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8. 一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外都相同.从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图.
根据统计图提供的信息解决下列问题：
（1）估计摸到白球的概率为 ；（结果精确到0.1）
（2）已知袋子中白球有4个.
① 求袋子中黑色球的个数；
② 若再将m个相同的白球放进这个袋子里，然后进行摸球试验，当大量重复试验后，估计摸出白球的概率是 .（用含m的式子表示）
根据统计图提供的信息解决下列问题：
（1）估计摸到白球的概率为 ；（结果精确到0.1）
（2）已知袋子中白球有4个.
① 求袋子中黑色球的个数；
② 若再将m个相同的白球放进这个袋子里，然后进行摸球试验，当大量重复试验后，估计摸出白球的概率是 .（用含m的式子表示）
答案
解：
(1) 0.2
(2) ① 设袋子中黑色球的个数为$x$，
根据频率估计概率的结论，得：
$\frac{4}{4+x}=0.2$
解得$x=16$，
经检验，$x=16$是所列方程的解，且符合实际意义。
答：袋子中黑色球的个数为16个。
② $\frac{m+4}{m+20}$
(1) 0.2
(2) ① 设袋子中黑色球的个数为$x$，
根据频率估计概率的结论，得：
$\frac{4}{4+x}=0.2$
解得$x=16$，
经检验，$x=16$是所列方程的解，且符合实际意义。
答：袋子中黑色球的个数为16个。
② $\frac{m+4}{m+20}$
解析
【分析】
这道题考查用频率估计概率的相关知识，解题思路如下：1. 第(1)问：根据大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数就是事件发生的概率，观察统计图可知摸球次数足够多时，白球的频率稳定在0.2附近，即可估计摸到白球的概率；2. 第(2)①问：已知白球个数和摸到白球的概率，结合“概率=所求情况数÷总情况数”的公式，设黑球个数为x列分式方程求解，注意要检验方程的解是否符合实际意义；3. 第(2)②问：先确定加入m个白球后白球的总个数和袋中球的总个数，再代入概率公式即可得到结果。
【解析】
(1) 观察统计图可得，随着摸球次数的增加，摸到白球的频率稳定在0.2附近，因此估计摸到白球的概率为0.2。
(2) ① 设袋子中黑色球的个数为$x$，根据概率公式可得：
$\frac{4}{4+x}=0.2$
解方程：两边同乘$4+x$得$4=0.2(4+x)$，展开得$4=0.8+0.2x$，移项计算得$0.2x=3.2$，解得$x=16$。
检验：当$x=16$时，$4+x=20≠0$，因此$x=16$是所列方程的解，且符合实际意义。
② 加入$m$个白球后，白球总个数为$4+m$，袋中球的总个数为$4+16+m=20+m$，因此大量重复试验后，估计摸出白球的概率为$\frac{m+4}{m+20}$。
【答案】
(1) $0.2$
(2) ① $16$个；② $\frac{m+4}{m+20}$
【知识点】
用频率估计概率，概率公式，分式方程的应用
【点评】
本题侧重考查频率与概率关系的理解，以及概率公式的实际应用，解题核心是明确大量重复试验下频率的稳定值即为概率，结合概率公式列式计算即可，是概率部分的基础典型题。
【难度系数】
0.8
这道题考查用频率估计概率的相关知识，解题思路如下：1. 第(1)问：根据大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数就是事件发生的概率，观察统计图可知摸球次数足够多时，白球的频率稳定在0.2附近，即可估计摸到白球的概率；2. 第(2)①问：已知白球个数和摸到白球的概率，结合“概率=所求情况数÷总情况数”的公式，设黑球个数为x列分式方程求解，注意要检验方程的解是否符合实际意义；3. 第(2)②问：先确定加入m个白球后白球的总个数和袋中球的总个数，再代入概率公式即可得到结果。
【解析】
(1) 观察统计图可得，随着摸球次数的增加，摸到白球的频率稳定在0.2附近，因此估计摸到白球的概率为0.2。
(2) ① 设袋子中黑色球的个数为$x$，根据概率公式可得：
$\frac{4}{4+x}=0.2$
解方程：两边同乘$4+x$得$4=0.2(4+x)$，展开得$4=0.8+0.2x$，移项计算得$0.2x=3.2$，解得$x=16$。
检验：当$x=16$时，$4+x=20≠0$，因此$x=16$是所列方程的解，且符合实际意义。
② 加入$m$个白球后，白球总个数为$4+m$，袋中球的总个数为$4+16+m=20+m$，因此大量重复试验后，估计摸出白球的概率为$\frac{m+4}{m+20}$。
【答案】
(1) $0.2$
(2) ① $16$个；② $\frac{m+4}{m+20}$
【知识点】
用频率估计概率，概率公式，分式方程的应用
【点评】
本题侧重考查频率与概率关系的理解，以及概率公式的实际应用，解题核心是明确大量重复试验下频率的稳定值即为概率，结合概率公式列式计算即可，是概率部分的基础典型题。
【难度系数】
0.8
9. 小强与小刚两位同学在学习“概率”时，做抛质地均匀的骰子试验.他们共抛了54次，出现向上点数的次数如下表所示：
（1）请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率；
（2）小强说：“根据试验可知出现向上点数为5的概率最大.”
小刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次.”
请判断小强和小刚说法的对错，并说明理由；
（3）如果小强与小刚各抛一枚骰子，求出现向上点数之和为3的倍数的概率.
（1）请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率；
（2）小强说：“根据试验可知出现向上点数为5的概率最大.”
小刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次.”
请判断小强和小刚说法的对错，并说明理由；
（3）如果小强与小刚各抛一枚骰子，求出现向上点数之和为3的倍数的概率.
答案
解：
（1）总试验次数为54次，
出现向上点数为3的频率为$\frac{5}{54}$，
出现向上点数为5的频率为$\frac{16}{54}=\frac{8}{27}$。
（2）小强的说法错误。
理由：本次试验次数仅为54次，试验次数较少，得到的频率不能等同于概率，质地均匀的骰子各个点数出现的概率均为$\frac{1}{6}$，是相等的。
小刚的说法错误。
理由：抛掷骰子是随机试验，出现点数为6的结果具有随机性，抛540次时，出现向上点数为6的次数是随机的，不一定正好是100次，理论上的估计值约为$540×\frac{1}{6}=90$次。
（3）小强与小刚各抛一枚骰子，所有等可能的结果共有$6×6=36$种，
其中点数之和为3的倍数的结果共有12种，
因此所求概率为$P=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$。
（1）总试验次数为54次，
出现向上点数为3的频率为$\frac{5}{54}$，
出现向上点数为5的频率为$\frac{16}{54}=\frac{8}{27}$。
（2）小强的说法错误。
理由：本次试验次数仅为54次，试验次数较少，得到的频率不能等同于概率，质地均匀的骰子各个点数出现的概率均为$\frac{1}{6}$，是相等的。
小刚的说法错误。
理由：抛掷骰子是随机试验，出现点数为6的结果具有随机性，抛540次时，出现向上点数为6的次数是随机的，不一定正好是100次，理论上的估计值约为$540×\frac{1}{6}=90$次。
（3）小强与小刚各抛一枚骰子，所有等可能的结果共有$6×6=36$种，
其中点数之和为3的倍数的结果共有12种，
因此所求概率为$P=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
（1）求解频率的核心是掌握频率计算公式：频率=对应事件的频数÷总试验次数，只需从表格中提取点数为3、5的出现次数，分别除以总试验次数54即可得到结果。
（2）判断两人说法对错要明确频率和概率的差异：只有试验次数足够多时，频率才会稳定在概率附近，少量试验的频率不能直接等同于理论概率；另外随机事件的发生具有随机性，理论概率只能估算大量试验下的平均结果，无法确定固定次数试验的具体结果，结合质地均匀的骰子各点数概率均为$\frac{1}{6}$的特点即可判断对错。
（3）两人各抛一枚骰子属于两步等可能试验，先计算总等可能结果数为$6×6=36$种，再枚举找出点数之和为3的倍数的结果数，最后代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$计算即可。
【解析】
解：（1）已知总试验次数为54次，
出现向上点数为3的频数为5，因此频率为$\frac{5}{54}$；
出现向上点数为5的频数为16，因此频率为$\frac{16}{54}=\frac{8}{27}$。
（2）小强的说法错误。
理由：本次试验仅做了54次，试验次数较少，频率还未稳定到概率附近，不能直接将试验频率等同于概率；质地均匀的骰子每个点数向上的概率均为$\frac{1}{6}$，各点数概率相等。
小刚的说法错误。
理由：抛掷骰子是随机试验，出现点数为6的结果具有随机性，抛540次时，出现向上点数为6的次数是随机的，并非正好是100次，根据理论概率估算，出现点数为6的次数约为$540×\frac{1}{6}=90$次。
（3）小强与小刚各抛一枚骰子，所有等可能的结果共有$6×6=36$种，
其中点数之和为3的倍数的结果共有12种，
因此所求概率为$P=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$。
【答案】
（1）出现向上点数为3的频率为$\frac{5}{54}$，出现向上点数为5的频率为$\frac{8}{27}$；
（2）小强和小刚的说法均错误，理由见解析；
（3）$\frac{1}{3}$
【知识点】
频率的计算，频率与概率的关系，古典概型概率计算
【点评】
本题结合掷骰子的实际试验场景，综合考查了频率、概率相关的基础知识点，解题时要注意区分试验频率和理论概率的差异，计算古典概型概率时要先确认所有结果是等可能的，再统计对应结果数计算概率。
【难度系数】
0.7
（1）求解频率的核心是掌握频率计算公式：频率=对应事件的频数÷总试验次数，只需从表格中提取点数为3、5的出现次数，分别除以总试验次数54即可得到结果。
（2）判断两人说法对错要明确频率和概率的差异：只有试验次数足够多时，频率才会稳定在概率附近，少量试验的频率不能直接等同于理论概率；另外随机事件的发生具有随机性，理论概率只能估算大量试验下的平均结果，无法确定固定次数试验的具体结果，结合质地均匀的骰子各点数概率均为$\frac{1}{6}$的特点即可判断对错。
（3）两人各抛一枚骰子属于两步等可能试验，先计算总等可能结果数为$6×6=36$种，再枚举找出点数之和为3的倍数的结果数，最后代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$计算即可。
【解析】
解：（1）已知总试验次数为54次，
出现向上点数为3的频数为5，因此频率为$\frac{5}{54}$；
出现向上点数为5的频数为16，因此频率为$\frac{16}{54}=\frac{8}{27}$。
（2）小强的说法错误。
理由：本次试验仅做了54次，试验次数较少，频率还未稳定到概率附近，不能直接将试验频率等同于概率；质地均匀的骰子每个点数向上的概率均为$\frac{1}{6}$，各点数概率相等。
小刚的说法错误。
理由：抛掷骰子是随机试验，出现点数为6的结果具有随机性，抛540次时，出现向上点数为6的次数是随机的，并非正好是100次，根据理论概率估算，出现点数为6的次数约为$540×\frac{1}{6}=90$次。
（3）小强与小刚各抛一枚骰子，所有等可能的结果共有$6×6=36$种，
其中点数之和为3的倍数的结果共有12种，
因此所求概率为$P=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$。
【答案】
（1）出现向上点数为3的频率为$\frac{5}{54}$，出现向上点数为5的频率为$\frac{8}{27}$；
（2）小强和小刚的说法均错误，理由见解析；
（3）$\frac{1}{3}$
【知识点】
频率的计算，频率与概率的关系，古典概型概率计算
【点评】
本题结合掷骰子的实际试验场景，综合考查了频率、概率相关的基础知识点，解题时要注意区分试验频率和理论概率的差异，计算古典概型概率时要先确认所有结果是等可能的，再统计对应结果数计算概率。
【难度系数】
0.7
