幸运星有$x$颗。
根据频率估计概率的原理，多次摸取试验后频率的稳定值即为对应事件发生的概率，可知摸取到红色幸运星的概率为$0.5$。
列方程得：
$\frac{x}{20 + x + 15} = 0.5$
解得：$x=35$
经检验，$x=35$符合题意。
所以盒中红色幸运星有35颗。
【答案】
35
【知识点】
用频率估计概率，概率公式，分式方程应用
【点评】
本题是概率部分的基础常考题，解题关键是明确频率与概率的关系，结合概率公式建立方程求解，需要注意解完方程后要检验结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆用频率估计概率的相关知识：大量重复试验下，事件发生的频率稳定值近似等于该事件发生的概率，因此本题中摸到红色幸运星的概率为0.5。接下来结合概率计算公式：某类对象的概率=该类对象的数量÷总对象数量，我们可以设红色幸运星有x颗，先表示出幸运星的总数量，再根据概率公式列方程求解，最后检验结果是否符合实际意义即可。
【解析】
设盒中红色幸运星有$x$颗。
根据频率估计概率的原理，多次摸取试验后频率的稳定值即为对应事件发生的概率，可知摸取到红色幸运星的概率为$0.5$。
列方程得：
$\frac{x}{20 + x + 15} = 0.5$
解得：$x=35$
经检验，$x=35$符合题意。
所以盒中红色幸运星有35颗。
【答案】
35
【知识点】
用频率估计概率，概率公式，分式方程应用
【点评】
本题是概率部分的基础常考题，解题关键是明确频率与概率的关系，结合概率公式建立方程求解，需要注意解完方程后要检验结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
5. 有20张扑克牌，其中只有红心和黑桃两种花色，通过若干次试验得到红心牌和黑桃牌出现的频率分别为45%和55%，则共有红心牌张。
答案
$\boldsymbol{9}$
解析
【分析】
本题可利用用频率估计概率的知识点求解。首先明确：在大量重复试验中，某一事件发生的频率会稳定在对应概率的附近，因此可以用红心牌出现的频率近似代替红心牌占总牌数的概率，再结合总牌数，用“总数量×对应概率”即可求出红心牌的数量。
【解析】
解：
∵大量重复试验时，事件发生的频率可作为该事件发生概率的估计值，
∴红心牌占总扑克牌数的概率约为45%，
已知扑克牌总共有20张，
则红心牌的数量为：$20×45\%=9$（张）。
【答案】
$\boldsymbol{9}$
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 概率的实际应用
【点评】
本题是频率估计概率的基础应用类题目，解题核心是理解频率与概率的关系，再结合总数计算对应个体的数量，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
本题可利用用频率估计概率的知识点求解。首先明确：在大量重复试验中，某一事件发生的频率会稳定在对应概率的附近，因此可以用红心牌出现的频率近似代替红心牌占总牌数的概率，再结合总牌数，用“总数量×对应概率”即可求出红心牌的数量。
【解析】
解：
∵大量重复试验时，事件发生的频率可作为该事件发生概率的估计值，
∴红心牌占总扑克牌数的概率约为45%，
已知扑克牌总共有20张，
则红心牌的数量为：$20×45\%=9$（张）。
【答案】
$\boldsymbol{9}$
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 概率的实际应用
【点评】
本题是频率估计概率的基础应用类题目，解题核心是理解频率与概率的关系，再结合总数计算对应个体的数量，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
6. 现有50张大小、质地及背面图案均相同的北京奥运会吉祥物福娃的卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘福娃的名字后放回，搅匀后再抽，不断重复上述过程，最后记录抽到“欢欢”的频率为20％，则这些卡片中“欢欢”有张。
答案
10
解析
【分析】
解题时首先结合题干的大量重复有放回抽取试验，回忆用频率估计概率的相关知识：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在对应概率的附近，因此本题中抽到“欢欢”的频率20%可近似当作抽到“欢欢”的概率。再结合概率的计算公式：某事件的概率=该事件对应的情况数÷总情况数，已知总卡片数和概率，反向计算即可得到“欢欢”的张数。
【解析】
解：大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在其概率附近，因此抽到“欢欢”的概率可近似为20%。
设这些卡片中“欢欢”的数量为x张，根据概率公式列方程：
$\frac{x}{50}=20\%$
解得：$x=50×20\%=10$
【答案】
10
【知识点】
用频率估计概率；概率的计算
【点评】
本题考查频率与概率的实际应用，解题关键是明确大量重复试验下频率可近似代替概率，结合概率公式即可求解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合题干的大量重复有放回抽取试验，回忆用频率估计概率的相关知识：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在对应概率的附近，因此本题中抽到“欢欢”的频率20%可近似当作抽到“欢欢”的概率。再结合概率的计算公式：某事件的概率=该事件对应的情况数÷总情况数，已知总卡片数和概率，反向计算即可得到“欢欢”的张数。
【解析】
解：大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在其概率附近，因此抽到“欢欢”的概率可近似为20%。
设这些卡片中“欢欢”的数量为x张，根据概率公式列方程：
$\frac{x}{50}=20\%$
解得：$x=50×20\%=10$
【答案】
10
【知识点】
用频率估计概率；概率的计算
【点评】
本题考查频率与概率的实际应用，解题关键是明确大量重复试验下频率可近似代替概率，结合概率公式即可求解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
7. 研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率，两个小组用同一枚图钉做试验进行比较，他们得到的数据如下表所示：
| | 掷图钉的次数 | 50 | 100 | 200 | 300 | 400 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 针尖朝上的次数 | 第一小组 | 23 |
39 | 79 | 121 | 160 |
| | 第二小组 | 24 | 41 | 81 | 124 | 164 |
（1）请你估计第一小组和第二小组所得的概率分别是多少？（结果精确到0.1）
（2）你认为哪一个小组的结果更准确？为什么？
| | 掷图钉的次数 | 50 | 100 | 200 | 300 | 400 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 针尖朝上的次数 | 第一小组 | 23 |
39 | 79 | 121 | 160 || | 第二小组 | 24 | 41 | 81 | 124 | 164 |
（1）请你估计第一小组和第二小组所得的概率分别是多少？（结果精确到0.1）
（2）你认为哪一个小组的结果更准确？为什么？
答案
解：
（1）第一小组各次试验针尖朝上的频率依次为：
$\frac{23}{50}=0.46$，$\frac{39}{100}=0.39$，$\frac{79}{200}=0.395$，$\frac{121}{300}\approx0.40$，$\frac{160}{400}=0.40$，
随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.4附近，因此估计第一小组所得的概率为0.4。
第二小组各次试验针尖朝上的频率依次为：
$\frac{24}{50}=0.48$，$\frac{41}{100}=0.41$，$\frac{81}{200}=0.405$，$\frac{124}{300}\approx0.41$，$\frac{164}{400}=0.41$，
随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.4附近，因此估计第二小组所得的概率为0.4。
（2）无法判定哪一个小组的结果更准确。
理由：用频率估计概率时，频率具有随机性，即使试验次数相同，得到的频率也可能存在差异，两组试验的最大试验次数相同，得到的频率都是对真实概率的估计，无法通过现有试验数据判断哪一个估计值更接近真实概率，因此不能确定哪个小组的结果更准确。
（1）第一小组各次试验针尖朝上的频率依次为：
$\frac{23}{50}=0.46$，$\frac{39}{100}=0.39$，$\frac{79}{200}=0.395$，$\frac{121}{300}\approx0.40$，$\frac{160}{400}=0.40$，
随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.4附近，因此估计第一小组所得的概率为0.4。
第二小组各次试验针尖朝上的频率依次为：
$\frac{24}{50}=0.48$，$\frac{41}{100}=0.41$，$\frac{81}{200}=0.405$，$\frac{124}{300}\approx0.41$，$\frac{164}{400}=0.41$，
随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.4附近，因此估计第二小组所得的概率为0.4。
（2）无法判定哪一个小组的结果更准确。
理由：用频率估计概率时，频率具有随机性，即使试验次数相同，得到的频率也可能存在差异，两组试验的最大试验次数相同，得到的频率都是对真实概率的估计，无法通过现有试验数据判断哪一个估计值更接近真实概率，因此不能确定哪个小组的结果更准确。
解析
【分析】
（1）求解概率估计值的核心思路是利用“用频率估计概率”的原理：当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是对应事件的概率。我们需要先分别计算两个小组各次试验中针尖朝上的频率，观察频率稳定的数值，再按要求精确到0.1即可得到估计的概率。
（2）判断哪组结果更准确时，要明确频率具有随机性的特点：即使试验次数相同，不同试验得到的频率也可能存在差异；本题中两个小组的最大试验次数均为400次，两组得到的频率都是对真实概率的估计，没有额外信息能说明哪组的估计值误差更小，因此无法判断哪组结果更准确。
【解析】
（1）计算第一小组各次试验针尖朝上的频率：
$\frac{23}{50}=0.46$，$\frac{39}{100}=0.39$，$\frac{79}{200}=0.395$，$\frac{121}{300}\approx0.40$，$\frac{160}{400}=0.40$，
随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.4附近，因此估计第一小组所得的概率为0.4。
计算第二小组各次试验针尖朝上的频率：
$\frac{24}{50}=0.48$，$\frac{41}{100}=0.41$，$\frac{81}{200}=0.405$，$\frac{124}{300}\approx0.41$，$\frac{164}{400}=0.41$，
随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.4附近，因此估计第二小组所得的概率为0.4。
（2）无法判定哪一个小组的结果更准确。
理由：用频率估计概率时，频率具有随机性，即使试验次数相同，得到的频率也可能存在差异，两组试验的最大试验次数相同，得到的频率都是对真实概率的估计，无法通过现有试验数据判断哪一个估计值更接近真实概率，因此不能确定哪个小组的结果更准确。
【答案】
（1）第一小组所得概率估计为0.4，第二小组所得概率估计为0.4；
（2）无法判定哪一个小组的结果更准确，理由：用频率估计概率时频率具有随机性，两组最大试验次数相同，现有数据无法判断哪个估计值更接近真实概率。
【知识点】
用频率估计概率；频率的随机性
【点评】
本题考查频率与概率的相关应用，解题时要掌握试验次数足够大时频率稳定于概率的规律，同时要注意频率本身具有随机性，不能仅凭相同次数的试验结果随意判断估计值的准确性。
【难度系数】
0.7
（1）求解概率估计值的核心思路是利用“用频率估计概率”的原理：当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是对应事件的概率。我们需要先分别计算两个小组各次试验中针尖朝上的频率，观察频率稳定的数值，再按要求精确到0.1即可得到估计的概率。
（2）判断哪组结果更准确时，要明确频率具有随机性的特点：即使试验次数相同，不同试验得到的频率也可能存在差异；本题中两个小组的最大试验次数均为400次，两组得到的频率都是对真实概率的估计，没有额外信息能说明哪组的估计值误差更小，因此无法判断哪组结果更准确。
【解析】
（1）计算第一小组各次试验针尖朝上的频率：
$\frac{23}{50}=0.46$，$\frac{39}{100}=0.39$，$\frac{79}{200}=0.395$，$\frac{121}{300}\approx0.40$，$\frac{160}{400}=0.40$，
随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.4附近，因此估计第一小组所得的概率为0.4。
计算第二小组各次试验针尖朝上的频率：
$\frac{24}{50}=0.48$，$\frac{41}{100}=0.41$，$\frac{81}{200}=0.405$，$\frac{124}{300}\approx0.41$，$\frac{164}{400}=0.41$，
随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.4附近，因此估计第二小组所得的概率为0.4。
（2）无法判定哪一个小组的结果更准确。
理由：用频率估计概率时，频率具有随机性，即使试验次数相同，得到的频率也可能存在差异，两组试验的最大试验次数相同，得到的频率都是对真实概率的估计，无法通过现有试验数据判断哪一个估计值更接近真实概率，因此不能确定哪个小组的结果更准确。
【答案】
（1）第一小组所得概率估计为0.4，第二小组所得概率估计为0.4；
（2）无法判定哪一个小组的结果更准确，理由：用频率估计概率时频率具有随机性，两组最大试验次数相同，现有数据无法判断哪个估计值更接近真实概率。
【知识点】
用频率估计概率；频率的随机性
【点评】
本题考查频率与概率的相关应用，解题时要掌握试验次数足够大时频率稳定于概率的规律，同时要注意频率本身具有随机性，不能仅凭相同次数的试验结果随意判断估计值的准确性。
【难度系数】
0.7
