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1.如图，点A，B，C，D在$\odot O$上，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。若$∠ BOD=84°$，则$∠ ACO$的度数为(
A.$42°$
B.$44°$
C.$46°$
D.$48°$
D
)。A.$42°$
B.$44°$
C.$46°$
D.$48°$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先从已知条件$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$入手，根据同圆中等弧对应的圆心角相等，可将已知的$∠ BOD$转化为$△ AOC$的内角$∠ AOC$；再结合圆的半径相等，判断$△ AOC$为等腰三角形，最后利用等腰三角形底角相等的性质和三角形内角和定理，即可求出$∠ ACO$的度数。
【解析】
1. 因为在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得$∠ AOC=∠ BOD$。
2. 已知$∠ BOD=84°$，因此$∠ AOC=84°$。
3. 由于$OA$、$OC$都是$\odot O$的半径，故$OA=OC$，$△ AOC$为等腰三角形，$∠ ACO=∠ CAO$。
4. 根据三角形内角和为$180°$，代入计算：$∠ ACO=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-84°}{2}=48°$。
【答案】
D
【知识点】
弧与圆心角的关系；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的基本性质与三角形性质结合的基础题，核心是掌握同圆中弧、圆心角的对应关系，再结合等腰三角形的性质求解，是圆相关角度计算的典型考法。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$入手，根据同圆中等弧对应的圆心角相等，可将已知的$∠ BOD$转化为$△ AOC$的内角$∠ AOC$；再结合圆的半径相等，判断$△ AOC$为等腰三角形，最后利用等腰三角形底角相等的性质和三角形内角和定理，即可求出$∠ ACO$的度数。
【解析】
1. 因为在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得$∠ AOC=∠ BOD$。
2. 已知$∠ BOD=84°$，因此$∠ AOC=84°$。
3. 由于$OA$、$OC$都是$\odot O$的半径，故$OA=OC$，$△ AOC$为等腰三角形，$∠ ACO=∠ CAO$。
4. 根据三角形内角和为$180°$，代入计算：$∠ ACO=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-84°}{2}=48°$。
【答案】
D
【知识点】
弧与圆心角的关系；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的基本性质与三角形性质结合的基础题，核心是掌握同圆中弧、圆心角的对应关系，再结合等腰三角形的性质求解，是圆相关角度计算的典型考法。
【难度系数】
0.8
2.如图，点D在$\odot O$上，AB为$\odot O$的直径，$DC ⊥ AB$，垂足为C，四边形CDEF是正方形，连接BD。若$CO=3$，$OF=1$，则$BD=$（
A.$3\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{5}$
C.$13$
D.$2\sqrt{10}$
B
）。A.$3\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{5}$
C.$13$
D.$2\sqrt{10}$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先从已知线段和正方形的性质切入：第一步先求出正方形的边长，得到DC的长度；第二步利用DC垂直AB的条件，在Rt△DCO中用勾股定理求出圆的半径；第三步算出BC的长度，最后在Rt△DCB中用勾股定理计算BD的长度即可。
【解析】
1. 求正方形边长：
已知$CO=3$，$OF=1$，因此$CF=CO+OF=3+1=4$。
因为四边形CDEF是正方形，所以$DC=CF=4$。
2. 求圆的半径：
因为$DC⊥ AB$，所以$△ DCO$是直角三角形，根据勾股定理：
$OD=\sqrt{DC^2+CO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，即$\odot O$的半径为5，因此直径$OB=OD=5$。
3. 求$BD$的长度：
$BC=CO+OB=3+5=8$，又$DC⊥ AB$，$△ DCB$为直角三角形，根据勾股定理：
$BD=\sqrt{DC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题综合了正方形、圆、直角三角形的相关知识点，解题核心是先求出正方形边长和圆的半径，再通过两次勾股定理计算待求线段，解题思路清晰，对基础知识点的灵活运用要求较高。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知线段和正方形的性质切入：第一步先求出正方形的边长，得到DC的长度；第二步利用DC垂直AB的条件，在Rt△DCO中用勾股定理求出圆的半径；第三步算出BC的长度，最后在Rt△DCB中用勾股定理计算BD的长度即可。
【解析】
1. 求正方形边长：
已知$CO=3$，$OF=1$，因此$CF=CO+OF=3+1=4$。
因为四边形CDEF是正方形，所以$DC=CF=4$。
2. 求圆的半径：
因为$DC⊥ AB$，所以$△ DCO$是直角三角形，根据勾股定理：
$OD=\sqrt{DC^2+CO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，即$\odot O$的半径为5，因此直径$OB=OD=5$。
3. 求$BD$的长度：
$BC=CO+OB=3+5=8$，又$DC⊥ AB$，$△ DCB$为直角三角形，根据勾股定理：
$BD=\sqrt{DC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题综合了正方形、圆、直角三角形的相关知识点，解题核心是先求出正方形边长和圆的半径，再通过两次勾股定理计算待求线段，解题思路清晰，对基础知识点的灵活运用要求较高。
【难度系数】
0.7
3.如图,在半径为5 cm的$\odot O$中,圆心O到弦AB的距离为4 cm,则AB=
6
cm.答案
3. 6
解析
【分析】
题目要求圆中弦AB的长度，已知圆半径和圆心到弦的距离，可结合垂径定理与勾股定理解题：首先连接半径OA构造直角三角形，根据垂径定理可知OD垂直AB时平分AB，即AB=2AD，再在直角三角形ODA中用勾股定理求出AD的长度，最后计算得到AB的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵OD⊥AB，根据垂径定理可得：$AD = DB = \frac{1}{2}AB$，
在Rt△ODA中，OA为⊙O的半径，OA=5cm，OD=4cm，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{OA^2 - OD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\mathrm{cm}$，
∴$AB=2AD=2×3=6\mathrm{cm}$。
【答案】
6
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的常见基础题型，解题关键是掌握垂径定理的应用，学会通过连接半径、利用圆心到弦的垂线构造直角三角形，将弦长问题转化为直角三角形的边长求解问题。
【难度系数】
0.8
题目要求圆中弦AB的长度，已知圆半径和圆心到弦的距离，可结合垂径定理与勾股定理解题：首先连接半径OA构造直角三角形，根据垂径定理可知OD垂直AB时平分AB，即AB=2AD，再在直角三角形ODA中用勾股定理求出AD的长度，最后计算得到AB的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵OD⊥AB，根据垂径定理可得：$AD = DB = \frac{1}{2}AB$，
在Rt△ODA中，OA为⊙O的半径，OA=5cm，OD=4cm，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{OA^2 - OD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\mathrm{cm}$，
∴$AB=2AD=2×3=6\mathrm{cm}$。
【答案】
6
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的常见基础题型，解题关键是掌握垂径定理的应用，学会通过连接半径、利用圆心到弦的垂线构造直角三角形，将弦长问题转化为直角三角形的边长求解问题。
【难度系数】
0.8
4.如图，AB是$\odot O$的弦，$AB=8$，C是$\odot O$上的一个动点，且$∠ ACB=45°$.若M，N分别是AB，BC的中点，则MN的最大值是（
A.$4$
B.$5$
C.$4\sqrt{2}$
D.$5\sqrt{2}$
C
）.A.$4$
B.$5$
C.$4\sqrt{2}$
D.$5\sqrt{2}$
答案
4. C
解析
【分析】
首先观察到M、N分别是AB、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，得到MN与AC的数量关系，将求MN的最大值转化为求AC的最大值。圆中最长的弦是直径，因此当AC为圆的直径时AC最大。接下来根据圆周角定理，由∠ACB的度数求出对应圆心角的度数，结合AB的长度计算出圆的直径，最后代入MN和AC的关系即可求出MN的最大值。
【解析】
解：
∵M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴$MN=\frac{1}{2}AC$，因此求MN的最大值等价于求AC的最大值。
∵AC是⊙O的弦，圆中最长的弦为直径，
∴当AC为⊙O的直径时，AC取得最大值。
连接OA、OB，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠ AOB=2∠ ACB=2×45°=90°$。
在Rt△AOB中，OA=OB，AB=8，由勾股定理得：
$OA^2+OB^2=AB^2$，即$2OA^2=8^2=64$，
解得$OA=4\sqrt{2}$，
∴⊙O的直径为$2OA=8\sqrt{2}$，即AC的最大值为$8\sqrt{2}$，
∴MN的最大值为$\frac{1}{2}×8\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，圆周角定理，圆的基本性质
【点评】
本题解题核心是利用转化思想，将线段MN的最值转化为圆内弦AC的最值，结合中位线、圆周角定理等知识点综合求解，能有效考查学生对几何基础知识的整合运用能力。
【难度系数】
0.65
首先观察到M、N分别是AB、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，得到MN与AC的数量关系，将求MN的最大值转化为求AC的最大值。圆中最长的弦是直径，因此当AC为圆的直径时AC最大。接下来根据圆周角定理，由∠ACB的度数求出对应圆心角的度数，结合AB的长度计算出圆的直径，最后代入MN和AC的关系即可求出MN的最大值。
【解析】
解：
∵M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴$MN=\frac{1}{2}AC$，因此求MN的最大值等价于求AC的最大值。
∵AC是⊙O的弦，圆中最长的弦为直径，
∴当AC为⊙O的直径时，AC取得最大值。
连接OA、OB，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠ AOB=2∠ ACB=2×45°=90°$。
在Rt△AOB中，OA=OB，AB=8，由勾股定理得：
$OA^2+OB^2=AB^2$，即$2OA^2=8^2=64$，
解得$OA=4\sqrt{2}$，
∴⊙O的直径为$2OA=8\sqrt{2}$，即AC的最大值为$8\sqrt{2}$，
∴MN的最大值为$\frac{1}{2}×8\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，圆周角定理，圆的基本性质
【点评】
本题解题核心是利用转化思想，将线段MN的最值转化为圆内弦AC的最值，结合中位线、圆周角定理等知识点综合求解，能有效考查学生对几何基础知识的整合运用能力。
【难度系数】
0.65
5.如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100 m，测得圆周角$∠ ACB = 30°$，则这个人工湖的直径为
200
m. 答案
5. 200
解析
【分析】
要求人工湖的直径，也就是求圆O的直径，已知弦AB长和其所对的圆周角，可结合圆周角定理解题：首先连接OA、OB得到弧AB对应的圆心角，利用同弧所对圆心角是圆周角的2倍求出圆心角的度数，再判断△OAB的形状得到半径长度，进而求出直径。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵ ∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠AOB = 2∠ACB = 2×30° = 60°。
又
∵ OA、OB都是⊙O的半径，
∴ OA = OB，
∴ △OAB是有一个内角为60°的等腰三角形，即△OAB为等边三角形，
∴ OA = AB = 100 m，
∴ ⊙O的直径为 2×OA = 2×100 = 200 m。
【答案】
200
【知识点】
圆周角定理，等边三角形判定，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求线段长度的基础题型，解题关键是通过连接圆心与弦的端点作辅助线，结合圆周角定理构造特殊三角形求解，掌握圆周角定理和特殊三角形的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
要求人工湖的直径，也就是求圆O的直径，已知弦AB长和其所对的圆周角，可结合圆周角定理解题：首先连接OA、OB得到弧AB对应的圆心角，利用同弧所对圆心角是圆周角的2倍求出圆心角的度数，再判断△OAB的形状得到半径长度，进而求出直径。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵ ∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠AOB = 2∠ACB = 2×30° = 60°。
又
∵ OA、OB都是⊙O的半径，
∴ OA = OB，
∴ △OAB是有一个内角为60°的等腰三角形，即△OAB为等边三角形，
∴ OA = AB = 100 m，
∴ ⊙O的直径为 2×OA = 2×100 = 200 m。
【答案】
200
【知识点】
圆周角定理，等边三角形判定，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求线段长度的基础题型，解题关键是通过连接圆心与弦的端点作辅助线，结合圆周角定理构造特殊三角形求解，掌握圆周角定理和特殊三角形的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
6.如图，$\odot O$的半径为10，弦$AB=16$，点M是弦AB上的动点且点M不与点A，B重合.若OM的长为整数，则这样的点M有（
A.4个
B.5个
C.7个
D.9个
C
）.A.4个
B.5个
C.7个
D.9个
答案
6. C
解析
【分析】
解决本题首先需要明确OM的取值范围：①根据垂线段最短，过圆心作弦AB的垂线，该垂线段的长度就是OM的最小值；②由于M不与A、B重合，因此OM的最大值小于圆的半径。接下来找出该范围内的整数，再分析每个整数长度对应的M点个数，相加即可得到总个数。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$。
在$Rt△ AOC$中，$OA=10$，$AC=8$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，即OM的最小值为6。
∵点M不与A、B重合，
∴OM＜OA=10，即OM的取值范围是$6≤ OM＜10$。
∵OM的长为整数，
∴OM的可能取值为6、7、8、9：
当OM=6时，仅垂足C这1个点符合要求；
当OM=7、8、9时，每个长度分别对应2个点（分别位于垂足C的左右两侧）。
因此符合条件的点M总共有$1+2+2+2=7$个。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题结合动点问题考查圆的相关性质，解题的关键是利用垂径定理和勾股定理求出OM的取值范围，再分类讨论不同长度对应的点的个数，解题时需注意题干中“M不与A、B重合”的限制条件，避免多算OM=10的情况。
【难度系数】
0.6
解决本题首先需要明确OM的取值范围：①根据垂线段最短，过圆心作弦AB的垂线，该垂线段的长度就是OM的最小值；②由于M不与A、B重合，因此OM的最大值小于圆的半径。接下来找出该范围内的整数，再分析每个整数长度对应的M点个数，相加即可得到总个数。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$。
在$Rt△ AOC$中，$OA=10$，$AC=8$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，即OM的最小值为6。
∵点M不与A、B重合，
∴OM＜OA=10，即OM的取值范围是$6≤ OM＜10$。
∵OM的长为整数，
∴OM的可能取值为6、7、8、9：
当OM=6时，仅垂足C这1个点符合要求；
当OM=7、8、9时，每个长度分别对应2个点（分别位于垂足C的左右两侧）。
因此符合条件的点M总共有$1+2+2+2=7$个。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题结合动点问题考查圆的相关性质，解题的关键是利用垂径定理和勾股定理求出OM的取值范围，再分类讨论不同长度对应的点的个数，解题时需注意题干中“M不与A、B重合”的限制条件，避免多算OM=10的情况。
【难度系数】
0.6
7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明代科学家徐光启在《农政全书》中用画图描绘了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2.已知圆心O在水面上方，且$\odot O$被水面截得的弦AB的长为16 m，$\odot O$的半径长为10 m.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是(
A.4 m
B.6 m
C.8 m
D.10 m
A
).A.4 m
B.6 m
C.8 m
D.10 m
答案
7. A
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以结合垂径定理和勾股定理思考：首先，筒车运行轨道的最低点C必然在过圆心O且垂直于弦AB的直线上，因此我们先过圆心作AB的垂线，构造出直角三角形；再用垂径定理求出弦AB一半的长度，用勾股定理算出圆心到AB的距离；最后结合半径长度即可求出点C到AB的距离。
【解析】
连接OC，过点O作$OE⊥ AB$于点E。
根据垂径定理可得：$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{m}$。
因为点C是$\odot O$的最低点，所以$OC⊥ AB$，即O、E、C三点共线，且$OC=OA=10\ \mathrm{m}$（$\odot O$的半径）。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$。
因此点C到弦AB所在直线的距离$CE=OC-OE=10-6=4\ \mathrm{m}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合我国古代水利工具的实际背景考查圆的相关性质应用，解题的关键是作出符合题意的辅助线，将实际问题转化为几何计算问题，侧重对基础定理的灵活运用。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以结合垂径定理和勾股定理思考：首先，筒车运行轨道的最低点C必然在过圆心O且垂直于弦AB的直线上，因此我们先过圆心作AB的垂线，构造出直角三角形；再用垂径定理求出弦AB一半的长度，用勾股定理算出圆心到AB的距离；最后结合半径长度即可求出点C到AB的距离。
【解析】
连接OC，过点O作$OE⊥ AB$于点E。
根据垂径定理可得：$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{m}$。
因为点C是$\odot O$的最低点，所以$OC⊥ AB$，即O、E、C三点共线，且$OC=OA=10\ \mathrm{m}$（$\odot O$的半径）。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$。
因此点C到弦AB所在直线的距离$CE=OC-OE=10-6=4\ \mathrm{m}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合我国古代水利工具的实际背景考查圆的相关性质应用，解题的关键是作出符合题意的辅助线，将实际问题转化为几何计算问题，侧重对基础定理的灵活运用。
【难度系数】
0.8
