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三、解答题
7. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，$CD ⊥ AB$，垂足为点D，$AE ⊥ AB$于点A，且$AE=AC$，BE交$\odot O$于点F.求证：$EF · EB = AD · AB$.
7. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，$CD ⊥ AB$，垂足为点D，$AE ⊥ AB$于点A，且$AE=AC$，BE交$\odot O$于点F.求证：$EF · EB = AD · AB$.
答案
证明：
连接AF、BC。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AFB = 90°，即AF⊥BE。
∵ AE⊥AB，
∴ ∠EAB = 90°，
在△EAF和△EBA中，
∠E = ∠E，∠AFE = ∠BAE = 90°，
∴ △EAF ∽ △EBA，
∴ $\frac{AE}{EB} = \frac{EF}{AE}$，
即 $AE^2 = EF · EB$。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADC = 90°，
在△ACD和△ABC中，
∠ADC = ∠ACB = 90°，∠CAD = ∠BAC，
∴ △ACD ∽ △ABC，
∴ $\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}$，
即 $AC^2 = AD · AB$。
又∵ AE = AC，
∴ $AE^2 = AC^2$，
∴ $EF · EB = AD · AB$。
连接AF、BC。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AFB = 90°，即AF⊥BE。
∵ AE⊥AB，
∴ ∠EAB = 90°，
在△EAF和△EBA中，
∠E = ∠E，∠AFE = ∠BAE = 90°，
∴ △EAF ∽ △EBA，
∴ $\frac{AE}{EB} = \frac{EF}{AE}$，
即 $AE^2 = EF · EB$。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADC = 90°，
在△ACD和△ABC中，
∠ADC = ∠ACB = 90°，∠CAD = ∠BAC，
∴ △ACD ∽ △ABC，
∴ $\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}$，
即 $AC^2 = AD · AB$。
又∵ AE = AC，
∴ $AE^2 = AC^2$，
∴ $EF · EB = AD · AB$。
解析
【分析】
要证明等积式$EF · EB = AD · AB$，一般可将等积式转化为比例式，借助相似三角形的性质求证。结合已知$AE=AC$，可先将左右两侧的等积式分别转化为与$AE$、$AC$相关的平方形式，再通过等量代换完成证明：
1. 处理左侧$EF·EB$：$AB$是$\odot O$的直径，连接$AF$可得直径所对圆周角为直角，结合$AE⊥ AB$可证$△ EAF ∽ △ EBA$，得到$AE^2=EF·EB$；
2. 处理右侧$AD·AB$：连接$BC$，直径$AB$所对圆周角$∠ ACB=90°$，结合$CD⊥ AB$可证$△ ACD ∽ △ ABC$，得到$AC^2=AD·AB$；
3. 结合$AE=AC$等量代换即可得到待证结论。
【解析】
连接$AF$、$BC$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AFB = 90°$，即$AF⊥ BE$。
∵ $AE⊥ AB$，
∴ $∠ EAB = 90°$，
在$△ EAF$和$△ EBA$中，
$∠ E = ∠ E$，$∠ AFE = ∠ BAE = 90°$，
∴ $△ EAF ∽ △ EBA$，
∴ $\frac{AE}{EB} = \frac{EF}{AE}$，
即 $AE^2 = EF · EB$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB = 90°$，
∵ $CD⊥ AB$，
∴ $∠ ADC = 90°$，
在$△ ACD$和$△ ABC$中，
$∠ ADC = ∠ ACB = 90°$，$∠ CAD = ∠ BAC$，
∴ $△ ACD ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}$，
即 $AC^2 = AD · AB$。
又
∵ $AE = AC$，
∴ $AE^2 = AC^2$，
∴ $EF · EB = AD · AB$。
【答案】
$EF · EB = AD · AB$，得证。
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 相似三角形的判定与性质
3. 等量代换
【点评】
本题是圆与相似三角形结合的典型证明题，解题核心是利用直径所对圆周角为直角的性质构造直角三角形，通过两次共角型相似将待证等积式转化为同值的平方形式，再结合已知条件代换得证，对辅助线构造能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要证明等积式$EF · EB = AD · AB$，一般可将等积式转化为比例式，借助相似三角形的性质求证。结合已知$AE=AC$，可先将左右两侧的等积式分别转化为与$AE$、$AC$相关的平方形式，再通过等量代换完成证明：
1. 处理左侧$EF·EB$：$AB$是$\odot O$的直径，连接$AF$可得直径所对圆周角为直角，结合$AE⊥ AB$可证$△ EAF ∽ △ EBA$，得到$AE^2=EF·EB$；
2. 处理右侧$AD·AB$：连接$BC$，直径$AB$所对圆周角$∠ ACB=90°$，结合$CD⊥ AB$可证$△ ACD ∽ △ ABC$，得到$AC^2=AD·AB$；
3. 结合$AE=AC$等量代换即可得到待证结论。
【解析】
连接$AF$、$BC$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AFB = 90°$，即$AF⊥ BE$。
∵ $AE⊥ AB$，
∴ $∠ EAB = 90°$，
在$△ EAF$和$△ EBA$中，
$∠ E = ∠ E$，$∠ AFE = ∠ BAE = 90°$，
∴ $△ EAF ∽ △ EBA$，
∴ $\frac{AE}{EB} = \frac{EF}{AE}$，
即 $AE^2 = EF · EB$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB = 90°$，
∵ $CD⊥ AB$，
∴ $∠ ADC = 90°$，
在$△ ACD$和$△ ABC$中，
$∠ ADC = ∠ ACB = 90°$，$∠ CAD = ∠ BAC$，
∴ $△ ACD ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}$，
即 $AC^2 = AD · AB$。
又
∵ $AE = AC$，
∴ $AE^2 = AC^2$，
∴ $EF · EB = AD · AB$。
【答案】
$EF · EB = AD · AB$，得证。
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 相似三角形的判定与性质
3. 等量代换
【点评】
本题是圆与相似三角形结合的典型证明题，解题核心是利用直径所对圆周角为直角的性质构造直角三角形，通过两次共角型相似将待证等积式转化为同值的平方形式，再结合已知条件代换得证，对辅助线构造能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
8. 如图，$\odot O$的直径为5，定点C和动点P在$\odot O$上，且位于直径AB的异侧，$BC:CA=4:3$.点P在半圆O上运动（不与点A，B重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于点D.
（1）求证：$△ ABC ∽ △ PDC$；
（2）当$PC=4.5$时，求CD的长；
（3）当点P运动到什么位置时，$△ PCD$的面积最大？并求这个最大面积.
（1）求证：$△ ABC ∽ △ PDC$；
（2）当$PC=4.5$时，求CD的长；
（3）当点P运动到什么位置时，$△ PCD$的面积最大？并求这个最大面积.
答案
（1）证明：
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$，
∵ $CD⊥ CP$，
∴ $∠ PCD=90°$，
∴ $∠ ACB=∠ PCD$，
又∵ $∠ CAB$和$∠ CPD$都是弧$CB$所对的圆周角，
∴ $∠ CAB=∠ CPD$，
∴ $△ ABC ∽ △ PDC$。
---
（2）解：
已知$\odot O$直径$AB=5$，$BC:CA=4:3$，$∠ ACB=90°$，
设$BC=4k$，$CA=3k$，由勾股定理得：
$(4k)^2+(3k)^2=5^2$，
解得$k=1$，即$BC=4$，$CA=3$。
∵ $△ ABC ∽ △ PDC$，
∴ $\frac{AC}{PC}=\frac{BC}{CD}$，
代入$PC=4.5$，得$\frac{3}{4.5}=\frac{4}{CD}$，
解得$CD=6$。
---
（3）解：
由$△ ABC ∽ △ PDC$，得$\frac{CD}{PC}=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$，即$CD=\frac{4}{3}PC$，
$△ PCD$的面积$S_{△ PCD}=\frac{1}{2}· PC· CD=\frac{1}{2}· PC· \frac{4}{3}PC=\frac{2}{3}PC^2$。
圆中最长的弦为直径，因此当$PC$为$\odot O$的直径，即$PC=5$时，$PC$取得最大值，此时$△ PCD$面积最大。
代入得最大面积为$\frac{2}{3}× 5^2=\frac{50}{3}$。
答：当点$P$运动到$PC$经过圆心$O$（即$PC$为$\odot O$的直径）时，$△ PCD$的面积最大，最大面积为$\frac{50}{3}$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$，
∵ $CD⊥ CP$，
∴ $∠ PCD=90°$，
∴ $∠ ACB=∠ PCD$，
又∵ $∠ CAB$和$∠ CPD$都是弧$CB$所对的圆周角，
∴ $∠ CAB=∠ CPD$，
∴ $△ ABC ∽ △ PDC$。
---
（2）解：
已知$\odot O$直径$AB=5$，$BC:CA=4:3$，$∠ ACB=90°$，
设$BC=4k$，$CA=3k$，由勾股定理得：
$(4k)^2+(3k)^2=5^2$，
解得$k=1$，即$BC=4$，$CA=3$。
∵ $△ ABC ∽ △ PDC$，
∴ $\frac{AC}{PC}=\frac{BC}{CD}$，
代入$PC=4.5$，得$\frac{3}{4.5}=\frac{4}{CD}$，
解得$CD=6$。
---
（3）解：
由$△ ABC ∽ △ PDC$，得$\frac{CD}{PC}=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$，即$CD=\frac{4}{3}PC$，
$△ PCD$的面积$S_{△ PCD}=\frac{1}{2}· PC· CD=\frac{1}{2}· PC· \frac{4}{3}PC=\frac{2}{3}PC^2$。
圆中最长的弦为直径，因此当$PC$为$\odot O$的直径，即$PC=5$时，$PC$取得最大值，此时$△ PCD$面积最大。
代入得最大面积为$\frac{2}{3}× 5^2=\frac{50}{3}$。
答：当点$P$运动到$PC$经过圆心$O$（即$PC$为$\odot O$的直径）时，$△ PCD$的面积最大，最大面积为$\frac{50}{3}$。
解析
【分析】
（1）证明三角形相似可通过找两组对应角相等的思路：首先由直径所对圆周角是直角可得∠ACB=90°，结合CD⊥CP得∠PCD=90°，得到第一组相等的角；再根据同弧所对的圆周角相等，得到∠CAB=∠CPD，即可判定两三角形相似。
（2）先根据直径长度和BC、CA的比例关系，用勾股定理求出AC、BC的具体长度，再利用（1）中相似三角形的对应边成比例，代入PC的长度即可计算CD。
（3）先由相似三角形的边的比例关系，得到CD和PC的数量关系，进而把△PCD的面积表示为关于PC的代数式，再结合圆中最长弦为直径的性质，找到PC的最大值，即可求出面积的最大值及对应P的位置。
【解析】
（1）证明：
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$，
∵ $CD⊥ CP$，
∴ $∠ PCD=90°$，
∴ $∠ ACB=∠ PCD$，
又
∵ $∠ CAB$和$∠ CPD$都是弧$CB$所对的圆周角，
∴ $∠ CAB=∠ CPD$，
∴ $△ ABC ∽ △ PDC$。
（2）解：
已知$\odot O$直径$AB=5$，$BC:CA=4:3$，$∠ ACB=90°$，
设$BC=4k$，$CA=3k$，由勾股定理得：
$(4k)^2+(3k)^2=5^2$，
解得$k=1$（边长为正，舍去负根），即$BC=4$，$CA=3$。
∵ $△ ABC ∽ △ PDC$，
∴ $\frac{AC}{PC}=\frac{BC}{CD}$，
代入$PC=4.5$，得$\frac{3}{4.5}=\frac{4}{CD}$，
解得$CD=6$。
（3）解：
由$△ ABC ∽ △ PDC$，得$\frac{CD}{PC}=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$，即$CD=\frac{4}{3}PC$，
$△ PCD$的面积$S_{△ PCD}=\frac{1}{2}· PC· CD=\frac{1}{2}· PC· \frac{4}{3}PC=\frac{2}{3}PC^2$。
圆中最长的弦为直径，因此当$PC$为$\odot O$的直径，即$PC=5$时，$PC$取得最大值，此时$△ PCD$面积最大。
代入得最大面积为$\frac{2}{3}× 5^2=\frac{50}{3}$。
即当点$P$运动到$PC$经过圆心$O$（即$PC$为$\odot O$的直径）时，$△ PCD$的面积最大。
【答案】
（1）证明成立；
（2）$CD=6$；
（3）当$PC$为$\odot O$的直径时，$△ PCD$的面积最大，最大面积为$\frac{50}{3}$。
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，将圆的性质与相似三角形的知识结合考查，解题的关键是先通过角的关系证明三角形相似，得到边的比例关系，再结合圆的性质求解最值，能够锻炼学生综合运用几何知识的能力。
【难度系数】
0.65
（1）证明三角形相似可通过找两组对应角相等的思路：首先由直径所对圆周角是直角可得∠ACB=90°，结合CD⊥CP得∠PCD=90°，得到第一组相等的角；再根据同弧所对的圆周角相等，得到∠CAB=∠CPD，即可判定两三角形相似。
（2）先根据直径长度和BC、CA的比例关系，用勾股定理求出AC、BC的具体长度，再利用（1）中相似三角形的对应边成比例，代入PC的长度即可计算CD。
（3）先由相似三角形的边的比例关系，得到CD和PC的数量关系，进而把△PCD的面积表示为关于PC的代数式，再结合圆中最长弦为直径的性质，找到PC的最大值，即可求出面积的最大值及对应P的位置。
【解析】
（1）证明：
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$，
∵ $CD⊥ CP$，
∴ $∠ PCD=90°$，
∴ $∠ ACB=∠ PCD$，
又
∵ $∠ CAB$和$∠ CPD$都是弧$CB$所对的圆周角，
∴ $∠ CAB=∠ CPD$，
∴ $△ ABC ∽ △ PDC$。
（2）解：
已知$\odot O$直径$AB=5$，$BC:CA=4:3$，$∠ ACB=90°$，
设$BC=4k$，$CA=3k$，由勾股定理得：
$(4k)^2+(3k)^2=5^2$，
解得$k=1$（边长为正，舍去负根），即$BC=4$，$CA=3$。
∵ $△ ABC ∽ △ PDC$，
∴ $\frac{AC}{PC}=\frac{BC}{CD}$，
代入$PC=4.5$，得$\frac{3}{4.5}=\frac{4}{CD}$，
解得$CD=6$。
（3）解：
由$△ ABC ∽ △ PDC$，得$\frac{CD}{PC}=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$，即$CD=\frac{4}{3}PC$，
$△ PCD$的面积$S_{△ PCD}=\frac{1}{2}· PC· CD=\frac{1}{2}· PC· \frac{4}{3}PC=\frac{2}{3}PC^2$。
圆中最长的弦为直径，因此当$PC$为$\odot O$的直径，即$PC=5$时，$PC$取得最大值，此时$△ PCD$面积最大。
代入得最大面积为$\frac{2}{3}× 5^2=\frac{50}{3}$。
即当点$P$运动到$PC$经过圆心$O$（即$PC$为$\odot O$的直径）时，$△ PCD$的面积最大。
【答案】
（1）证明成立；
（2）$CD=6$；
（3）当$PC$为$\odot O$的直径时，$△ PCD$的面积最大，最大面积为$\frac{50}{3}$。
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，将圆的性质与相似三角形的知识结合考查，解题的关键是先通过角的关系证明三角形相似，得到边的比例关系，再结合圆的性质求解最值，能够锻炼学生综合运用几何知识的能力。
【难度系数】
0.65
9. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，AC平分$∠ BAD$交BD于点E，$\odot O$的半径为4，$∠ BAD=60°$，$∠ BCA=15°$，求AE的长.
答案
解：
∵ AC平分∠BAD，∠BAD=60°，
∴ ∠BAC=∠CAD=30°。
∵ ∠CBD与∠CAD都是弧CD所对的圆周角，
∴ ∠CBD=∠CAD=30°，即∠CBE=30°。
在△BCE中，∠BEC=180°-∠CBE-∠BCE=180°-30°-15°=135°。
∵ ∠BAC=30°，
∴ 弧BC所对的圆心角∠BOC=2∠BAC=60°，
又∵ OB=OC=4，
∴ △OBC为等边三角形，BC=4。
∵ 在△ABC中，∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=135°，
∴ ∠ABC所对的优弧AC的度数为2×135°=270°，
∴ 劣弧AC的度数为360°-270°=90°，
∴ 劣弧AC所对的圆心角∠AOC=90°，
∵ OA=OC=4，∠AOC=90°，
∴ AC=√(OA²+OC²)=4√2。
过点B作BF⊥AC于点F，
在Rt△BFC中，∠BFC=90°，∠BCF=15°，BC=4，得BF=BC·sin15°。
在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠BEF=180°-∠BEC=45°，得EF=BF=4sin15°。
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，得AB=2BF=8sin15°。
在△ABE中，∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB=105°，由正弦定理：
$\frac{AE}{\sin105°}=\frac{AB}{\sin45°}$
代入sin105°=sin75°，sin15°·sin75°=$\frac{1}{4}$，得：
$AE=\frac{8\sin15° · \sin75°}{\sin45°}=\frac{8×\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{2}$
答：AE的长为$2\sqrt{2}$。
∵ AC平分∠BAD，∠BAD=60°，
∴ ∠BAC=∠CAD=30°。
∵ ∠CBD与∠CAD都是弧CD所对的圆周角，
∴ ∠CBD=∠CAD=30°，即∠CBE=30°。
在△BCE中，∠BEC=180°-∠CBE-∠BCE=180°-30°-15°=135°。
∵ ∠BAC=30°，
∴ 弧BC所对的圆心角∠BOC=2∠BAC=60°，
又∵ OB=OC=4，
∴ △OBC为等边三角形，BC=4。
∵ 在△ABC中，∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=135°，
∴ ∠ABC所对的优弧AC的度数为2×135°=270°，
∴ 劣弧AC的度数为360°-270°=90°，
∴ 劣弧AC所对的圆心角∠AOC=90°，
∵ OA=OC=4，∠AOC=90°，
∴ AC=√(OA²+OC²)=4√2。
过点B作BF⊥AC于点F，
在Rt△BFC中，∠BFC=90°，∠BCF=15°，BC=4，得BF=BC·sin15°。
在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠BEF=180°-∠BEC=45°，得EF=BF=4sin15°。
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，得AB=2BF=8sin15°。
在△ABE中，∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB=105°，由正弦定理：
$\frac{AE}{\sin105°}=\frac{AB}{\sin45°}$
代入sin105°=sin75°，sin15°·sin75°=$\frac{1}{4}$，得：
$AE=\frac{8\sin15° · \sin75°}{\sin45°}=\frac{8×\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{2}$
答：AE的长为$2\sqrt{2}$。
解析
【分析】
解题时从已知条件逐步推导：1. 先利用角平分线性质得到∠BAC=∠CAD=30°，再结合圆周角定理，同弧所对圆周角相等求出∠CBD的度数，进而得到△BCE中∠BEC的度数；2. 利用圆周角与圆心角的关系，得到弧BC对应的圆心角∠BOC=60°，判定△OBC为等边三角形，求出BC的长度；3. 推导劣弧AC对应的圆心角为90°，用勾股定理算出AC的长度；4. 作BF⊥AC构造直角三角形，结合特殊角的三角函数关系求出相关线段长度，最后利用正弦定理求出AE即可。
【解析】
∵ AC平分∠BAD，∠BAD=60°，
∴ ∠BAC=∠CAD=30°。
∵ ∠CBD与∠CAD都是弧CD所对的圆周角，
∴ ∠CBD=∠CAD=30°，即∠CBE=30°。
在△BCE中，∠BEC=180°-∠CBE-∠BCE=180°-30°-15°=135°。
∵ ∠BAC=30°，
∴ 弧BC所对的圆心角∠BOC=2∠BAC=60°，
又
∵ OB=OC=4，
∴ △OBC为等边三角形，BC=4。
在△ABC中，∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-30°-15°=135°，
∴ ∠ABC所对的优弧AC的度数为2×135°=270°，
∴ 劣弧AC的度数为360°-270°=90°，
∴ 劣弧AC所对的圆心角∠AOC=90°，
∵ OA=OC=4，∠AOC=90°，
∴ AC=√(OA²+OC²)=√(4²+4²)=4√2。
过点B作BF⊥AC于点F，
在Rt△BFC中，∠BFC=90°，∠BCF=15°，BC=4，得BF=BC·sin15°=4sin15°。
在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠BEF=180°-∠BEC=45°，得EF=BF=4sin15°。
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，得AB=2BF=8sin15°。
在△ABE中，∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB=180°-30°-45°=105°，由正弦定理：
$\frac{AE}{\sin105°}=\frac{AB}{\sin45°}$
代入sin105°=sin75°，sin15°·sin75°=$\frac{1}{4}$，sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得：
$AE=\frac{8\sin15° · \sin75°}{\sin45°}=\frac{8×\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，解直角三角形，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，核心是利用圆周角定理完成角度、弧、圆心角之间的转化，通过作辅助线构造直角三角形求解线段，需要具备较强的角度转化和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.4
解题时从已知条件逐步推导：1. 先利用角平分线性质得到∠BAC=∠CAD=30°，再结合圆周角定理，同弧所对圆周角相等求出∠CBD的度数，进而得到△BCE中∠BEC的度数；2. 利用圆周角与圆心角的关系，得到弧BC对应的圆心角∠BOC=60°，判定△OBC为等边三角形，求出BC的长度；3. 推导劣弧AC对应的圆心角为90°，用勾股定理算出AC的长度；4. 作BF⊥AC构造直角三角形，结合特殊角的三角函数关系求出相关线段长度，最后利用正弦定理求出AE即可。
【解析】
∵ AC平分∠BAD，∠BAD=60°，
∴ ∠BAC=∠CAD=30°。
∵ ∠CBD与∠CAD都是弧CD所对的圆周角，
∴ ∠CBD=∠CAD=30°，即∠CBE=30°。
在△BCE中，∠BEC=180°-∠CBE-∠BCE=180°-30°-15°=135°。
∵ ∠BAC=30°，
∴ 弧BC所对的圆心角∠BOC=2∠BAC=60°，
又
∵ OB=OC=4，
∴ △OBC为等边三角形，BC=4。
在△ABC中，∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-30°-15°=135°，
∴ ∠ABC所对的优弧AC的度数为2×135°=270°，
∴ 劣弧AC的度数为360°-270°=90°，
∴ 劣弧AC所对的圆心角∠AOC=90°，
∵ OA=OC=4，∠AOC=90°，
∴ AC=√(OA²+OC²)=√(4²+4²)=4√2。
过点B作BF⊥AC于点F，
在Rt△BFC中，∠BFC=90°，∠BCF=15°，BC=4，得BF=BC·sin15°=4sin15°。
在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠BEF=180°-∠BEC=45°，得EF=BF=4sin15°。
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，得AB=2BF=8sin15°。
在△ABE中，∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB=180°-30°-45°=105°，由正弦定理：
$\frac{AE}{\sin105°}=\frac{AB}{\sin45°}$
代入sin105°=sin75°，sin15°·sin75°=$\frac{1}{4}$，sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得：
$AE=\frac{8\sin15° · \sin75°}{\sin45°}=\frac{8×\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，解直角三角形，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，核心是利用圆周角定理完成角度、弧、圆心角之间的转化，通过作辅助线构造直角三角形求解线段，需要具备较强的角度转化和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.4
