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8.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，∠ADC=106°，则∠CAB的度数为(
A.$10°$
B.$14°$
C.$16°$
D.$26°$
C
).A.$10°$
B.$14°$
C.$16°$
D.$26°$
答案
8. C
解析
【分析】
遇到直径条件时，可优先考虑直径所对的圆周角为直角，因此先连接辅助线BC，构造直角三角形ACB。已知∠ADC的度数，结合圆内接四边形对角互补的性质，可求出∠ABC的度数，最后利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算出∠CAB的度数。
【解析】
解：连接BC。
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵四边形ABCD是半圆O的内接四边形，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
已知∠ADC=106°，代入得：
∠ABC=180°-106°=74°。
在Rt△ACB中，∠CAB + ∠ABC = 90°，
∴∠CAB=90°-74°=16°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题考查圆的基本性质的综合应用，解题的关键是根据直径的特征合理添加辅助线构造直角三角形，再结合圆内接四边形的性质即可求解，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
遇到直径条件时，可优先考虑直径所对的圆周角为直角，因此先连接辅助线BC，构造直角三角形ACB。已知∠ADC的度数，结合圆内接四边形对角互补的性质，可求出∠ABC的度数，最后利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算出∠CAB的度数。
【解析】
解：连接BC。
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵四边形ABCD是半圆O的内接四边形，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
已知∠ADC=106°，代入得：
∠ABC=180°-106°=74°。
在Rt△ACB中，∠CAB + ∠ABC = 90°，
∴∠CAB=90°-74°=16°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题考查圆的基本性质的综合应用，解题的关键是根据直径的特征合理添加辅助线构造直角三角形，再结合圆内接四边形的性质即可求解，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
9.如图，点A，B，C，D，E都在$\odot O$上，BE是$\odot O$的直径，$BE// CD$，$∠ E=28°$，则$∠ A$的度数为(
A.$28°$
B.$56°$
C.$62°$
D.$68°$
C
).A.$28°$
B.$56°$
C.$62°$
D.$68°$
答案
9. C
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：①看到BE是圆的直径，优先联想“直径所对的圆周角为直角”，因此连接BD构造直角三角形；②在Rt△BDE中，已知∠BED的度数，可求出∠DBE的度数；③结合BE//CD的条件，利用平行线内错角相等的性质，得到∠BDC与∠DBE相等；④最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，∠BDC和∠A是同弧BC所对的圆周角，二者相等即可求出∠A的度数。
【解析】
连接BD，
∵BE是$\odot O$的直径，
∴$∠ BDE=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$Rt△ BDE$中，$∠ BED=28°$，
∴$∠ DBE=90°-∠ BED=90°-28°=62°$，
∵$BE// CD$，
∴$∠ BDC=∠ DBE=62°$（两直线平行，内错角相等），
又
∵$∠ BDC$和$∠ BAC$（即$∠ A$）都是弧$BC$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，
∴$∠ A=∠ BDC=62°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；平行线的性质；直径的性质
【点评】
本题属于圆与平行线结合的基础计算题，核心是通过角度转化求解圆周角，需要熟练掌握圆的基本性质和平行线的性质，解题关键是利用直径构造直角三角形，再结合圆周角定理完成角度推导。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下步骤思考：①看到BE是圆的直径，优先联想“直径所对的圆周角为直角”，因此连接BD构造直角三角形；②在Rt△BDE中，已知∠BED的度数，可求出∠DBE的度数；③结合BE//CD的条件，利用平行线内错角相等的性质，得到∠BDC与∠DBE相等；④最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，∠BDC和∠A是同弧BC所对的圆周角，二者相等即可求出∠A的度数。
【解析】
连接BD，
∵BE是$\odot O$的直径，
∴$∠ BDE=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$Rt△ BDE$中，$∠ BED=28°$，
∴$∠ DBE=90°-∠ BED=90°-28°=62°$，
∵$BE// CD$，
∴$∠ BDC=∠ DBE=62°$（两直线平行，内错角相等），
又
∵$∠ BDC$和$∠ BAC$（即$∠ A$）都是弧$BC$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，
∴$∠ A=∠ BDC=62°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；平行线的性质；直径的性质
【点评】
本题属于圆与平行线结合的基础计算题，核心是通过角度转化求解圆周角，需要熟练掌握圆的基本性质和平行线的性质，解题关键是利用直径构造直角三角形，再结合圆周角定理完成角度推导。
【难度系数】
0.7
10.如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ ACD = ∠ CAB$，$AD = 2$，$AC = 4$，则$\odot O$的半径为（
A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}$
D
）.A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}$
答案
10. D
解析
【分析】
首先看到AB是圆的直径，优先考虑直径所对的圆周角为直角，因此连接BC构造直角三角形ACB。接下来利用已知的∠ACD=∠CAB，根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，等弧对等弦，可推出BC=AD=2，最后在直角三角形ACB中用勾股定理求出直径AB的长度，除以2即可得到圆的半径。
【解析】
解：连接BC，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
∵ $∠ ACD$和$∠ CAB$都是圆周角，且$∠ ACD=∠ CAB$，
$∠ ACD$对弧AD，$∠ CAB$对弧BC，
∴ 弧AD=弧BC，
∴ $BC=AD=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$AC=4$，$BC=2$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴ $\odot O$的半径为$AB÷2=2\sqrt{5}÷2=\sqrt{5}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，直径的性质
【点评】
本题是圆的基础计算类题型，解题的核心是通过连接辅助线BC构造直角三角形，结合圆周角的性质得到相等线段，再利用勾股定理计算，属于圆与直角三角形结合的常规考题，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先看到AB是圆的直径，优先考虑直径所对的圆周角为直角，因此连接BC构造直角三角形ACB。接下来利用已知的∠ACD=∠CAB，根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，等弧对等弦，可推出BC=AD=2，最后在直角三角形ACB中用勾股定理求出直径AB的长度，除以2即可得到圆的半径。
【解析】
解：连接BC，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
∵ $∠ ACD$和$∠ CAB$都是圆周角，且$∠ ACD=∠ CAB$，
$∠ ACD$对弧AD，$∠ CAB$对弧BC，
∴ 弧AD=弧BC，
∴ $BC=AD=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$AC=4$，$BC=2$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴ $\odot O$的半径为$AB÷2=2\sqrt{5}÷2=\sqrt{5}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，直径的性质
【点评】
本题是圆的基础计算类题型，解题的核心是通过连接辅助线BC构造直角三角形，结合圆周角的性质得到相等线段，再利用勾股定理计算，属于圆与直角三角形结合的常规考题，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
11.如图,已知六边形ABCDEF内接于$\odot O$,$∠ CAE = 60°$,则$∠ B + ∠ F$的度数是(
A.$230°$
B.$240°$
C.$235°$
D.$245°$
B
).A.$230°$
B.$240°$
C.$235°$
D.$245°$
答案
11. B
解析
【分析】
本题可结合圆内接四边形的性质与三角形内角和定理求解。首先观察到六边形内接于圆，我们可以将所求的∠B和∠F分别放到两个圆内接四边形中，利用圆内接四边形对角互补的性质，把∠B、∠F转化为与△ACE内角相关的角，再结合已知的∠CAE=60°，通过三角形内角和关系即可算出结果。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCE内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴ $∠ B + ∠ AEC = 180°$，即$∠ B = 180° - ∠ AEC$ ①
∵ 四边形ACEF内接于$\odot O$，同理可得：
∴ $∠ F + ∠ ACE = 180°$，即$∠ F = 180° - ∠ ACE$ ②
将①+②得：$∠ B + ∠ F = 360° - (∠ AEC + ∠ ACE)$
在$△ ACE$中，根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ CAE=60°$，
∴ $∠ AEC + ∠ ACE = 180° - ∠ CAE = 180° - 60° = 120°$
代入上式得：$∠ B + ∠ F = 360° - 120° = 240°$
【答案】
B
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题解题的核心是合理拆分图形，构造圆内接四边形，将所求的未知角和已知角建立关联，属于对圆内接多边形基础性质的灵活应用考查。
【难度系数】
0.65
本题可结合圆内接四边形的性质与三角形内角和定理求解。首先观察到六边形内接于圆，我们可以将所求的∠B和∠F分别放到两个圆内接四边形中，利用圆内接四边形对角互补的性质，把∠B、∠F转化为与△ACE内角相关的角，再结合已知的∠CAE=60°，通过三角形内角和关系即可算出结果。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCE内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴ $∠ B + ∠ AEC = 180°$，即$∠ B = 180° - ∠ AEC$ ①
∵ 四边形ACEF内接于$\odot O$，同理可得：
∴ $∠ F + ∠ ACE = 180°$，即$∠ F = 180° - ∠ ACE$ ②
将①+②得：$∠ B + ∠ F = 360° - (∠ AEC + ∠ ACE)$
在$△ ACE$中，根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ CAE=60°$，
∴ $∠ AEC + ∠ ACE = 180° - ∠ CAE = 180° - 60° = 120°$
代入上式得：$∠ B + ∠ F = 360° - 120° = 240°$
【答案】
B
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题解题的核心是合理拆分图形，构造圆内接四边形，将所求的未知角和已知角建立关联，属于对圆内接多边形基础性质的灵活应用考查。
【难度系数】
0.65
12.用破损的量角器按如图所示的方式测量∠ABC的度数,让∠ABC的顶点恰好在量角器圆弧上,两边分别经过圆弧上的A,C两点.若点A,C对应的刻度分别为$55°$,$135°$,则∠ABC的度数为
140
°.答案
12. 140
解析
【分析】
解题时首先明确量角器的圆弧属于同一个圆的弧，A、B、C三点均在该圆上，因此∠ABC是圆的圆周角，可结合圆周角定理求解：第一步先根据A、C的刻度求出经过点B的弧AC的度数，第二步求出∠ABC所对的不经过点B的弧AC的度数，第三步根据圆周角定理计算∠ABC的度数即可。
【解析】
解：由题意可知，A、B、C三点都在量角器所在的圆上，∠ABC为该圆的圆周角。
∵点A、C对应的刻度分别为$55°$、$135°$，
∴经过点B的弧AC的度数为 $135° - 55° = 80°$，
∴∠ABC所对的弧（不经过点B的弧AC）的度数为 $360° - 80° = 280°$，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，
可得 $∠ ABC = \frac{1}{2} × 280° = 140°$。
【答案】
$140$
【知识点】
圆周角定理，量角器的读数
【点评】
本题结合生活中的破损量角器场景考查圆周角定理的应用，解题的关键是判断三点共圆，准确区分圆周角对应的弧段，较好地考查了知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确量角器的圆弧属于同一个圆的弧，A、B、C三点均在该圆上，因此∠ABC是圆的圆周角，可结合圆周角定理求解：第一步先根据A、C的刻度求出经过点B的弧AC的度数，第二步求出∠ABC所对的不经过点B的弧AC的度数，第三步根据圆周角定理计算∠ABC的度数即可。
【解析】
解：由题意可知，A、B、C三点都在量角器所在的圆上，∠ABC为该圆的圆周角。
∵点A、C对应的刻度分别为$55°$、$135°$，
∴经过点B的弧AC的度数为 $135° - 55° = 80°$，
∴∠ABC所对的弧（不经过点B的弧AC）的度数为 $360° - 80° = 280°$，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，
可得 $∠ ABC = \frac{1}{2} × 280° = 140°$。
【答案】
$140$
【知识点】
圆周角定理，量角器的读数
【点评】
本题结合生活中的破损量角器场景考查圆周角定理的应用，解题的关键是判断三点共圆，准确区分圆周角对应的弧段，较好地考查了知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
13.如图,定长弦CD在以AB为直径的$\odot O$上滑动(点C,D与点A,B不重合),M是CD的中点,过点C作$CP ⊥ AB$,垂足为P.若$CD=3$,$AB=8$,$PM=l$,则$l$的最大值是
4
.答案
13. 4
解析
【分析】
解题时我们可以通过构造辅助线，结合圆和三角形的相关性质求最值：第一步，连接OC、OM，根据垂径定理可得OM垂直CD，结合CP垂直AB，能得到两个以OC为斜边的直角三角形；第二步，取OC的中点E，连接PE、ME，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得PE、ME的长度都等于OC的一半；第三步，根据三角形三边关系，PM≤PE+ME，当三点共线时取等号，即可推出PM的最大值就是OC的长度，也就是⊙O的半径。
【解析】
解：连接OC、OM，取OC的中点E，连接PE、ME。
1. 根据垂径定理，M是弦CD的中点，因此OM⊥CD，即$∠ OMC=90°$，$△ OMC$为直角三角形；
又因为$CP⊥ AB$，因此$∠ CPO=90°$，$△ OPC$为直角三角形。
2. 因为E是OC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$PE=\frac{1}{2}OC$，$ME=\frac{1}{2}OC$，即$PE=ME=\frac{1}{2}OC$。
3. 根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，因此$PM≤ PE+ME$，当P、E、M三点共线时，等号成立，此时PM取得最大值。
4. 已知AB是$\odot O$的直径，$AB=8$，因此$\odot O$的半径$OC=\frac{1}{2}AB=4$，则$PM$的最大值为$PE+ME=\frac{1}{2}OC+\frac{1}{2}OC=OC=4$。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理，直角三角形斜边中线性质，三角形三边关系
【点评】
本题属于圆中线段最值类问题，解题核心是通过构造辅助线将陌生的最值问题转化为熟悉的三角形、直角三角形性质的应用，对学生的辅助线构造能力和知识迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以通过构造辅助线，结合圆和三角形的相关性质求最值：第一步，连接OC、OM，根据垂径定理可得OM垂直CD，结合CP垂直AB，能得到两个以OC为斜边的直角三角形；第二步，取OC的中点E，连接PE、ME，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得PE、ME的长度都等于OC的一半；第三步，根据三角形三边关系，PM≤PE+ME，当三点共线时取等号，即可推出PM的最大值就是OC的长度，也就是⊙O的半径。
【解析】
解：连接OC、OM，取OC的中点E，连接PE、ME。
1. 根据垂径定理，M是弦CD的中点，因此OM⊥CD，即$∠ OMC=90°$，$△ OMC$为直角三角形；
又因为$CP⊥ AB$，因此$∠ CPO=90°$，$△ OPC$为直角三角形。
2. 因为E是OC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$PE=\frac{1}{2}OC$，$ME=\frac{1}{2}OC$，即$PE=ME=\frac{1}{2}OC$。
3. 根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，因此$PM≤ PE+ME$，当P、E、M三点共线时，等号成立，此时PM取得最大值。
4. 已知AB是$\odot O$的直径，$AB=8$，因此$\odot O$的半径$OC=\frac{1}{2}AB=4$，则$PM$的最大值为$PE+ME=\frac{1}{2}OC+\frac{1}{2}OC=OC=4$。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理，直角三角形斜边中线性质，三角形三边关系
【点评】
本题属于圆中线段最值类问题，解题核心是通过构造辅助线将陌生的最值问题转化为熟悉的三角形、直角三角形性质的应用，对学生的辅助线构造能力和知识迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
14.如图，E是正方形ABCD内一点，满足$∠ AEB = 90°$，连接CE。若$AB = 2$，则CE的最小值为
$\sqrt{5}-1$
。答案
14. $\sqrt{5}-1$
解析
【分析】
首先，已知∠AEB=90°且AB为定长，根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可判断点E的运动轨迹是以AB为直径的圆。求CE的最小值可转化为求圆外一点C到该圆上点的最短距离，即点C到圆心的距离减去圆的半径，接下来依次计算圆心到点C的距离、圆的半径即可求解。
【解析】
取AB的中点O，连接OC、OE。
∵∠AEB=90°，
∴点E在以O为圆心，OA为半径的圆上（位于正方形内部的部分），即OE=OA=OB。
∵正方形ABCD中AB=2，
∴OA=OB=OE=$\frac{1}{2}$AB=1，BC=AB=2，∠ABC=90°。
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
根据点与圆的位置关系，圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，因此CE的最小值为$OC-OE=\sqrt{5}-1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
圆周角定理推论，点圆最值计算，勾股定理
【点评】
本题是隐圆类最值的典型题型，解题的核心是通过“定边对直角”的特征判断出动点的轨迹为圆，将线段最值问题转化为点到圆的距离问题求解，很好地考查了轨迹思想和转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
首先，已知∠AEB=90°且AB为定长，根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可判断点E的运动轨迹是以AB为直径的圆。求CE的最小值可转化为求圆外一点C到该圆上点的最短距离，即点C到圆心的距离减去圆的半径，接下来依次计算圆心到点C的距离、圆的半径即可求解。
【解析】
取AB的中点O，连接OC、OE。
∵∠AEB=90°，
∴点E在以O为圆心，OA为半径的圆上（位于正方形内部的部分），即OE=OA=OB。
∵正方形ABCD中AB=2，
∴OA=OB=OE=$\frac{1}{2}$AB=1，BC=AB=2，∠ABC=90°。
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
根据点与圆的位置关系，圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，因此CE的最小值为$OC-OE=\sqrt{5}-1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
圆周角定理推论，点圆最值计算，勾股定理
【点评】
本题是隐圆类最值的典型题型，解题的核心是通过“定边对直角”的特征判断出动点的轨迹为圆，将线段最值问题转化为点到圆的距离问题求解，很好地考查了轨迹思想和转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
