课堂精要·梳理内容
| 二次函数 | μlticolumn{2}{c}{$y=ax^2+bx+c(a,b,c$ 为常数$,a≠0)$} |
| --- | --- | --- |
| | $a＞0$ | $a＜0$ |
| 图象 | | |
| 开口方向 | 开口向上 | 开口向下 |
| 对称轴 | 直线 $x=-\dfrac{b}{2a}$ | 直线 $x=-\dfrac{b}{2a}$ |
| 顶点坐标 | $(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$ | $(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$ |
| 增减性 | 当 $x＜-\dfrac{b}{2a}$ 时，$y$ 的值随着 $x$ 值的增大而减小；当 $x＞-\dfrac{b}{2a}$ 时，$y$ 的值随着 $x$ 值的增大而增大 | 当 $x＜-\dfrac{b}{2a}$ 时，$y$ 的值随着 $x$ 值的增大而增大；当 $x＞-\dfrac{b}{2a}$ 时，$y$ 的值随着 $x$ 值的增大而减小 |
| 最值 | 有最________值
$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$ | 有最________值
$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$ |

小 大

【分析】
解答本题可结合二次函数的开口方向与顶点的位置关系判断最值类型：首先明确a的符号决定二次函数的开口方向，顶点是二次函数图象的最高点或最低点，顶点对应的纵坐标即为函数的最值。当a＞0时开口向上，顶点为图象最低点，对应最小值；当a＜0时开口向下，顶点为图象最高点，对应最大值，据此即可填空。
【解析】
1. 当$a＞0$时，二次函数图象开口向上，图象从顶点向左右两侧逐渐升高，因此顶点是整个图象的最低点，顶点的纵坐标$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$就是函数的最小值，故第一空填“小”。
2. 当$a＜0$时，二次函数图象开口向下，图象从顶点向左右两侧逐渐降低，因此顶点是整个图象的最高点，顶点的纵坐标$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$就是函数的最大值，故第二空填“大”。
【答案】
小；大
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查二次函数的基本性质，牢记开口方向与最值的对应关系就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9

1.下列二次函数的图象,对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$的是()。

A.$y=(x-\frac{1}{2})^2$
B.$y=\frac{1}{2}x^2$
C.$y=x^2+\frac{1}{2}$
D.$y=(x+\frac{1}{2})^2 -3$

1.A

【分析】
要判断哪个二次函数的对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，首先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a\ne0)$的对称轴为直线$x=h$，我们只需逐一推导各选项函数的对称轴，和$x=\frac{1}{2}$对比即可得到答案。
【解析】
我们根据顶点式的对称轴规则逐一分析选项：
1. 选项A：$y=(x-\frac{1}{2})^2$是顶点式，对应$h=\frac{1}{2}$，对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，符合要求；
2. 选项B：$y=\frac{1}{2}x^2$可改写为$y=\frac{1}{2}(x-0)^2$，对应$h=0$，对称轴为直线$x=0$，不符合要求；
3. 选项C：$y=x^2+\frac{1}{2}$可改写为$y=(x-0)^2+\frac{1}{2}$，对应$h=0$，对称轴为直线$x=0$，不符合要求；
4. 选项D：$y=(x+\frac{1}{2})^2-3$可改写为$y=[x-(-\frac{1}{2})]^2-3$，对应$h=-\frac{1}{2}$，对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$，不符合要求。
综上只有选项A符合题意。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称轴确定
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题核心是准确掌握顶点式中参数$h$和对称轴的对应关系，注意不要混淆$h$的符号，熟练掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.85

2.下列二次函数的图象的顶点坐标是$(-2,-1)$的是()。

A.$y=(x-2)^2+1$
B.$y=(x+2)^2+1$
C.$y=(x-2)^2-1$
D.$y=(x+2)^2-1$

2.D

【分析】
解决本题首先要掌握二次函数顶点式的结构特征：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$，$a、h、k$为常数），其对应的顶点坐标为$(h,k)$。解题时只需将各选项的解析式对照顶点式，分别求出顶点坐标，再和题干给出的顶点坐标$(-2,-1)$对比，匹配的就是正确选项。
【解析】
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$）的顶点坐标为$(h,k)$，我们逐个分析选项：
A. 对于$y=(x-2)^2+1$，对应$h=2$，$k=1$，顶点坐标为$(2,1)$，不符合要求；
B. 对于$y=(x+2)^2+1$，可变形为$y=(x-(-2))^2+1$，对应$h=-2$，$k=1$，顶点坐标为$(-2,1)$，不符合要求；
C. 对于$y=(x-2)^2-1$，对应$h=2$，$k=-1$，顶点坐标为$(2,-1)$，不符合要求；
D. 对于$y=(x+2)^2-1$，可变形为$y=(x-(-2))^2+(-1)$，对应$h=-2$，$k=-1$，顶点坐标为$(-2,-1)$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数顶点坐标求法
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数顶点式的基础应用，熟练掌握顶点式中参数与顶点坐标的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9

3.二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）。


A.函数有最小值
B.对称轴是直线$x=\frac{1}{2}$
C.当$x＜\frac{1}{2}$时，y的值随着x值的增大而减小
D.当$-1＜x＜2$时，$y＞0$

3.D

【分析】
解答本题需结合二次函数的图象性质逐一判断选项：首先根据抛物线开口方向判断是否有最小值，验证A选项；其次直接观察图象标注的对称轴验证B选项；再结合开口方向和对称轴分析函数增减性验证C选项；最后根据抛物线与x轴的交点位置，判断对应区间内y的正负，验证D选项即可得出错误结论。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 由图象可知二次函数开口向上，抛物线存在最低点，因此函数有最小值，该选项说法正确，不符合题意；
B. 观察图象中虚线标注的对称轴，可得对称轴是直线$x=\frac{1}{2}$，该选项说法正确，不符合题意；
C. 抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，即当$x＜\frac{1}{2}$时，y的值随着x值的增大而减小，该选项说法正确，不符合题意；
D. 观察图象，抛物线与x轴的左交点在$x=-1$的左侧，右交点在$x=2$处，因此当$-1＜x＜2$时，函数图象位于x轴下方，即$y＜0$，该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质、二次函数的增减性、二次函数与不等式
【点评】
本题侧重考查二次函数基本性质的应用，需要学生结合图象直观认读二次函数的相关特征，将图象和性质对应起来分析，是二次函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8

4.已知二次函数$y=-2x^2+4x-3$，如果y的值随着x值的增大而减小，那么x的取值范围是（）。

A.$x≥1$
B.$x≥0$
C.$x≥-1$
D.$x≥-2$

4.A

【分析】
要确定二次函数中y随x增大而减小的x取值范围，需结合二次函数的增减性规律分析：首先通过二次项系数的符号判断抛物线开口方向，再利用对称轴公式求出抛物线的对称轴，最后结合开口方向即可确定对应增减区间。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：
1. 判断开口方向：本题中二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，开口向下的抛物线在对称轴右侧，y随x的增大而减小。
2. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-2$、$b=4$，可得对称轴为$x=-\frac{4}{2×(-2)}=1$。
3. 结合增减性规律：开口向下的抛物线在$x≥$对称轴的区间内y随x增大而减小，即$x≥1$时y随x增大而减小，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的增减性、二次函数的对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，核心是掌握开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，只要记准相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

5. 函数$y=-x^2-4x-5$配方得，
它的图象开口，顶点坐标是，
对称轴是，最高点是。

5. $y=-(x+2)^2-1$ 向下 $(-2,-1)$ 直线 $x=-2$ $(-2,-1)$

【分析】
这道题考查二次函数一般式的配方方法，以及顶点式对应的图像性质。解题思路如下：第一步先将给定的二次函数一般式配方转化为顶点式：先提取二次项系数，把二次项、一次项组合，再通过加、减一次项系数一半的平方凑成完全平方式，整理得到顶点式；第二步根据顶点式中二次项系数的符号判断开口方向，再结合顶点式的结构直接得到顶点坐标、对称轴，最后根据开口方向确定最高点的位置。
【解析】
1. 配方过程：
对$y=-x^2-4x-5$变形，先提取二次项系数$-1$，得：
$y=-(x^2+4x)-5$
一次项系数为4，它的一半的平方是$2^2=4$，在括号内加4再减4凑完全平方：
$y=-(x^2+4x+4 - 4)-5$
将括号内的$-4$移出括号（括号前为负号，移项要变号），整理得：
$y=-(x^2+4x+4) + 4 -5=-(x+2)^2-1$
2. 分析图像性质：
二次项系数$a=-1＜0$，因此图象开口向下；
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$、对称轴为直线$x=h$，可得顶点坐标为$(-2,-1)$，对称轴是直线$x=-2$；
因为图象开口向下，所以顶点就是图象的最高点，即最高点为$(-2,-1)$。
【答案】
$y=-(x+2)^2-1$ 向下 $(-2,-1)$ 直线 $x=-2$ $(-2,-1)$
【知识点】
二次函数配方、二次函数图象性质、二次函数顶点式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数一般式转顶点式的配方技巧，以及顶点式和图象性质的对应关系，熟练掌握相关方法后可快速求解这类问题。
【难度系数】
0.8

6.若点$A(-3,y_1)$，$B(0,y_2)$是二次函数$y=2(x-1)^2 -1$的图象上的两点，则$y_1$与$y_2$的大小关系是。

6. $y_1＞y_2$

【分析】
要比较$y_1$和$y_2$的大小，有两种常用思路：一是将两点的横坐标分别代入二次函数解析式，计算出$y_1$、$y_2$的具体数值后直接比较；二是利用二次函数的性质判断：先根据顶点式确定抛物线的开口方向和对称轴，开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大，计算两点到对称轴的距离即可比较大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=-3$代入二次函数$y=2(x-1)^2 -1$，得：
$y_1=2×(-3-1)^2 -1=2×16 -1=31$
将$x=0$代入二次函数$y=2(x-1)^2 -1$，得：
$y_2=2×(0-1)^2 -1=2×1 -1=1$
∵$31＞1$，
∴$y_1＞y_2$。
方法二：性质判断法
二次函数$y=2(x-1)^2 -1$中，$a=2＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
点A到对称轴的距离：$|-3 -1|=4$
点B到对称轴的距离：$|0 -1|=1$
∵$4＞1$，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
$y_1＞y_2$
【知识点】
1.二次函数的图象与性质
2.二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，两种解题方法都可快速得出结果，其中利用开口方向和点到对称轴的距离判断的方法效率更高，建议熟练掌握。
【难度系数】
0.8