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1. 圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角度数是().
A.$30°$
B.$60°$
C.$150°$
D.$30°$或$150°$
A.$30°$
B.$60°$
C.$150°$
D.$30°$或$150°$
答案
D
解析
【分析】
解题时先明确思路：要求弦所对的圆周角，首先需要求出这条弦对应的圆心角。已知弦长等于半径，连接圆心和弦的两个端点，得到的三角形三边均等于半径，可判定为等边三角形，即可求出圆心角的度数。需注意：一条弦对应劣弧和优弧两段弧，每段弧对应一类圆周角，要分类讨论两种情况计算，避免漏解。
【解析】
设圆的半径为$r$，弦为$AB$，圆心为$O$，连接$OA$、$OB$。
$\because OA=OB=AB=r$，
$\therefore △ OAB$是等边三角形，
$\therefore ∠ AOB=60°$。
分两种情况讨论：
① 当圆周角的顶点在优弧$AB$上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得该圆周角的度数为$\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$；
② 当圆周角的顶点在劣弧$AB$上时，此时圆周角所对的弧为优弧$AB$，优弧$AB$的度数为$360°-60°=300°$，同理可得该圆周角的度数为$\frac{1}{2}×300°=150°$。
综上，这条弦所对的圆周角度数为$30°$或$150°$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略一条弦对应两个不同的圆周角，仅计算出30°后忘记150°的情况，解题时要全面考虑弦两侧的两类圆周角，养成分类讨论的习惯。
【难度系数】
0.6
解题时先明确思路：要求弦所对的圆周角，首先需要求出这条弦对应的圆心角。已知弦长等于半径，连接圆心和弦的两个端点，得到的三角形三边均等于半径，可判定为等边三角形，即可求出圆心角的度数。需注意：一条弦对应劣弧和优弧两段弧，每段弧对应一类圆周角，要分类讨论两种情况计算，避免漏解。
【解析】
设圆的半径为$r$，弦为$AB$，圆心为$O$，连接$OA$、$OB$。
$\because OA=OB=AB=r$，
$\therefore △ OAB$是等边三角形，
$\therefore ∠ AOB=60°$。
分两种情况讨论：
① 当圆周角的顶点在优弧$AB$上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得该圆周角的度数为$\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$；
② 当圆周角的顶点在劣弧$AB$上时，此时圆周角所对的弧为优弧$AB$，优弧$AB$的度数为$360°-60°=300°$，同理可得该圆周角的度数为$\frac{1}{2}×300°=150°$。
综上，这条弦所对的圆周角度数为$30°$或$150°$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略一条弦对应两个不同的圆周角，仅计算出30°后忘记150°的情况，解题时要全面考虑弦两侧的两类圆周角，养成分类讨论的习惯。
【难度系数】
0.6
2. 如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，BE是$\odot O$的直径，连接AE.若$∠ BCD=2∠ BAD$，连接OD，则$∠ DOE$的度数是().
A.$30°$
B.$75°$
C.$60°$
D.$45°$
A.$30°$
B.$75°$
C.$60°$
D.$45°$
答案
C
解析
【分析】
解题可分三步推导：第一步，利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知的∠BCD与∠BAD的倍数关系，先算出∠BAD的度数；第二步，根据直径所对的圆周角是直角，得到∠BAE的度数，进而求出∠DAE的度数；第三步，依据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由∠DAE的度数即可求出∠DOE的度数。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
2. 已知$∠ BCD=2∠ BAD$，代入上式得：$∠ BAD + 2∠ BAD = 180°$，解得$∠ BAD=60°$。
3. 因为BE是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，所以$∠ BAE=90°$。
4. 计算$∠ DAE$：$∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD = 90° - 60° = 30°$。
5. $∠ DAE$是弧DE所对的圆周角，$∠ DOE$是弧DE所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此$∠ DOE=2∠ DAE=2×30°=60°$。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；直径所对圆周角为直角；圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质基础综合题，核心考查对圆相关角度定理的掌握程度，只要熟练掌握各基础性质，逐步推导角度关系即可得出结果，属于圆章节的常规考点题。
【难度系数】
0.7
解题可分三步推导：第一步，利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知的∠BCD与∠BAD的倍数关系，先算出∠BAD的度数；第二步，根据直径所对的圆周角是直角，得到∠BAE的度数，进而求出∠DAE的度数；第三步，依据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由∠DAE的度数即可求出∠DOE的度数。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
2. 已知$∠ BCD=2∠ BAD$，代入上式得：$∠ BAD + 2∠ BAD = 180°$，解得$∠ BAD=60°$。
3. 因为BE是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，所以$∠ BAE=90°$。
4. 计算$∠ DAE$：$∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD = 90° - 60° = 30°$。
5. $∠ DAE$是弧DE所对的圆周角，$∠ DOE$是弧DE所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此$∠ DOE=2∠ DAE=2×30°=60°$。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；直径所对圆周角为直角；圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质基础综合题，核心考查对圆相关角度定理的掌握程度，只要熟练掌握各基础性质，逐步推导角度关系即可得出结果，属于圆章节的常规考点题。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$\odot O$是等边三角形ABC的外接圆，且点P在$\odot O$上.在以下判断中，不正确的是().
A.当弦PB最长时，$△ APC$是等腰三角形
B.当$△ APC$是等腰三角形时，$PO ⊥ AC$
C.当$PO ⊥ AC$时，$∠ ACP = 30°$
D.当$∠ ACP = 30°$时，$△ BPC$是直角三角形
A.当弦PB最长时，$△ APC$是等腰三角形
B.当$△ APC$是等腰三角形时，$PO ⊥ AC$
C.当$PO ⊥ AC$时，$∠ ACP = 30°$
D.当$∠ ACP = 30°$时，$△ BPC$是直角三角形
答案
C
解析
【分析】
本题需要结合等边三角形的性质、圆的相关性质，对四个选项逐一分析判断。首先明确：等边$△ ABC$的外接圆中，劣弧$AB$、劣弧$BC$、劣弧$AC$的度数均为$120°$，同弧所对的圆周角相等，圆内最长的弦是直径，垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧，据此逐个推导选项的正误，选出不正确的选项。
【解析】
已知$\odot O$是等边$△ ABC$的外接圆，因此劣弧$AB=$劣弧$BC=$劣弧$AC=120°$，同弧所对圆周角相等，$∠ APC=∠ ABC=60°$。
选项A：圆内最长的弦是直径，当弦$PB$最长时，$PB$为$\odot O$的直径，弧$PB$为$180°$。因此劣弧$PC=$弧$PB-$劣弧$BC=180°-120°=60°$，劣弧$AP=$弧$PB-$劣弧$AB=180°-120°=60°$，故劣弧$AP=$劣弧$PC$，得$AP=PC$，$△ APC$是等腰三角形，A判断正确。
选项B：当$△ APC$是等腰三角形时，因$∠ APC=60°$，故$△ APC$为等边三角形，$PA=PC$，即$P$是优弧$AC$的中点。点$P$和圆心$O$都在$AC$的垂直平分线上，因此直线$PO$是$AC$的垂直平分线，得$PO⊥ AC$，B判断正确。
选项C：当$PO⊥ AC$时，直线$PO$是$AC$的垂直平分线，与$\odot O$交于两点：劣弧$AC$的中点（即点$B$）、优弧$AC$的中点。若$P$为优弧$AC$中点，$△ APC$为等边三角形，$∠ ACP=60°$；若$P$与$B$重合，$∠ ACP=∠ ACB=60°$，均不等于$30°$，故C判断错误。
选项D：当$∠ ACP=30°$时，由圆周角定理，劣弧$AP$的度数为$2×30°=60°$。若$P$在劣弧$AB$上，则劣弧$PC=$劣弧$PB+$劣弧$BC=(120°-60°)+120°=180°$，$PC$为直径，$∠ PBC=90°$；若$P$在劣弧$AC$上，则劣弧$BP=$劣弧$AB+$劣弧$AP=120°+60°=180°$，$BP$为直径，$∠ BCP=90°$。两种情况$△ BPC$都是直角三角形，D判断正确。
综上，不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，等边三角形的性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与等边三角形的性质，解题时需注意点$P$在圆上的位置可能存在多种情况，要结合定理全面分析，避免因遗漏位置导致判断失误。
【难度系数】
0.6
本题需要结合等边三角形的性质、圆的相关性质，对四个选项逐一分析判断。首先明确：等边$△ ABC$的外接圆中，劣弧$AB$、劣弧$BC$、劣弧$AC$的度数均为$120°$，同弧所对的圆周角相等，圆内最长的弦是直径，垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧，据此逐个推导选项的正误，选出不正确的选项。
【解析】
已知$\odot O$是等边$△ ABC$的外接圆，因此劣弧$AB=$劣弧$BC=$劣弧$AC=120°$，同弧所对圆周角相等，$∠ APC=∠ ABC=60°$。
选项A：圆内最长的弦是直径，当弦$PB$最长时，$PB$为$\odot O$的直径，弧$PB$为$180°$。因此劣弧$PC=$弧$PB-$劣弧$BC=180°-120°=60°$，劣弧$AP=$弧$PB-$劣弧$AB=180°-120°=60°$，故劣弧$AP=$劣弧$PC$，得$AP=PC$，$△ APC$是等腰三角形，A判断正确。
选项B：当$△ APC$是等腰三角形时，因$∠ APC=60°$，故$△ APC$为等边三角形，$PA=PC$，即$P$是优弧$AC$的中点。点$P$和圆心$O$都在$AC$的垂直平分线上，因此直线$PO$是$AC$的垂直平分线，得$PO⊥ AC$，B判断正确。
选项C：当$PO⊥ AC$时，直线$PO$是$AC$的垂直平分线，与$\odot O$交于两点：劣弧$AC$的中点（即点$B$）、优弧$AC$的中点。若$P$为优弧$AC$中点，$△ APC$为等边三角形，$∠ ACP=60°$；若$P$与$B$重合，$∠ ACP=∠ ACB=60°$，均不等于$30°$，故C判断错误。
选项D：当$∠ ACP=30°$时，由圆周角定理，劣弧$AP$的度数为$2×30°=60°$。若$P$在劣弧$AB$上，则劣弧$PC=$劣弧$PB+$劣弧$BC=(120°-60°)+120°=180°$，$PC$为直径，$∠ PBC=90°$；若$P$在劣弧$AC$上，则劣弧$BP=$劣弧$AB+$劣弧$AP=120°+60°=180°$，$BP$为直径，$∠ BCP=90°$。两种情况$△ BPC$都是直角三角形，D判断正确。
综上，不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，等边三角形的性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与等边三角形的性质，解题时需注意点$P$在圆上的位置可能存在多种情况，要结合定理全面分析，避免因遗漏位置导致判断失误。
【难度系数】
0.6
二、填空题
4. 如图，点A，B，C都在$\odot O$上，$∠ AOC=120°$，点D在AB的延长线上，$BD=BC$，则$∠ D$的度数为。
4. 如图，点A，B，C都在$\odot O$上，$∠ AOC=120°$，点D在AB的延长线上，$BD=BC$，则$∠ D$的度数为。
答案
$\boldsymbol{30°}$
解析
【分析】
要求∠D的度数，首先结合已知条件BD=BC，可得△BCD为等腰三角形，因此∠D=∠BCD，再根据三角形外角的性质可知∠ABC=∠D+∠BCD=2∠D，所以只需要求出∠ABC的度数即可。接下来利用圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，已知圆心角∠AOC=120°，它所对的弧是劣弧AC，∠ABC是劣弧AC所对的圆周角，即可求出∠ABC的度数，最终推导得到∠D的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
已知∠AOC是劣弧AC对应的圆心角，∠ABC是劣弧AC对应的圆周角，且∠AOC=120°，因此：
$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×120°=60°$
2. 因为$BD=BC$，所以△BCD是等腰三角形，可得$∠ D=∠ BCD$。
3. 又因为∠ABC是△BCD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此：
$∠ ABC=∠ D+∠ BCD=2∠ D$
4. 将$∠ ABC=60°$代入上式，得$2∠ D=60°$，解得$∠ D=30°$。
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的性质和三角形基础性质结合的基础题型，解题的关键是找准同弧对应的圆周角和圆心角的关系，再结合等腰三角形、外角的性质逐步推导角度，是圆周角相关知识点的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
要求∠D的度数，首先结合已知条件BD=BC，可得△BCD为等腰三角形，因此∠D=∠BCD，再根据三角形外角的性质可知∠ABC=∠D+∠BCD=2∠D，所以只需要求出∠ABC的度数即可。接下来利用圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，已知圆心角∠AOC=120°，它所对的弧是劣弧AC，∠ABC是劣弧AC所对的圆周角，即可求出∠ABC的度数，最终推导得到∠D的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
已知∠AOC是劣弧AC对应的圆心角，∠ABC是劣弧AC对应的圆周角，且∠AOC=120°，因此：
$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×120°=60°$
2. 因为$BD=BC$，所以△BCD是等腰三角形，可得$∠ D=∠ BCD$。
3. 又因为∠ABC是△BCD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此：
$∠ ABC=∠ D+∠ BCD=2∠ D$
4. 将$∠ ABC=60°$代入上式，得$2∠ D=60°$，解得$∠ D=30°$。
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的性质和三角形基础性质结合的基础题型，解题的关键是找准同弧对应的圆周角和圆心角的关系，再结合等腰三角形、外角的性质逐步推导角度，是圆周角相关知识点的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在四边形ABCD中,AB=BC=BD.若∠ABC=112°,则∠ADC=°.
答案
$\boldsymbol{124}$
解析
【分析】
解题时首先根据已知条件AB=BC=BD，结合圆的定义可得出点A、C、D在以B为圆心，AB为半径的同一个圆上；接下来要计算∠ADC的度数，需明确∠ADC是该圆上的圆周角，它所对的弧是优弧AC；先求出优弧AC对应的圆心角，再根据圆周角定理即可算出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵AB=BC=BD，
∴点A、C、D在以点B为圆心，AB的长为半径的圆上。
∵∠ABC=112°，即劣弧AC所对的圆心角为112°，
∴优弧AC所对的圆心角为360°-112°=248°。
∵∠ADC是优弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，
∴∠ADC=1/2×248°=124°。
【答案】
124
【知识点】
圆的定义，圆周角定理，圆心角与弧的关系
【点评】
本题的解题关键是由相等的线段判定三点共圆，准确找到圆周角所对应的弧，再结合圆周角定理求解，熟练掌握相关基础定理就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知条件AB=BC=BD，结合圆的定义可得出点A、C、D在以B为圆心，AB为半径的同一个圆上；接下来要计算∠ADC的度数，需明确∠ADC是该圆上的圆周角，它所对的弧是优弧AC；先求出优弧AC对应的圆心角，再根据圆周角定理即可算出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵AB=BC=BD，
∴点A、C、D在以点B为圆心，AB的长为半径的圆上。
∵∠ABC=112°，即劣弧AC所对的圆心角为112°，
∴优弧AC所对的圆心角为360°-112°=248°。
∵∠ADC是优弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，
∴∠ADC=1/2×248°=124°。
【答案】
124
【知识点】
圆的定义，圆周角定理，圆心角与弧的关系
【点评】
本题的解题关键是由相等的线段判定三点共圆，准确找到圆周角所对应的弧，再结合圆周角定理求解，熟练掌握相关基础定理就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
6. 如图，量角器的直径与三角板$ABC(∠ABC=60°)$的斜边AB重合，其中量角器零刻度线的端点N，M分别与点A，B重合，射线CP从CA出发按顺时针方向以每秒$3°$的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24 s时点E在量角器上对应的读数是。
答案
$\boldsymbol{144°}$
解析
【分析】
解题第一步先判断点C的位置：△ABC是直角三角形，AB为斜边，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可知点C在以AB为直径的圆（即量角器对应的圆）上，A、B、C、E四点共圆。第二步计算CP旋转24秒形成的∠ACP的度数，进而得到∠BCE的度数。第三步利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出弧BE对应的圆心角∠BOE的度数。最后用平角180°减去∠BOE的度数，即可得到点E在量角器上的读数。
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，O为AB中点，
∴OC=OA=OB，即点C在以O为圆心，AB为直径的圆上，A、B、C、E四点共圆。
射线CP旋转24秒的角度为：$3°/\mathrm{s} ×24\mathrm{s}=72°$，即$∠ ACP=72°$，
∴$∠ BCE=∠ ACB - ∠ ACP=90°-72°=18°$。
根据圆周角定理，同弧BE所对的圆心角$∠ BOE$是圆周角$∠ BCE$的2倍，
∴$∠ BOE=2×∠ BCE=2×18°=36°$，
∴点E对应的读数为$∠ AOE=180°-∠ BOE=180°-36°=144°$。
【答案】
$\boldsymbol{144°}$
【知识点】
圆周角定理；直角三角形的性质；旋转角度计算
【点评】
本题是动态几何与圆的性质结合的基础题，解题的关键是先确定点C在量角器的外接圆上，再利用圆周角定理完成圆周角和圆心角的转换，需要注意动态旋转过程中角度的对应关系。
【难度系数】
0.6
解题第一步先判断点C的位置：△ABC是直角三角形，AB为斜边，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可知点C在以AB为直径的圆（即量角器对应的圆）上，A、B、C、E四点共圆。第二步计算CP旋转24秒形成的∠ACP的度数，进而得到∠BCE的度数。第三步利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出弧BE对应的圆心角∠BOE的度数。最后用平角180°减去∠BOE的度数，即可得到点E在量角器上的读数。
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，O为AB中点，
∴OC=OA=OB，即点C在以O为圆心，AB为直径的圆上，A、B、C、E四点共圆。
射线CP旋转24秒的角度为：$3°/\mathrm{s} ×24\mathrm{s}=72°$，即$∠ ACP=72°$，
∴$∠ BCE=∠ ACB - ∠ ACP=90°-72°=18°$。
根据圆周角定理，同弧BE所对的圆心角$∠ BOE$是圆周角$∠ BCE$的2倍，
∴$∠ BOE=2×∠ BCE=2×18°=36°$，
∴点E对应的读数为$∠ AOE=180°-∠ BOE=180°-36°=144°$。
【答案】
$\boldsymbol{144°}$
【知识点】
圆周角定理；直角三角形的性质；旋转角度计算
【点评】
本题是动态几何与圆的性质结合的基础题，解题的关键是先确定点C在量角器的外接圆上，再利用圆周角定理完成圆周角和圆心角的转换，需要注意动态旋转过程中角度的对应关系。
【难度系数】
0.6
