1. 下列多边形中，一定有外接圆的是()。

A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形

A

【分析】
要判断哪种多边形一定有外接圆，首先明确：多边形有外接圆的本质是其所有顶点都能在同一个圆上。首先回忆圆的确定定理：不在同一条直线上的三个点确定唯一的一个圆。三角形的三个顶点必然不在同一直线上，因此任意三角形都能找到过三个顶点的圆，也就是一定有外接圆。而边数≥4的多边形，并不是所有顶点都能共圆，只有满足特定条件才有外接圆，因此不是“一定有”，据此即可选出正确选项。
【解析】
逐个分析选项：
A. 三角形：根据圆的确定条件，不在同一直线上的三个点可以确定唯一的圆，任意三角形的三个顶点都不在同一直线上，因此所有三角形都有唯一的外接圆，符合要求。
B. 四边形：只有对角互补的四边形才有外接圆，例如普通的非矩形平行四边形，对角相等但不互补，不存在外接圆，因此四边形不一定有外接圆。
C. 五边形：只有特殊的五边形（如正五边形）才有外接圆，任意五边形的顶点不一定共圆，因此不一定有外接圆。
D. 六边形：同理，只有特殊的六边形（如正六边形）才有外接圆，普通六边形不一定有外接圆。
综上，只有三角形一定有外接圆。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件；多边形外接圆；圆内接四边形性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对多边形外接圆存在条件的掌握，解题关键是牢记任意三角形都存在外接圆，边数≥4的多边形仅在满足特定条件时才有外接圆。
【难度系数】
0.9

2. 如图,在平面直角坐标系中,$\odot C$过原点$O$,且与两坐标轴分别交于点$A$,$B$,点$A$的坐标为$(0,3)$,$M$是第三象限内$\overset{\frown}{OB}$上一点,$∠ BMO=120°$,则$\odot C$的半径长为().

A.6
B.5
C.3
D.$3\sqrt{2}$

C

【分析】
解题思路如下：首先，A、B、M、O四点都在⊙C上，因此四边形ABMO是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠BMO=120°可求出∠BAO的度数；其次，x轴与y轴垂直，即∠AOB=90°，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，可判断AB为⊙C的直径；最后在Rt△AOB中，利用直角三角形的边角关系求出直径AB的长度，除以2即可得到圆的半径。
【解析】
解：
∵四边形ABMO是⊙C的内接四边形，
∴∠BAO + ∠BMO = 180°（圆内接四边形对角互补），
∵∠BMO=120°，
∴∠BAO=180°-120°=60°，
∵x轴与y轴垂直，即∠AOB=90°，
∴AB是⊙C的直径（90°的圆周角所对的弦为直径），
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠BAO=60°，
∴∠ABO=30°，
∵30°角所对的直角边等于斜边的一半，且OA=3，
∴AB=2OA=6，
∴⊙C的半径为$\frac{1}{2}AB=3$。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是灵活运用圆内接四边形的性质和圆周角定理，将圆的条件转化为直角三角形的边角条件求解，是圆周角相关知识点的典型考法。
【难度系数】
0.7

3. 四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D=5:m:4:n$，则$m$，$n$满足的条件是().

A.$5m=4n$
B.$4m=5n$
C.$m+n=9$
D.$m+n=180°$

C

【分析】
解题时首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即两组对角的和相等。题目给出了四个角的比例关系，我们可以通过设每份为参数的方式，将角度用含参数的式子表示，再利用对角和相等的关系消去参数，就能得到m和n的关系。另外要注意m、n是比例的份数，不是角度数值，可直接排除单位不符的选项。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ 根据圆内接四边形的性质，对角互补，可得：
$∠ A + ∠ C = 180°$，$∠ B + ∠ D = 180°$，
即 $∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D$。
已知$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D=5:m:4:n$，设每份角度为$k$（$k＞0$），则：
$∠ A=5k$，$∠ B=mk$，$∠ C=4k$，$∠ D=nk$，
代入等式得：$5k + 4k = mk + nk$，
两边同时除以非零常数$k$，得：$5+4 = m + n$，
即 $m + n = 9$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；比例的应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆内接四边形对角互补的性质，结合比例关系推导即可，解题时要注意区分比例份数和角度数值，避免误选带角度单位的错误选项。
【难度系数】
0.8

4. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$DA=DC$，点E在边AB的延长线上，$∠ CBE=50°$，则$∠ DAC$的度数为________。
（第4题）

$\boldsymbol{65°}$

【分析】
解题时先利用圆内接四边形的性质，得到外角等于它的内对角，求出∠ADC的度数，再结合已知DA=DC，可知△ADC是等腰三角形，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠DAC的度数。
【解析】
1. 因为四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形的对角互补，可得$∠ ABC + ∠ ADC = 180°$；
又因为$∠ ABC + ∠ CBE = 180°$（邻补角的定义），所以$∠ ADC = ∠ CBE = 50°$。
2. 已知$DA=DC$，所以$△ ADC$是等腰三角形，因此$∠ DAC = ∠ DCA$。
3. 根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ DAC = \frac{180° - ∠ ADC}{2} = \frac{180° - 50°}{2} = 65°$
【答案】
$\boldsymbol{65°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆内接四边形和等腰三角形性质的综合应用，解题的核心是利用圆内接四边形外角等于内对角的性质快速求出$∠ ADC$的度数。
【难度系数】
0.85

5. 如图，正方形ABCD内接于$\odot O$，P是AD上任意一点，则$∠ ABP + ∠ DCP$的度数为.

$\boldsymbol{45°}$

【分析】
解题时首先回忆圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。我们可以将要求的两个角分别转化为它们所对弧的度数的一半，观察图形可知∠ABP所对的弧是弧AP，∠DCP所对的弧是弧DP，两个角相加就等于弧AP与弧DP度数和的一半，也就是弧AD度数的一半。接下来结合正方形内接于圆的性质，正方形的四条边相等，对应的四段弧度数相等，就能求出弧AD的度数，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ 正方形ABCD内接于$\odot O$
∴ 弧AB、弧BC、弧CD、弧DA的度数相等
∵ 整个圆周的度数为$360°$
∴ 弧AD的度数为 $360° ÷ 4 = 90°$
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，可得：
$∠ ABP = \frac{1}{2} ×$ 弧AP的度数，$∠ DCP = \frac{1}{2} ×$ 弧DP的度数
∴ $∠ ABP + ∠ DCP = \frac{1}{2} × ($弧AP的度数 $+$ 弧DP的度数$) = \frac{1}{2} ×$ 弧AD的度数
代入弧AD的度数计算：
$∠ ABP + ∠ DCP = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
【答案】
$\boldsymbol{45°}$
【知识点】
圆周角定理；圆内接正方形的性质
【点评】
本题是基础题型，核心是利用圆周角定理将角度和转化为对应弧的度数和的一半，结合圆内接正方形的弧的特征即可快速求解，熟练掌握圆周角定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8

6. 如图，在$\odot O$中，半径OA，OB互相垂直，点C在$\overset{\frown}{AB}$上。若$∠ ABC=19°$，则$∠ BAC$的度数为。

$\boldsymbol{26°}$

【分析】
解题思路：首先根据半径OA、OB互相垂直求出圆心角∠AOB的度数，得到弧AB的度数；再利用圆周角定理，由已知∠ABC的度数求出其所对弧AC的度数；接着计算出弧BC的度数，最后再次运用圆周角定理求出弧BC所对的圆周角∠BAC的度数即可。
【解析】
解：$\because OA⊥ OB$，$\therefore ∠ AOB=90°$，
$\therefore$ 弧$AB$的度数为$90°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应圆心角度数的一半，
$\because ∠ ABC$是弧$AC$所对的圆周角，
$\therefore ∠ ABC=\frac{1}{2}×$弧$AC$的度数，
$\therefore$ 弧$AC$的度数$=2×∠ ABC=2×19°=38°$，
$\therefore$ 弧$BC$的度数$=$弧$AB$的度数$-$弧$AC$的度数$=90°-38°=52°$，
又$\because ∠ BAC$是弧$BC$所对的圆周角，
$\therefore ∠ BAC=\frac{1}{2}×$弧$BC$的度数$=\frac{1}{2}×52°=26°$。
【答案】
$\boldsymbol{26°}$
【知识点】
圆周角定理，垂直的定义，圆心角与弧的关系
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是熟练掌握圆周角和它所对的弧、对应圆心角之间的数量关系，结合已知条件逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.7

三、解答题
7. 如图，四边形BCDE内接于$\odot O$，若$\overset{\frown}{AE}$的度数等于$18°$，$∠ ADC=85°$，求$∠ CBE$的度数.

解：
∵ $\overset{\frown}{AE}$的度数等于$18°$，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
∴ $∠ ADE = \frac{1}{2} × 18° = 9°$。
∵ $∠ ADC = 85°$，
∴ $∠ CDE = ∠ ADC + ∠ ADE = 85° + 9° = 94°$。
∵ 四边形$BCDE$内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴ $∠ CBE + ∠ CDE = 180°$，
∴ $∠ CBE = 180° - 94° = 86°$。
答：$∠ CBE$的度数为$86°$。

【分析】
解题时首先从已知条件$\overset{\frown}{AE}$的度数入手，根据圆周角定理，弧的度数的一半等于它所对的圆周角的度数，可求出$\overset{\frown}{AE}$所对的圆周角$∠ADE$的度数；接着结合已知的$∠ADC$，通过角度和差计算得到$∠CDE$的度数；最后观察到四边形BCDE是圆内接四边形，利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出$∠CBE$的度数。
【解析】
$\because$ $\overset{\frown}{AE}$的度数等于$18°$，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
$\therefore$ $∠ ADE = \frac{1}{2} × 18° = 9°$。
$\because$ $∠ ADC = 85°$，
$\therefore$ $∠ CDE = ∠ ADC + ∠ ADE = 85° + 9° = 94°$。
$\because$ 四边形$BCDE$内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质，
$\therefore$ $∠ CBE + ∠ CDE = 180°$，
$\therefore$ $∠ CBE = 180° - 94° = 86°$。
【答案】
$86°$
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；角度和差计算
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质，找准角与弧、角与角之间的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.75