9.如图,在圆内接四边形ABCD中,∠BCD=105°,连接OB,OC,OD,BD.若∠BOC=2∠COD,则∠CBD的度数是°。

9. 25

【分析】
解题时先从已知的圆内接四边形和∠BCD的度数入手，首先利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠BAD的度数；再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出弧BD对应的圆心角∠BOD的度数；结合题目给出的∠BOC=2∠COD的关系，通过角的和差计算求出∠COD的度数；最后再次利用圆周角定理，求出弧CD对应的圆周角∠CBD的度数即可。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是圆O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得：
$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$
已知$∠ BCD=105°$，代入得：
$∠ BAD=180° - 105°=75°$
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ BAD$是弧BD所对的圆周角，$∠ BOD$是弧BD所对的圆心角，因此：
$∠ BOD=2∠ BAD=2×75°=150°$
3. 由题意$∠ BOC=2∠ COD$，且$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD$，代入得：
$2∠ COD + ∠ COD=150°$
解得$∠ COD=50°$
4. 又因为$∠ CBD$是弧CD所对的圆周角，$∠ COD$是弧CD所对的圆心角，根据圆周角定理：
$∠ CBD=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×50°=25°$
【答案】
25
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 圆周角定理
3. 角度运算
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，理清圆周角与对应圆心角的关系，逐步推导即可求解，是圆章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7

10.如图,在$\odot O$中,AB是$\odot O$的直径,$AB=8\ \mathrm{cm},\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$,M是AB上一动点,则$CM+DM$的最小值为cm.

10. 8

【分析】
本题属于最短路径问题，可结合“将军饮马”模型求解：第一步，作其中一个点关于AB的对称点，利用轴对称性质将两条线段和转化为共线时的线段长度；第二步，结合圆的对称性可知对称点也在圆上，再根据等弧的条件计算对称点与另一点连线对应的圆心角，进而求出弦长，即为最小值。
【解析】
作点C关于直径AB的对称点$C'$，由圆的对称性可知$C'$在$\odot O$上，连接$C'D$，交AB于点M，此时$CM=C'M$，则$CM+DM=C'M+DM=C'D$，根据两点之间线段最短，此时$CM+DM$的值最小。
已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，AB是直径，下半弧$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$，因此每段弧的度数为$180°÷3=60°$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}=60°$。
由对称性得$\overset{\frown}{AC'}=\overset{\frown}{AC}=60°$，因此$\overset{\frown}{C'D}=\overset{\frown}{AC'}+\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CD}=60°+60°+60°=180°$，即$C'D$是$\odot O$的直径。
已知$AB=8\mathrm{cm}$，因此$C'D=AB=8\mathrm{cm}$，即$CM+DM$的最小值为$8\mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
最短路径问题；圆的对称性；弧与圆心角的关系
【点评】
本题将圆的基本性质与最短路径模型结合考查，解题的关键是通过轴对称将线段和的最小值转化为圆中弦长的计算，能有效检验学生对几何模型的迁移运用能力和圆相关知识的综合掌握程度。
【难度系数】
0.6

11.如图，$\odot O$的直径AB的长为10，弦AC的长为5，$∠ ACB$的平分线交$\odot O$于点D.求：

(1)BC的长；
(2)BD的长.

(1) $5\sqrt{3}$
(2) $5\sqrt{2}$

【分析】
1. 求BC的长：首先观察到AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得△ACB是直角三角形，已知斜边AB和直角边AC的长度，直接用勾股定理即可计算BC的长度。
2. 求BD的长：CD是∠ACB的平分线，可得两个圆周角∠ACD和∠BCD相等，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，可推出弧AD=弧BD，进而得到AD=BD；再结合AB是直径可得△ADB是等腰直角三角形，已知斜边AB的长度，用勾股定理即可求出BD的长。
【解析】
(1)
∵AB是$\odot O$的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$AB=10$，$AC=5$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。
(2)
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$（同圆中，相等的圆周角所对的弧相等），
∴$AD=BD$（等弧对等弦），
又
∵AB是$\odot O$的直径，
∴∠ADB=90°，即$△ ADB$是等腰直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，由勾股定理得：$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
代入$AD=BD$，$AB=10$，得$2BD^2=100$，
解得$BD=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负根）。
【答案】
(1) $5\sqrt{3}$
(2) $5\sqrt{2}$
【知识点】
直径所对圆周角是直角、勾股定理、等弧对等弦
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练运用直径所对圆周角为直角的性质构造直角三角形，再结合角平分线与圆周角、弧、弦的对应关系找到边的等量关系，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7

12.如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，$CD ⊥ AB$，垂足为D，且$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BC}$，BE分别交CD，AC于点F，G，连接BC.求证：
(1)$∠ CAB=∠ DCB$；
(2)F是BG的中点.

证明：
(1) ∵ AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴ ∠ACB = 90°，
∴ ∠CAB + ∠ABC = 90°。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB = 90°，
∴ ∠DCB + ∠ABC = 90°，
∴ ∠CAB = ∠DCB。
(2) ∵ $\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ ∠CBE = ∠CAB。
由(1)知∠CAB = ∠DCB，
∴ ∠CBE = ∠DCB，
∴ FC = FB。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ACD + ∠CAB = 90°，
又∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠ABC + ∠CAB = 90°，
∴ ∠ACD = ∠ABC。
∵ ∠CGE是△ABG的外角，
∴ ∠CGE = ∠CAB + ∠ABG。
又∵ ∠ABC = ∠CBE + ∠ABG，且∠CBE = ∠CAB，
∴ ∠ABC = ∠CAB + ∠ABG = ∠CGE，
∴ ∠ACD = ∠CGE，即∠FCG = ∠FGC，
∴ FC = FG，
∴ FB = FG，即F是BG的中点。

【分析】
(1) 要证∠CAB=∠DCB，先利用直径所对圆周角为直角，得到∠ACB=90°，可知∠CAB与∠ABC互余；再由CD⊥AB得∠CDB=90°，可知∠DCB也与∠ABC互余，根据同角的余角相等即可完成证明。
(2) 要证F是BG的中点，即证FB=FG。首先根据等弧所对圆周角相等，得∠CBE=∠CAB，结合(1)的结论推出∠CBE=∠DCB，可得FC=FB；再通过角的等量代换证明∠FCG=∠FGC，得到FC=FG，等量代换后得FB=FG，即可完成证明。
【解析】
(1)
∵ AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴ ∠ACB = 90°，
∴ ∠CAB + ∠ABC = 90°。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB = 90°，
∴ ∠DCB + ∠ABC = 90°，
∴ ∠CAB = ∠DCB。
(2)
∵ $\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ ∠CBE = ∠CAB。
由(1)知∠CAB = ∠DCB，
∴ ∠CBE = ∠DCB，
∴ FC = FB。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ACD + ∠CAB = 90°，
又
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠ABC + ∠CAB = 90°，
∴ ∠ACD = ∠ABC。
∵ ∠CGE是△ABG的外角，
∴ ∠CGE = ∠CAB + ∠ABG。
又
∵ ∠ABC = ∠CBE + ∠ABG，且∠CBE = ∠CAB，
∴ ∠ABC = ∠CAB + ∠ABG = ∠CGE，
∴ ∠ACD = ∠CGE，即∠FCG = ∠FGC，
∴ FC = FG，
∴ FB = FG，即F是BG的中点。
【答案】
(1) ∠CAB=∠DCB得证；
(2) F是BG的中点得证，证明过程见上述解析。
【知识点】
1.圆周角定理及推论
2.余角的性质
3.等腰三角形的判定
【点评】
本题是圆与三角形的基础综合题，解题核心是利用圆的圆周角性质、直角三角形的余角特征进行角的等量代换，再结合等腰三角形“等角对等边”的判定推导线段相等，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

挑战创新
13. 如图，A，P，B，C 是$\odot O$上的四点，$∠ APC=∠ CPB=60°$，过点 C 作 $CM// BP$ 交 PA 的延长线于点 M，其中正确的结论是（填序号）。

①$∠ MAC=∠ PBC$；
②$△ ABC$ 是等边三角形；
③$PC=PA+PB$；
④$△ PCM$ 是等边三角形。

13. ①②③④

【分析】
解题时结合圆周角相关性质、平行线性质、等边三角形判定、全等三角形的判定与性质，逐个验证四个结论：①可通过圆内接四边形外角性质验证；②利用同弧所对圆周角相等推导△ABC的内角即可验证；③先证△PCM为等边三角形，再通过全等三角形转化边的关系验证；④通过平行线性质推导△PCM的内角度数即可验证。
【解析】
1. 验证结论①：
四边形$APBC$是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得$∠ MAC=∠ PBC$，故①正确。
2. 验证结论②：
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可得$∠ ABC=∠ APC=60°$，$∠ BAC=∠ CPB=60°$，
则$∠ ACB=180°-∠ ABC-∠ BAC=60°$，$△ ABC$三个内角均为$60°$，即$△ ABC$是等边三角形，故②正确。
3. 验证结论④：
$\because CM// BP$，$\therefore ∠ M+∠ MPB=180°$，$∠ MCP=∠ CPB=60°$，
又$\because ∠ MPB=∠ APC+∠ CPB=60°+60°=120°$，
$\therefore ∠ M=180°-120°=60°$，
$△ PCM$中$∠ M=∠ MCP=∠ MPC=60°$，即$△ PCM$是等边三角形，故④正确。
4. 验证结论③：
$\because △ PCM$是等边三角形，$\therefore PC=PM=PA+AM$，$CM=PC$，
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore BC=AC$，
又$\because ∠ PCB+∠ PCA=∠ ACB=60°$，$∠ MCA+∠ PCA=∠ MCP=60°$，
$\therefore ∠ PCB=∠ MCA$，
在$△ PBC$和$△ MAC$中：
$\begin{cases}∠ PBC=∠ MAC \\BC=AC \\∠ PCB=∠ MCA\end{cases}$
$\therefore △ PBC≌△ MAC(\mathrm{ASA})$，
$\therefore PB=AM$，
$\therefore PC=PA+AM=PA+PB$，故③正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
圆周角定理，等边三角形判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了圆的性质、等边三角形和全等三角形的相关知识，解题的核心是熟练掌握各基础知识点，逐个验证结论即可完成求解。
【难度系数】
0.6