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8. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,BD平分$∠ ABC$交AC于点D,$△ ABD$的外接圆交BC于另一点E.求证:$AD=CE$.
答案
证明：
连接DE。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠EBD，
根据同圆中相等的圆周角所对的弦相等，可得AD = DE。
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C。
∵ 四边形ABED是△ABD外接圆的内接四边形，
∴ ∠CDE = ∠ABC（圆内接四边形的外角等于它的内对角），
∴ ∠CDE = ∠C，
∴ CE = DE，
∴ AD = CE。
连接DE。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠EBD，
根据同圆中相等的圆周角所对的弦相等，可得AD = DE。
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C。
∵ 四边形ABED是△ABD外接圆的内接四边形，
∴ ∠CDE = ∠ABC（圆内接四边形的外角等于它的内对角），
∴ ∠CDE = ∠C，
∴ CE = DE，
∴ AD = CE。
解析
【分析】
要证明AD=CE，可通过中间量进行等量转化。首先观察到BD是∠ABC的角平分线，结合△ABD的外接圆，根据圆周角定理的推论，相等圆周角所对的弦相等，可推出AD=DE，因此只需证明DE=CE即可；要证DE=CE，需证对应底角∠CDE=∠C，结合已知AB=AC可得∠ABC=∠C，再利用圆内接四边形外角等于内对角的性质，可推出∠CDE=∠ABC，进而得到∠CDE=∠C，即可完成证明，解题时首先连接辅助线DE。
【解析】
证明：
连接DE。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠EBD，
根据同圆中相等的圆周角所对的弦相等，可得AD = DE。
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C。
∵ 四边形ABED是△ABD外接圆的内接四边形，
∴ ∠CDE = ∠ABC（圆内接四边形的外角等于它的内对角），
∴ ∠CDE = ∠C，
∴ CE = DE，
∴ AD = CE。
【答案】
AD=CE，证明过程如上。
【知识点】
圆周角定理推论、等腰三角形性质、圆内接四边形性质
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础证明题，核心是通过添加辅助线DE构造中间等量，利用圆周角性质和圆内接四边形性质完成角的等量转化，进而得到线段相等，掌握圆的基本性质和常见辅助线的构造方法是解题关键。
【难度系数】
0.7
要证明AD=CE，可通过中间量进行等量转化。首先观察到BD是∠ABC的角平分线，结合△ABD的外接圆，根据圆周角定理的推论，相等圆周角所对的弦相等，可推出AD=DE，因此只需证明DE=CE即可；要证DE=CE，需证对应底角∠CDE=∠C，结合已知AB=AC可得∠ABC=∠C，再利用圆内接四边形外角等于内对角的性质，可推出∠CDE=∠ABC，进而得到∠CDE=∠C，即可完成证明，解题时首先连接辅助线DE。
【解析】
证明：
连接DE。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠EBD，
根据同圆中相等的圆周角所对的弦相等，可得AD = DE。
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C。
∵ 四边形ABED是△ABD外接圆的内接四边形，
∴ ∠CDE = ∠ABC（圆内接四边形的外角等于它的内对角），
∴ ∠CDE = ∠C，
∴ CE = DE，
∴ AD = CE。
【答案】
AD=CE，证明过程如上。
【知识点】
圆周角定理推论、等腰三角形性质、圆内接四边形性质
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础证明题，核心是通过添加辅助线DE构造中间等量，利用圆周角性质和圆内接四边形性质完成角的等量转化，进而得到线段相等，掌握圆的基本性质和常见辅助线的构造方法是解题关键。
【难度系数】
0.7
9. 如图，在$\odot O$的内接四边形$ACDB$中，$AB$为直径，$AC:BC=1:2$，$D$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$BE ⊥ CD$，交$CD$的延长线于点$E$.
(1) 求$∠ BCE$的度数；
(2) 求证：$D$为$CE$的中点.
(1) 求$∠ BCE$的度数；
(2) 求证：$D$为$CE$的中点.
答案
解：(1)
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $∠ ACD=∠ BCD$（等弧所对的圆周角相等）。
又∵ $∠ ACD+∠ BCD=∠ ACB=90°$，
∴ $∠ BCD=45°$，即$∠ BCE=45°$。
(2) 证明：
连接AD。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$。
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $AD=BD$，$△ ABD$为等腰直角三角形，
∴ $BD=AB·\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}AB$。
∵ 四边形ACDB是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ BDE=∠ BAC$（圆内接四边形的外角等于它的内对角）。
∵ $BE⊥ CD$，即$∠ E=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$DE=BD·\cos∠ BDE=BD·\cos∠ BAC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\cos∠ BAC=\frac{AC}{AB}$，代入得：
$DE=\frac{\sqrt{2}}{2}AB·\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}AC$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$∠ E=90°$，$∠ BCE=45°$，
∴ $CE=BC·\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}BC$。
已知$AC:BC=1:2$，即$BC=2AC$，代入得：
$CE=\frac{\sqrt{2}}{2}·2AC=\sqrt{2}AC=2DE$，
∴ $CD=CE-DE=DE$，即D为CE的中点。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $∠ ACD=∠ BCD$（等弧所对的圆周角相等）。
又∵ $∠ ACD+∠ BCD=∠ ACB=90°$，
∴ $∠ BCD=45°$，即$∠ BCE=45°$。
(2) 证明：
连接AD。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$。
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $AD=BD$，$△ ABD$为等腰直角三角形，
∴ $BD=AB·\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}AB$。
∵ 四边形ACDB是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ BDE=∠ BAC$（圆内接四边形的外角等于它的内对角）。
∵ $BE⊥ CD$，即$∠ E=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$DE=BD·\cos∠ BDE=BD·\cos∠ BAC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\cos∠ BAC=\frac{AC}{AB}$，代入得：
$DE=\frac{\sqrt{2}}{2}AB·\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}AC$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$∠ E=90°$，$∠ BCE=45°$，
∴ $CE=BC·\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}BC$。
已知$AC:BC=1:2$，即$BC=2AC$，代入得：
$CE=\frac{\sqrt{2}}{2}·2AC=\sqrt{2}AC=2DE$，
∴ $CD=CE-DE=DE$，即D为CE的中点。
解析
【分析】
(1) 求∠BCE的度数时，先由AB是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得∠ACB=90°；再由D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，可知$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得CD平分∠ACB，进而求出∠BCE的度数。
(2) 要证D为CE的中点，即证CD=DE。首先连接AD，先利用直径的性质得∠ADB=90°，结合D是弧AB中点推出△ABD是等腰直角三角形，得到BD与AB的数量关系；再利用圆内接四边形外角等于内对角，得∠BDE=∠BAC，分别在Rt△BDE、Rt△ABC、Rt△BCE中用三角函数表示DE、CE的长度，结合AC:BC=1:2的比例，推导得CE=2DE，即可证明结论。
【解析】
(1)
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $∠ ACD=∠ BCD$（等弧所对的圆周角相等）。
又
∵ $∠ ACD+∠ BCD=∠ ACB=90°$，
∴ $∠ BCD=45°$，即$∠ BCE=45°$。
(2) 证明：
连接AD。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$。
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $AD=BD$，$△ ABD$为等腰直角三角形，
∴ $BD=AB·\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}AB$。
∵ 四边形ACDB是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ BDE=∠ BAC$（圆内接四边形的外角等于它的内对角）。
∵ $BE⊥ CD$，即$∠ E=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$DE=BD·\cos∠ BDE=BD·\cos∠ BAC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\cos∠ BAC=\frac{AC}{AB}$，代入得：
$DE=\frac{\sqrt{2}}{2}AB·\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}AC$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$∠ E=90°$，$∠ BCE=45°$，
∴ $CE=BC·\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}BC$。
已知$AC:BC=1:2$，即$BC=2AC$，代入得：
$CE=\frac{\sqrt{2}}{2}·2AC=\sqrt{2}AC=2DE$，
∴ $CD=CE-DE=DE$，即D为CE的中点。
【答案】
(1) $∠ BCE=45°$；
(2) 已证明D为CE的中点。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形
【点评】
本题属于圆与直角三角形结合的典型题型，解题的关键是灵活运用圆的性质实现角、边关系的转化，同时结合直角三角形的边角计算完成推导，既考查了基础定理的掌握，也对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 求∠BCE的度数时，先由AB是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得∠ACB=90°；再由D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，可知$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得CD平分∠ACB，进而求出∠BCE的度数。
(2) 要证D为CE的中点，即证CD=DE。首先连接AD，先利用直径的性质得∠ADB=90°，结合D是弧AB中点推出△ABD是等腰直角三角形，得到BD与AB的数量关系；再利用圆内接四边形外角等于内对角，得∠BDE=∠BAC，分别在Rt△BDE、Rt△ABC、Rt△BCE中用三角函数表示DE、CE的长度，结合AC:BC=1:2的比例，推导得CE=2DE，即可证明结论。
【解析】
(1)
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $∠ ACD=∠ BCD$（等弧所对的圆周角相等）。
又
∵ $∠ ACD+∠ BCD=∠ ACB=90°$，
∴ $∠ BCD=45°$，即$∠ BCE=45°$。
(2) 证明：
连接AD。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$。
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $AD=BD$，$△ ABD$为等腰直角三角形，
∴ $BD=AB·\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}AB$。
∵ 四边形ACDB是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ BDE=∠ BAC$（圆内接四边形的外角等于它的内对角）。
∵ $BE⊥ CD$，即$∠ E=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$DE=BD·\cos∠ BDE=BD·\cos∠ BAC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\cos∠ BAC=\frac{AC}{AB}$，代入得：
$DE=\frac{\sqrt{2}}{2}AB·\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}AC$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$∠ E=90°$，$∠ BCE=45°$，
∴ $CE=BC·\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}BC$。
已知$AC:BC=1:2$，即$BC=2AC$，代入得：
$CE=\frac{\sqrt{2}}{2}·2AC=\sqrt{2}AC=2DE$，
∴ $CD=CE-DE=DE$，即D为CE的中点。
【答案】
(1) $∠ BCE=45°$；
(2) 已证明D为CE的中点。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形
【点评】
本题属于圆与直角三角形结合的典型题型，解题的关键是灵活运用圆的性质实现角、边关系的转化，同时结合直角三角形的边角计算完成推导，既考查了基础定理的掌握，也对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
