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5.如图1-3-6，在矩形ABCD中，E为BA延长线上一点，F为CE的中点。以点B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG。若AB=4，CE=10，则AG=(
A.2
B.2.5
C.3
D.3.5
C
)。A.2
B.2.5
C.3
D.3.5
答案
5. C
6.如图1-3-7，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作$DH ⊥ AB$于点H，连接OH，$OH=4$，若菱形ABCD的面积为$32\sqrt{3}$，则CD的长为
8
。答案
6. 8
7.如图1-3-8，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点.若AB=6，BC=8，则△BOE的周长为
$8+2\sqrt{13}$
.答案
7. $8+2\sqrt{13}$
8.(2025·江苏无锡中考)如图1-3-9,在矩形ABCD中,点E在CB的延长线上,点F在BC的延长线上,且BE=CF,连接AE,DF.求证:
(1)△ABE≌△DCF;
(2)∠EAD=∠FDA.
(1)△ABE≌△DCF;
(2)∠EAD=∠FDA.
答案
8. 证明:(1)
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABE=∠DCF=90°,AB=DC.
在△ABE和△DCF中，
$\begin{cases} AB=DC, \\ ∠ABE=∠DCF, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴△ABE≌△DCF(SAS).
(2)
∵△ABE≌△DCF，
∴∠EAB=∠FDC.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠CDA=90°.
∴ ∠BAD + ∠EAB = ∠CDA + ∠FDC,即∠EAD=∠FDA.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABE=∠DCF=90°,AB=DC.
在△ABE和△DCF中，
$\begin{cases} AB=DC, \\ ∠ABE=∠DCF, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴△ABE≌△DCF(SAS).
(2)
∵△ABE≌△DCF，
∴∠EAB=∠FDC.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠CDA=90°.
∴ ∠BAD + ∠EAB = ∠CDA + ∠FDC,即∠EAD=∠FDA.
9.如图1-3-10，矩形ABCD的对角线交于点G，过点B作BE//AC，交DC的延长线于点E。
(1)求证：四边形ABEC为平行四边形；
(2)过点D作DF⊥BE于点F，连接FG，若AB=1，BC=2，求FG的长。
(1)求证：四边形ABEC为平行四边形；
(2)过点D作DF⊥BE于点F，连接FG，若AB=1，BC=2，求FG的长。
答案
9. (1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD.
∵E点在DC的延长线上，
∴AB//CE.
又
∵BE//AC，
∴四边形ABEC为平行四边形.
(2)解:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°,BG=DG,AC=BD，
即G是BD的中点.
∵AB=1,BC=2，
∴AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$.
∴BD=$\sqrt{5}$.
∵DF⊥BE，
∴∠BFD=90°.
∴FG=$\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{5}}{2}$.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD.
∵E点在DC的延长线上，
∴AB//CE.
又
∵BE//AC，
∴四边形ABEC为平行四边形.
(2)解:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°,BG=DG,AC=BD，
即G是BD的中点.
∵AB=1,BC=2，
∴AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$.
∴BD=$\sqrt{5}$.
∵DF⊥BE，
∴∠BFD=90°.
∴FG=$\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{5}}{2}$.
