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7.二次函数$y=-x^2+(m-1)x+m$的图象与y轴交于点(0,3)。
(1)求出m的值并在图中画出二次函数的图象。
(2)求二次函数的图象与x轴的交点坐标和二次函数的图象的顶点坐标。
(3)x取何值时，二次函数的图象在x轴上方？
(4)x取何值时，y的值随着x值的增大而减小？
(1)求出m的值并在图中画出二次函数的图象。
(2)求二次函数的图象与x轴的交点坐标和二次函数的图象的顶点坐标。
(3)x取何值时，二次函数的图象在x轴上方？
(4)x取何值时，y的值随着x值的增大而减小？
答案
7. 解:(1)由二次函数 $y=-x^2+(m-1)x+m$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $(0,3)$,得 $m=3$,所以二次函数的表达式为 $y=-x^2+2x+3$,图象略。
(2)由 $-x^2+2x+3=0$,得 $x_1=-1,x_2=3$,所以二次函数的图象与 $x$ 轴的交点为 $(-1,0)$,$(3,0)$。因为 $y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,所以二次函数的图象的顶点坐标为 $(1,4)$。
(3)当 $-1＜x＜3$ 时,二次函数的图象在 $x$ 轴上方。
(4)当 $x＞1$ 时,$y$ 的值随着 $x$ 值的增大而减小。
(2)由 $-x^2+2x+3=0$,得 $x_1=-1,x_2=3$,所以二次函数的图象与 $x$ 轴的交点为 $(-1,0)$,$(3,0)$。因为 $y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,所以二次函数的图象的顶点坐标为 $(1,4)$。
(3)当 $-1＜x＜3$ 时,二次函数的图象在 $x$ 轴上方。
(4)当 $x＞1$ 时,$y$ 的值随着 $x$ 值的增大而减小。
解析
【分析】
解题思路如下：
(1) 已知二次函数图象与y轴交于$(0,3)$，y轴上点的横坐标为0，将$x=0,y=3$代入函数解析式即可求出m的值，得到完整的二次函数表达式；画图象时先确定顶点、与坐标轴的交点，再用平滑曲线连接即可。
(2) 求二次函数与x轴的交点，只需令$y=0$，解对应的一元二次方程，所得根就是交点的横坐标；求顶点坐标可通过配方法将一般式转化为顶点式，也可代入顶点坐标公式计算。
(3) 二次函数图象在x轴上方等价于$y＞0$，结合函数开口向下的性质，可知$y＞0$的x范围在两个与x轴交点的横坐标之间。
(4) 二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，该函数开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，求出对称轴即可得到对应的x范围。
【解析】
(1) 将点$(0,3)$代入$y=-x^2+(m-1)x+m$，得：
当$x=0$时，$y=m=3$，
$\therefore m=3$，二次函数表达式为$y=-x^2+2x+3$。
画图象：先标出与y轴交点$(0,3)$、与x轴交点$(-1,0)$、$(3,0)$和顶点$(1,4)$，用平滑曲线连接三点即可得到函数图象（图象略）。
(2) 令$y=0$，则$-x^2+2x+3=0$，
整理得$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，
解得$x_1=-1,x_2=3$，
$\therefore$ 二次函数与x轴的交点坐标为$(-1,0)$，$(3,0)$。
对函数配方得：
$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x+1)+1+3=-(x-1)^2+4$，
$\therefore$ 二次函数的顶点坐标为$(1,4)$。
(3) $\because$ 二次函数$a=-1＜0$，图象开口向下，且与x轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$，
$\therefore$ 当$-1＜x＜3$时，函数图象在x轴上方。
(4) 由顶点式可知函数对称轴为直线$x=1$，
$\because$ 函数开口向下，
$\therefore$ 当$x＞1$时，y的值随x值的增大而减小。
【答案】
(1) $m=3$，二次函数表达式为$y=-x^2+2x+3$，图象略；
(2) 与x轴交点坐标为$(-1,0)$，$(3,0)$，顶点坐标为$(1,4)$；
(3) 当$-1＜x＜3$时，二次函数图象在x轴上方；
(4) 当$x＞1$时，y的值随x值的增大而减小。
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴交点，二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，考查了二次函数解析式求解、特殊点坐标计算、图象与不等式的关系、增减性判断等核心考点，都是二次函数的基础内容，掌握相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：
(1) 已知二次函数图象与y轴交于$(0,3)$，y轴上点的横坐标为0，将$x=0,y=3$代入函数解析式即可求出m的值，得到完整的二次函数表达式；画图象时先确定顶点、与坐标轴的交点，再用平滑曲线连接即可。
(2) 求二次函数与x轴的交点，只需令$y=0$，解对应的一元二次方程，所得根就是交点的横坐标；求顶点坐标可通过配方法将一般式转化为顶点式，也可代入顶点坐标公式计算。
(3) 二次函数图象在x轴上方等价于$y＞0$，结合函数开口向下的性质，可知$y＞0$的x范围在两个与x轴交点的横坐标之间。
(4) 二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，该函数开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，求出对称轴即可得到对应的x范围。
【解析】
(1) 将点$(0,3)$代入$y=-x^2+(m-1)x+m$，得：
当$x=0$时，$y=m=3$，
$\therefore m=3$，二次函数表达式为$y=-x^2+2x+3$。
画图象：先标出与y轴交点$(0,3)$、与x轴交点$(-1,0)$、$(3,0)$和顶点$(1,4)$，用平滑曲线连接三点即可得到函数图象（图象略）。
(2) 令$y=0$，则$-x^2+2x+3=0$，
整理得$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，
解得$x_1=-1,x_2=3$，
$\therefore$ 二次函数与x轴的交点坐标为$(-1,0)$，$(3,0)$。
对函数配方得：
$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x+1)+1+3=-(x-1)^2+4$，
$\therefore$ 二次函数的顶点坐标为$(1,4)$。
(3) $\because$ 二次函数$a=-1＜0$，图象开口向下，且与x轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$，
$\therefore$ 当$-1＜x＜3$时，函数图象在x轴上方。
(4) 由顶点式可知函数对称轴为直线$x=1$，
$\because$ 函数开口向下，
$\therefore$ 当$x＞1$时，y的值随x值的增大而减小。
【答案】
(1) $m=3$，二次函数表达式为$y=-x^2+2x+3$，图象略；
(2) 与x轴交点坐标为$(-1,0)$，$(3,0)$，顶点坐标为$(1,4)$；
(3) 当$-1＜x＜3$时，二次函数图象在x轴上方；
(4) 当$x＞1$时，y的值随x值的增大而减小。
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴交点，二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，考查了二次函数解析式求解、特殊点坐标计算、图象与不等式的关系、增减性判断等核心考点，都是二次函数的基础内容，掌握相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
8.已知函数$y=x^2 -2x -1$，当$0≤ x≤3$时，函数的最大值为（
A.－2
B.－1
C.0
D.2
D
）。A.－2
B.－1
C.0
D.2
答案
8.D
解析
【分析】
要解决二次函数在给定区间的最值问题，首先明确二次函数的基本性质：第一步根据二次项系数判断开口方向，第二步计算对称轴，第三步结合开口方向和区间范围判断最值出现的位置。本题中二次项系数为正，开口向上，因此在闭区间内的最大值会出现在离对称轴更远的区间端点处，最后代入计算即可得到结果。
【解析】
对于二次函数$y=x^2 -2x -1$，其中$a=1＞0$，因此函数图象开口向上。
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1,b=-2$，可得对称轴为$x=\frac{2}{2×1}=1$。
因为函数开口向上，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，右侧$y$随$x$的增大而增大，因此在$0\le x\le3$区间内，最大值出现在离对称轴更远的端点处：
当$x=0$时，$y=0^2 -2×0 -1=-1$；
当$x=3$时，$y=3^2 -2×3 -1=9-6-1=2$。
比较可得函数的最大值为2。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数在给定闭区间内的最值求解，解题核心是先确定函数的开口方向与对称轴，再结合函数的增减性判断最值的取值位置，要注意区分区间最值与全体实数范围内的最值，避免直接将顶点函数值作为答案。
【难度系数】
0.8
要解决二次函数在给定区间的最值问题，首先明确二次函数的基本性质：第一步根据二次项系数判断开口方向，第二步计算对称轴，第三步结合开口方向和区间范围判断最值出现的位置。本题中二次项系数为正，开口向上，因此在闭区间内的最大值会出现在离对称轴更远的区间端点处，最后代入计算即可得到结果。
【解析】
对于二次函数$y=x^2 -2x -1$，其中$a=1＞0$，因此函数图象开口向上。
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1,b=-2$，可得对称轴为$x=\frac{2}{2×1}=1$。
因为函数开口向上，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，右侧$y$随$x$的增大而增大，因此在$0\le x\le3$区间内，最大值出现在离对称轴更远的端点处：
当$x=0$时，$y=0^2 -2×0 -1=-1$；
当$x=3$时，$y=3^2 -2×3 -1=9-6-1=2$。
比较可得函数的最大值为2。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数在给定闭区间内的最值求解，解题核心是先确定函数的开口方向与对称轴，再结合函数的增减性判断最值的取值位置，要注意区分区间最值与全体实数范围内的最值，避免直接将顶点函数值作为答案。
【难度系数】
0.8
9.若二次函数$y=(x-m)^2 + m - 3$的图象的对称轴是直线$x=2$，则它的图象的顶点坐标是
$(2,-1)$
。答案
9. $(2,-1)$
解析
【分析】
首先，题目给出的二次函数是顶点式形式，我们回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的性质：对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。解题时第一步先根据已知的对称轴$x=2$求出参数$m$的值，第二步将$m$代入顶点纵坐标的表达式计算出纵坐标，即可得到顶点坐标。
【解析】
解：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。
已知二次函数$y=(x-m)^2 + m - 3$，可得该函数的对称轴为直线$x=m$。
由题意对称轴是直线$x=2$，因此$m=2$。
将$m=2$代入顶点纵坐标$m-3$，计算得：$2-3=-1$。
所以该二次函数图象的顶点坐标为$(2,-1)$。
【答案】
$(2,-1)$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称轴；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是基础题，重点考查二次函数顶点式中各参数的几何意义，熟练掌握顶点式的相关性质即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
首先，题目给出的二次函数是顶点式形式，我们回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的性质：对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。解题时第一步先根据已知的对称轴$x=2$求出参数$m$的值，第二步将$m$代入顶点纵坐标的表达式计算出纵坐标，即可得到顶点坐标。
【解析】
解：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。
已知二次函数$y=(x-m)^2 + m - 3$，可得该函数的对称轴为直线$x=m$。
由题意对称轴是直线$x=2$，因此$m=2$。
将$m=2$代入顶点纵坐标$m-3$，计算得：$2-3=-1$。
所以该二次函数图象的顶点坐标为$(2,-1)$。
【答案】
$(2,-1)$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称轴；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是基础题，重点考查二次函数顶点式中各参数的几何意义，熟练掌握顶点式的相关性质即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
10.(2025·河南)在二次函数$y=ax^2+bx-2$中，x与y的几组对应值如下表所示。
(1)求二次函数的表达式；
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当$0≤x≤3$时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值。
(1)求二次函数的表达式；
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当$0≤x≤3$时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值。
答案
10. 解:(1)由题意,综合表格数据可得,二次函数的对称轴是直线 $x=\dfrac{-2+0}{2}=-1$。
$\therefore$ 可设二次函数为 $y=a(x+1)^2+k$。
又$\because$ 图象过点 $(0,-2),(1,1)$,
$\therefore\begin{cases}-2=a(0+1)^2+k,\\1=a(1+1)^2+k,\end{cases}$ $\therefore\begin{cases}a=1,\\k=-3。\end{cases}$
$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y=(x+1)^2-3$,即 $y=x^2+2x-2$。
(2)由(1)得 $y=(x+1)^2-3$,
$\therefore$ 顶点坐标为 $(-1,-3)$。
作图如下：
(3)$\because$ 二次函数的图象向右平移 $n$ 个单位长度，
$\therefore$ 新函数的表达式为 $y=(x+1-n)^2-3$，
$\therefore$ 此时对称轴是直线 $x=n-1$,函数图象开口向上。
①若 $3≤ n-1$,即 $n≥4$,
当 $x=0$ 时,$y$ 取最大值 $(1-n)^2-3$;当 $x=3$ 时,$y$ 取最小值 $(4-n)^2-3$。
又$\because$ 最大值与最小值的差为 5，
$\therefore(1-n)^2-3-(4-n)^2+3=5$,
解得 $n=\dfrac{10}{3}＜4$,不符合题意。
②若 $0＜n-1＜3$,即 $1＜n＜4$,
当 $x=0$ 或 $x=3$ 时,$y$ 取最大值 $(1-n)^2-3$ 或 $(4-n)^2-3$;
当 $x=n-1$ 时,$y$ 取最小值 $-3$。
又$\because$ 最大值与最小值的差为 5，
$\therefore(1-n)^2-3+3=5$ 或 $(4-n)^2-3+3=5$。
$\therefore n=1+\sqrt{5}$ 或 $n=1-\sqrt{5}$(不符合题意,舍去)或 $n=4+\sqrt{5}$(不符合题意,舍去)或 $n=4-\sqrt{5}$。
③若 $n-1≤0$,即 $n≤1$,
当 $x=0$ 时,$y$ 取最小值 $(1-n)^2-3$;
当 $x=3$ 时,$y$ 取最大值 $(4-n)^2-3$。
又$\because$ 最大值与最小值的差为 5。
$\therefore(4-n)^2-3-(1-n)^2+3=5$。
解得 $n=\dfrac{5}{3}＞1$,不符合题意。
综上已知,$n=1+\sqrt{5}$ 或 $n=4-\sqrt{5}$。
解析
【分析】
第(1)问求二次函数表达式：首先可确定函数对称轴为直线$x=-1$，选择顶点式设解析式，再代入已知的两个点坐标，解二元一次方程组即可得到参数值，进而得到函数表达式；
第(2)问求顶点坐标与作图：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可直接从第(1)问得到的顶点式读出顶点坐标，作图时确定顶点、与坐标轴交点等关键点，用平滑曲线连接即可；
第(3)问求平移的n值：先根据“左加右减”的平移规律写出平移后的函数解析式，得到平移后的对称轴，由于函数开口向上，区间$[0,3]$上的最值和对称轴与区间的位置有关，因此分三类讨论：对称轴在区间左侧、对称轴在区间内、对称轴在区间右侧，分别求出对应情况的最值，根据最值差为5列方程求解，最后检验解是否符合对应情况的取值范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
(1) 由题意得二次函数的对称轴是直线 $x=\dfrac{-2+0}{2}=-1$，
设二次函数的顶点式为 $y=a(x+1)^2+k$，
将点 $(0,-2)$、$(1,1)$代入解析式得：
$\begin{cases}-2=a(0+1)^2+k\\1=a(1+1)^2+k\end{cases}$
两式相减得$3=3a$，解得$a=1$，将$a=1$代入第一个方程得$k=-3$，
因此二次函数的表达式为 $y=(x+1)^2-3$，整理为一般式为 $y=x^2+2x-2$。
(2) 由(1)的顶点式 $y=(x+1)^2-3$，可得二次函数图象的顶点坐标为 $(-1,-3)$；
作图如下：
(3) 二次函数图象向右平移$n$个单位长度后，根据平移规律可得新函数表达式为 $y=(x+1-n)^2-3$，
新函数对称轴为直线$x=n-1$，函数开口向上，分三种情况讨论：
① 若对称轴在区间$[0,3]$右侧，即$n-1≥3$，$n≥4$：
$0≤ x≤3$时$y$随$x$增大而减小，$x=0$时取最大值$(1-n)^2-3$，$x=3$时取最小值$(4-n)^2-3$，
由最值差为5得：$(1-n)^2-3-[(4-n)^2-3]=5$，
化简解得$n=\dfrac{10}{3}＜4$，不符合$n≥4$的条件，舍去；
② 若对称轴在区间$[0,3]$内，即$0＜n-1＜3$，$1＜n＜4$：
$x=n-1$时$y$取最小值$-3$，最大值为$x=0$或$x=3$时的函数值：
当最大值为$x=0$的函数值时，$(1-n)^2-3-(-3)=5$，解得$n=1+\sqrt{5}$（$n=1-\sqrt{5}$不符合范围舍去）；
当最大值为$x=3$的函数值时，$(4-n)^2-3-(-3)=5$，解得$n=4-\sqrt{5}$（$n=4+\sqrt{5}$不符合范围舍去），两个解均符合$1＜n＜4$的条件；
③ 若对称轴在区间$[0,3]$左侧，即$n-1≤0$，$n≤1$：
$0≤ x≤3$时$y$随$x$增大而增大，$x=3$时取最大值$(4-n)^2-3$，$x=0$时取最小值$(1-n)^2-3$，
由最值差为5得：$(4-n)^2-3-[(1-n)^2-3]=5$，
化简解得$n=\dfrac{5}{3}＞1$，不符合$n≤1$的条件，舍去；
综上可得符合条件的$n$的值。
【答案】
(1) 二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=x^2+2x-2}$（或$y=(x+1)^2-3$）；
(2) 顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,-3)}$，作图如下：；
(3) $\boldsymbol{n=1+\sqrt{5}}$或$\boldsymbol{n=4-\sqrt{5}}$。
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数的性质，二次函数图象平移
【点评】
本题基础考点和拔高考点结合，前两问考查二次函数的基础知识点，难度较低；第三问结合平移和区间最值，要求掌握分类讨论思想，根据对称轴和给定区间的位置关系分情况计算，求解后要注意验证结果是否符合对应取值范围，避免增根或漏解。
【难度系数】
0.4
第(1)问求二次函数表达式：首先可确定函数对称轴为直线$x=-1$，选择顶点式设解析式，再代入已知的两个点坐标，解二元一次方程组即可得到参数值，进而得到函数表达式；
第(2)问求顶点坐标与作图：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可直接从第(1)问得到的顶点式读出顶点坐标，作图时确定顶点、与坐标轴交点等关键点，用平滑曲线连接即可；
第(3)问求平移的n值：先根据“左加右减”的平移规律写出平移后的函数解析式，得到平移后的对称轴，由于函数开口向上，区间$[0,3]$上的最值和对称轴与区间的位置有关，因此分三类讨论：对称轴在区间左侧、对称轴在区间内、对称轴在区间右侧，分别求出对应情况的最值，根据最值差为5列方程求解，最后检验解是否符合对应情况的取值范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
(1) 由题意得二次函数的对称轴是直线 $x=\dfrac{-2+0}{2}=-1$，
设二次函数的顶点式为 $y=a(x+1)^2+k$，
将点 $(0,-2)$、$(1,1)$代入解析式得：
$\begin{cases}-2=a(0+1)^2+k\\1=a(1+1)^2+k\end{cases}$
两式相减得$3=3a$，解得$a=1$，将$a=1$代入第一个方程得$k=-3$，
因此二次函数的表达式为 $y=(x+1)^2-3$，整理为一般式为 $y=x^2+2x-2$。
(2) 由(1)的顶点式 $y=(x+1)^2-3$，可得二次函数图象的顶点坐标为 $(-1,-3)$；
作图如下：
(3) 二次函数图象向右平移$n$个单位长度后，根据平移规律可得新函数表达式为 $y=(x+1-n)^2-3$，
新函数对称轴为直线$x=n-1$，函数开口向上，分三种情况讨论：
① 若对称轴在区间$[0,3]$右侧，即$n-1≥3$，$n≥4$：
$0≤ x≤3$时$y$随$x$增大而减小，$x=0$时取最大值$(1-n)^2-3$，$x=3$时取最小值$(4-n)^2-3$，
由最值差为5得：$(1-n)^2-3-[(4-n)^2-3]=5$，
化简解得$n=\dfrac{10}{3}＜4$，不符合$n≥4$的条件，舍去；
② 若对称轴在区间$[0,3]$内，即$0＜n-1＜3$，$1＜n＜4$：
$x=n-1$时$y$取最小值$-3$，最大值为$x=0$或$x=3$时的函数值：
当最大值为$x=0$的函数值时，$(1-n)^2-3-(-3)=5$，解得$n=1+\sqrt{5}$（$n=1-\sqrt{5}$不符合范围舍去）；
当最大值为$x=3$的函数值时，$(4-n)^2-3-(-3)=5$，解得$n=4-\sqrt{5}$（$n=4+\sqrt{5}$不符合范围舍去），两个解均符合$1＜n＜4$的条件；
③ 若对称轴在区间$[0,3]$左侧，即$n-1≤0$，$n≤1$：
$0≤ x≤3$时$y$随$x$增大而增大，$x=3$时取最大值$(4-n)^2-3$，$x=0$时取最小值$(1-n)^2-3$，
由最值差为5得：$(4-n)^2-3-[(1-n)^2-3]=5$，
化简解得$n=\dfrac{5}{3}＞1$，不符合$n≤1$的条件，舍去；
综上可得符合条件的$n$的值。
【答案】
(1) 二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=x^2+2x-2}$（或$y=(x+1)^2-3$）；
(2) 顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,-3)}$，作图如下：
；(3) $\boldsymbol{n=1+\sqrt{5}}$或$\boldsymbol{n=4-\sqrt{5}}$。
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数的性质，二次函数图象平移
【点评】
本题基础考点和拔高考点结合，前两问考查二次函数的基础知识点，难度较低；第三问结合平移和区间最值，要求掌握分类讨论思想，根据对称轴和给定区间的位置关系分情况计算，求解后要注意验证结果是否符合对应取值范围，避免增根或漏解。
【难度系数】
0.4
