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6 二次函数的应用(第1课时)
课堂精要·梳理内容
1.二次函数的三种表示方式：
①
③
2.求二次函数$y=ax^2+bx+c$的表达式，由于表达式中含有
待定系数法是求二次函数表达式常用的方法，其关键是根据已知条件设出适当的表达式，当条件中已知顶点坐标或对称轴时，设为顶点式，即设函数表达式为
课堂精要·梳理内容
1.二次函数的三种表示方式：
①
$y=ax^2+bx+c(a≠0)$
；②$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$
；③
$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)$
。2.求二次函数$y=ax^2+bx+c$的表达式，由于表达式中含有
三
个待定系数，它们分别是$a,b,c$
，所以一般需要3
个点的坐标，列出一个三
元一
次方程组，并求出$a,b,c$
的值，就可以写出二次函数的表达式。待定系数法是求二次函数表达式常用的方法，其关键是根据已知条件设出适当的表达式，当条件中已知顶点坐标或对称轴时，设为顶点式，即设函数表达式为
$y=a(x-h)^2+k$
；当条件是已知的三点时，设为一般式，即设函数表达式为$y=ax^2+bx+c$
。答案
1.①一般式:$y=ax^2+bx+c(a≠0)$
②顶点式:$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$
③交点式:$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)$
2.三 $a,b,c$ 3 三 一 $a,b,c$
$y=a(x-h)^2+k$ $y=ax^2+bx+c$
②顶点式:$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$
③交点式:$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)$
2.三 $a,b,c$ 3 三 一 $a,b,c$
$y=a(x-h)^2+k$ $y=ax^2+bx+c$
解析
【分析】
本题考查二次函数的基础概念与待定系数法求解析式的相关常识，全部为教材核心识记内容。解题时先回忆二次函数的三类表达形式，再梳理待定系数法求一般式的逻辑：含几个待定系数就需要几个等量关系（即几个点的坐标），最后根据不同已知条件的特点，匹配对应的解析式设定形式即可。
【解析】
1. 二次函数共有三类标准表示方式：
① 一般式，是二次函数的通用标准形式，需注意二次项系数不为0，即$y=ax^2+bx+c(a≠0)$；
② 顶点式，可直接读取函数的顶点坐标，形式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$；
③ 交点式，可直接读取函数图象与x轴的交点横坐标，形式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)$。
2. 二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$中共有3个未知的待定系数，分别为$a、b、c$，因此需要3个点的坐标代入得到3个独立方程，组成三元一次方程组，求解得到$a、b、c$的取值后即可确定函数表达式。
使用待定系数法时，若已知顶点坐标或对称轴，选择顶点式可减少未知量简化计算，即设表达式为$y=a(x-h)^2+k$；若已知3个普通点的坐标，选择一般式代入求解即可，即设表达式为$y=ax^2+bx+c$。
【答案】
1.①一般式:$y=ax^2+bx+c(a≠0)$；②顶点式:$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$；③交点式:$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)$
2.三；$a,b,c$；3；三；一；$a,b,c$；$y=a(x-h)^2+k$；$y=ax^2+bx+c$
【知识点】
1. 二次函数的表示形式
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数解析式选型
【点评】
本题属于基础识记类题型，考察对二次函数核心基础概念的掌握情况，相关知识点是求解二次函数解析式、应用二次函数解决各类问题的前提，需熟练记忆不同解析式形式的特点与适用场景。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数的基础概念与待定系数法求解析式的相关常识，全部为教材核心识记内容。解题时先回忆二次函数的三类表达形式，再梳理待定系数法求一般式的逻辑：含几个待定系数就需要几个等量关系（即几个点的坐标），最后根据不同已知条件的特点，匹配对应的解析式设定形式即可。
【解析】
1. 二次函数共有三类标准表示方式：
① 一般式，是二次函数的通用标准形式，需注意二次项系数不为0，即$y=ax^2+bx+c(a≠0)$；
② 顶点式，可直接读取函数的顶点坐标，形式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$；
③ 交点式，可直接读取函数图象与x轴的交点横坐标，形式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)$。
2. 二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$中共有3个未知的待定系数，分别为$a、b、c$，因此需要3个点的坐标代入得到3个独立方程，组成三元一次方程组，求解得到$a、b、c$的取值后即可确定函数表达式。
使用待定系数法时，若已知顶点坐标或对称轴，选择顶点式可减少未知量简化计算，即设表达式为$y=a(x-h)^2+k$；若已知3个普通点的坐标，选择一般式代入求解即可，即设表达式为$y=ax^2+bx+c$。
【答案】
1.①一般式:$y=ax^2+bx+c(a≠0)$；②顶点式:$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$；③交点式:$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)$
2.三；$a,b,c$；3；三；一；$a,b,c$；$y=a(x-h)^2+k$；$y=ax^2+bx+c$
【知识点】
1. 二次函数的表示形式
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数解析式选型
【点评】
本题属于基础识记类题型，考察对二次函数核心基础概念的掌握情况，相关知识点是求解二次函数解析式、应用二次函数解决各类问题的前提，需熟练记忆不同解析式形式的特点与适用场景。
【难度系数】
0.9
1. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 -2x +3$ 相同，顶点为$(-2,1)$，则此抛物线的表达式为（
A.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 +1$
B.$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 -1$
C.$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 +1$
D.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -1$
C
）。A.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 +1$
B.$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 -1$
C.$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 +1$
D.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -1$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先要明确：抛物线的形状、开口方向由二次项系数a决定，所以所求抛物线的a值和已知抛物线的a值相等。其次，题目直接给出了顶点坐标，选用二次函数的顶点式来求解析式是最简便的方法，只要把a、顶点的横纵坐标代入顶点式即可得到结果。
【解析】
1. 确定二次项系数a：
已知所求抛物线形状、开口方向与$y=\frac{1}{2}x^2 -2x +3$相同，因此二次项系数$a=\frac{1}{2}$。
2. 代入顶点式求解析式：
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），本题中顶点为$(-2,1)$，即$h=-2$，$k=1$，将$a=\frac{1}{2}$、$h=-2$、$k=1$代入顶点式得：
$y=\frac{1}{2}[x-(-2)]^2 +1 = \frac{1}{2}(x+2)^2 +1$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的顶点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是牢记抛物线的开口方向、形状仅由二次项系数a决定，当已知顶点坐标时，选择顶点式求解解析式可以大大简化计算，解题时需注意顶点式中h的符号不要写错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确：抛物线的形状、开口方向由二次项系数a决定，所以所求抛物线的a值和已知抛物线的a值相等。其次，题目直接给出了顶点坐标，选用二次函数的顶点式来求解析式是最简便的方法，只要把a、顶点的横纵坐标代入顶点式即可得到结果。
【解析】
1. 确定二次项系数a：
已知所求抛物线形状、开口方向与$y=\frac{1}{2}x^2 -2x +3$相同，因此二次项系数$a=\frac{1}{2}$。
2. 代入顶点式求解析式：
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），本题中顶点为$(-2,1)$，即$h=-2$，$k=1$，将$a=\frac{1}{2}$、$h=-2$、$k=1$代入顶点式得：
$y=\frac{1}{2}[x-(-2)]^2 +1 = \frac{1}{2}(x+2)^2 +1$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的顶点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是牢记抛物线的开口方向、形状仅由二次项系数a决定，当已知顶点坐标时，选择顶点式求解解析式可以大大简化计算，解题时需注意顶点式中h的符号不要写错。
【难度系数】
0.8
2. 关于$x$的二次函数$y=(a-3)x^2 + bx + a^2 -9$的图象过原点，则$a$的值为（
A.$-3$
B.$3$
C.$\pm3$
D.$0$
A
）。A.$-3$
B.$3$
C.$\pm3$
D.$0$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时需结合两个已知条件推导：①函数是二次函数，因此二次项系数不能为0；②函数图象过原点，即原点(0,0)满足函数解析式。首先将原点坐标代入解析式求出a的所有可能值，再结合二次函数的定义排除不符合要求的取值，即可得到正确结果。
【解析】
第一步：将原点(0,0)代入二次函数解析式
把x=0，y=0代入$y=(a-3)x^2 + bx + a^2 -9$，得：
$0 = 0 + 0 + a^2 -9$
即$a^2=9$，解得$a=3$或$a=-3$。
第二步：结合二次函数的定义筛选a的取值
∵该函数是关于x的二次函数，
∴二次项系数不为0，即$a-3≠0$，解得$a≠3$。
综上，a的值为-3。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数的基础易错题，解题时需注意题干中“二次函数”的限制条件，避免忽略二次项系数不为0的要求误选C。
【难度系数】
0.7
解题时需结合两个已知条件推导：①函数是二次函数，因此二次项系数不能为0；②函数图象过原点，即原点(0,0)满足函数解析式。首先将原点坐标代入解析式求出a的所有可能值，再结合二次函数的定义排除不符合要求的取值，即可得到正确结果。
【解析】
第一步：将原点(0,0)代入二次函数解析式
把x=0，y=0代入$y=(a-3)x^2 + bx + a^2 -9$，得：
$0 = 0 + 0 + a^2 -9$
即$a^2=9$，解得$a=3$或$a=-3$。
第二步：结合二次函数的定义筛选a的取值
∵该函数是关于x的二次函数，
∴二次项系数不为0，即$a-3≠0$，解得$a≠3$。
综上，a的值为-3。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数的基础易错题，解题时需注意题干中“二次函数”的限制条件，避免忽略二次项系数不为0的要求误选C。
【难度系数】
0.7
3.已知关于$x$的二次函数$y=ax^2+bx+2$，函数值$y$和自变量$x$的部分对应取值如下表所示，则该二次函数的表达式为（
A.$y=2x^2 -x +2$
B.$y=x^2 -2x +2$
C.$y=-2x^2 -5x +2$
D.$y=-x^2 +2x +2$
B
）。A.$y=2x^2 -x +2$
B.$y=x^2 -2x +2$
C.$y=-2x^2 -5x +2$
D.$y=-x^2 +2x +2$
答案
3.B
解析
【分析】
本题要求二次函数的表达式，已知二次函数为一般形式$y=ax^2+bx+2$，常数项已给出，仅需求出系数$a$、$b$即可。我们可以利用待定系数法，选取表格中两组已知的$x$、$y$对应值代入解析式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$a$、$b$的值，即可确定函数表达式；也可将表格中的点代入各选项验证排除。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=ax^2+bx+2$，选取表格中两组对应值$\begin{cases}x=-1,y=5\\x=2,y=2\end{cases}$代入解析式：
1. 把$x=-1,y=5$代入得：$a×(-1)^2 + b×(-1) +2=5$，化简得：$a - b = 3$ ①；
2. 把$x=2,y=2$代入得：$a×2^2 + b×2 +2=2$，化简得：$2a + b = 0$ ②；
3. 联立①②，用①+②消去$b$得：$3a=3$，解得$a=1$；
4. 将$a=1$代入①得：$1 - b=3$，解得$b=-2$。
因此二次函数的表达式为$y=x^2 -2x +2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法，二次函数解析式，二元一次方程组求解
【点评】
本题是二次函数基础题，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，也可通过代入验证法快速筛选正确选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
本题要求二次函数的表达式，已知二次函数为一般形式$y=ax^2+bx+2$，常数项已给出，仅需求出系数$a$、$b$即可。我们可以利用待定系数法，选取表格中两组已知的$x$、$y$对应值代入解析式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$a$、$b$的值，即可确定函数表达式；也可将表格中的点代入各选项验证排除。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=ax^2+bx+2$，选取表格中两组对应值$\begin{cases}x=-1,y=5\\x=2,y=2\end{cases}$代入解析式：
1. 把$x=-1,y=5$代入得：$a×(-1)^2 + b×(-1) +2=5$，化简得：$a - b = 3$ ①；
2. 把$x=2,y=2$代入得：$a×2^2 + b×2 +2=2$，化简得：$2a + b = 0$ ②；
3. 联立①②，用①+②消去$b$得：$3a=3$，解得$a=1$；
4. 将$a=1$代入①得：$1 - b=3$，解得$b=-2$。
因此二次函数的表达式为$y=x^2 -2x +2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法，二次函数解析式，二元一次方程组求解
【点评】
本题是二次函数基础题，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，也可通过代入验证法快速筛选正确选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
4.请写出一个二次函数表达式，使其图象开口向上，且与y轴交于负半轴：
$y=2x^2+4x-3$(答案不唯一)
。答案
4.$y=2x^2+4x-3$(答案不唯一)
解析
【分析】
要写出满足要求的二次函数，我们可以结合二次函数的性质逐步推导：首先明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），第一步，图象开口向上，说明二次项系数$a$必须大于0；第二步，图象与y轴交于负半轴，当$x=0$时，$y=c$，即y轴交点的纵坐标为$c$，因此常数项$c$必须小于0；一次项系数$b$可以取任意实数，我们只要选取符合$a＞0$、$c＜0$的数值代入一般式，就能得到符合要求的表达式。
【解析】
设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）：
1. 由图象开口向上的性质可得$a＞0$，可取$a=2$（任意正数均可）；
2. 由与y轴交于负半轴的要求，可得当$x=0$时$y=c＜0$，可取$c=-3$（任意负数均可）；
3. 一次项系数$b$无特殊限制，可取$b=4$（任意实数均可）；
将选取的系数代入一般式，即可得到符合要求的表达式$y=2x^2+4x-3$，本题答案不唯一，只要满足$a＞0$、$c＜0$的二次函数均正确。
【答案】
$y=2x^2+4x-3$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数图象性质、二次函数系数的意义、二次函数表达式书写
【点评】
本题属于开放型基础题，主要考查对二次函数基本性质的理解和应用，只要牢记二次函数各项系数对应的图象特征，即可快速写出符合要求的表达式。
【难度系数】
0.9
要写出满足要求的二次函数，我们可以结合二次函数的性质逐步推导：首先明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），第一步，图象开口向上，说明二次项系数$a$必须大于0；第二步，图象与y轴交于负半轴，当$x=0$时，$y=c$，即y轴交点的纵坐标为$c$，因此常数项$c$必须小于0；一次项系数$b$可以取任意实数，我们只要选取符合$a＞0$、$c＜0$的数值代入一般式，就能得到符合要求的表达式。
【解析】
设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）：
1. 由图象开口向上的性质可得$a＞0$，可取$a=2$（任意正数均可）；
2. 由与y轴交于负半轴的要求，可得当$x=0$时$y=c＜0$，可取$c=-3$（任意负数均可）；
3. 一次项系数$b$无特殊限制，可取$b=4$（任意实数均可）；
将选取的系数代入一般式，即可得到符合要求的表达式$y=2x^2+4x-3$，本题答案不唯一，只要满足$a＞0$、$c＜0$的二次函数均正确。
【答案】
$y=2x^2+4x-3$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数图象性质、二次函数系数的意义、二次函数表达式书写
【点评】
本题属于开放型基础题，主要考查对二次函数基本性质的理解和应用，只要牢记二次函数各项系数对应的图象特征，即可快速写出符合要求的表达式。
【难度系数】
0.9
5.若关于x的二次函数$y=ax^2 - bx - 1$的图象经过点$(2,1)$，则$1 - 2a + b=$
0
。答案
5.0
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数图象上点的坐标的性质：若点在二次函数图象上，则点的横、纵坐标满足二次函数的解析式。我们可以先将已知点的坐标代入函数解析式，得到关于a、b的等式，再对等式进行变形，结合所求代数式的结构，用整体代入的方法即可求出结果。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2 - bx - 1$的图象经过点$(2,1)$
∴ 将$x=2$，$y=1$代入函数解析式，得：
$1 = a×2^2 - b×2 - 1$
整理得：$4a - 2b = 2$
等式两边同时除以2，得：$2a - b = 1$
对所求代数式变形：$1 - 2a + b = 1 - (2a - b)$
将$2a - b = 1$代入上式，得：
$1 - 1 = 0$
【答案】
0
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 整体代入求代数式的值
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，通过代入得到参数关系后，观察所求代数式的结构，运用整体代入思想快速求值，避免分别求解a、b的不必要步骤。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆二次函数图象上点的坐标的性质：若点在二次函数图象上，则点的横、纵坐标满足二次函数的解析式。我们可以先将已知点的坐标代入函数解析式，得到关于a、b的等式，再对等式进行变形，结合所求代数式的结构，用整体代入的方法即可求出结果。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2 - bx - 1$的图象经过点$(2,1)$
∴ 将$x=2$，$y=1$代入函数解析式，得：
$1 = a×2^2 - b×2 - 1$
整理得：$4a - 2b = 2$
等式两边同时除以2，得：$2a - b = 1$
对所求代数式变形：$1 - 2a + b = 1 - (2a - b)$
将$2a - b = 1$代入上式，得：
$1 - 1 = 0$
【答案】
0
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 整体代入求代数式的值
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，通过代入得到参数关系后，观察所求代数式的结构，运用整体代入思想快速求值，避免分别求解a、b的不必要步骤。
【难度系数】
0.8
6.在关于$x$的二次函数$y=ax^2 - 2ax + b$中，当$0≤ x≤ 3$时，$-2≤ y≤ 6$，则$b - a=$
-2或6
。答案
6.-2或6
解析
【分析】
首先将二次函数配方求出对称轴，明确对称轴位于给定的自变量区间[0,3]内，二次函数在闭区间内的最值一定在顶点或区间端点处取得。由于二次项系数a的符号不确定，开口方向不明确，因此分a＞0（开口向上）和a＜0（开口向下）两种情况讨论：开口向上时顶点为最小值点，开口向下时顶点为最大值点，结合题目给出的y的取值范围即可得到所求b-a的值，最后验证端点取值符合范围即可。
【解析】
先对二次函数解析式配方：
$y=ax^2 - 2ax + b = a(x^2 - 2x) + b = a(x-1)^2 + (b - a)$
可得该二次函数的对称轴为直线$x=1$，顶点纵坐标为$b-a$，且$x=1$在区间$0≤x≤3$内。
分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，此时函数在顶点处取得最小值
已知当$0≤x≤3$时，$-2≤y≤6$，因此最小值$y_{min}=b - a = -2$
验证：此时最大值在离对称轴最远的端点$x=3$处取得，代入得$y=3a + b = 6$，结合$b=a-2$，解得$a=2＞0$，符合条件。
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，此时函数在顶点处取得最大值
因此最大值$y_{max}=b - a = 6$
验证：此时最小值在离对称轴最远的端点$x=3$处取得，代入得$y=3a + b = -2$，结合$b=a+6$，解得$a=-2＜0$，符合条件。
【答案】
-2或6
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数的最值；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查二次函数在指定区间内的最值求解，解题关键是先确定对称轴位置，再结合开口方向判断最值点，需注意开口方向不确定时要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先将二次函数配方求出对称轴，明确对称轴位于给定的自变量区间[0,3]内，二次函数在闭区间内的最值一定在顶点或区间端点处取得。由于二次项系数a的符号不确定，开口方向不明确，因此分a＞0（开口向上）和a＜0（开口向下）两种情况讨论：开口向上时顶点为最小值点，开口向下时顶点为最大值点，结合题目给出的y的取值范围即可得到所求b-a的值，最后验证端点取值符合范围即可。
【解析】
先对二次函数解析式配方：
$y=ax^2 - 2ax + b = a(x^2 - 2x) + b = a(x-1)^2 + (b - a)$
可得该二次函数的对称轴为直线$x=1$，顶点纵坐标为$b-a$，且$x=1$在区间$0≤x≤3$内。
分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，此时函数在顶点处取得最小值
已知当$0≤x≤3$时，$-2≤y≤6$，因此最小值$y_{min}=b - a = -2$
验证：此时最大值在离对称轴最远的端点$x=3$处取得，代入得$y=3a + b = 6$，结合$b=a-2$，解得$a=2＞0$，符合条件。
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，此时函数在顶点处取得最大值
因此最大值$y_{max}=b - a = 6$
验证：此时最小值在离对称轴最远的端点$x=3$处取得，代入得$y=3a + b = -2$，结合$b=a+6$，解得$a=-2＜0$，符合条件。
【答案】
-2或6
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数的最值；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查二次函数在指定区间内的最值求解，解题关键是先确定对称轴位置，再结合开口方向判断最值点，需注意开口方向不确定时要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
7.如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线ACB)的薄壳屋顶。已知它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m。为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求抛物线的表达式。图②是以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的表达式为（
A.$y=-0.2x^2 + 0.8$
B.$y=-0.2x^2 - 0.8$
C.$y=0.2x^2 + 0.8$
D.$y=-0.2x^2 + 0.4$
A
）。A.$y=-0.2x^2 + 0.8$
B.$y=-0.2x^2 - 0.8$
C.$y=0.2x^2 + 0.8$
D.$y=-0.2x^2 + 0.4$
答案
7.A
解析
【分析】
首先观察所建坐标系的特征：抛物线顶点C在y轴上，对称轴为y轴，因此可设简化的顶点式解析式$y=ax^2+c$（$a≠0$）；再结合已知的拱宽$AB=4\ \mathrm{m}$、拱高$CO=0.8\ \mathrm{m}$，确定抛物线上已知点的坐标：$B(2,0)$、$C(0,0.8)$，将两点坐标代入解析式求解参数$a$、$c$，即可得到抛物线表达式。
【解析】
解：由题意得，拱宽$AB=4\ \mathrm{m}$，故$OB=AB÷2=2\ \mathrm{m}$，因此点$B$坐标为$(2,0)$，拱高$CO=0.8\ \mathrm{m}$，故顶点$C$坐标为$(0,0.8)$。
∵抛物线对称轴为y轴，
∴设抛物线的表达式为$y=ax^2+c\ (a≠0)$。
将$C(0,0.8)$代入表达式，得：$0=a×0^2 + c$，解得$c=0.8$。
将$B(2,0)$、$c=0.8$代入表达式，得：$0=a×2^2 + 0.8$，
即$4a + 0.8 = 0$，解得$a=-0.2$。
因此抛物线的表达式为$y=-0.2x^2 + 0.8$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的图像性质
【点评】
本题是二次函数在实际建筑问题中的基础应用，解题的核心是结合坐标系的特征选择简便的解析式形式，降低计算难度，掌握待定系数法求解析式是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
首先观察所建坐标系的特征：抛物线顶点C在y轴上，对称轴为y轴，因此可设简化的顶点式解析式$y=ax^2+c$（$a≠0$）；再结合已知的拱宽$AB=4\ \mathrm{m}$、拱高$CO=0.8\ \mathrm{m}$，确定抛物线上已知点的坐标：$B(2,0)$、$C(0,0.8)$，将两点坐标代入解析式求解参数$a$、$c$，即可得到抛物线表达式。
【解析】
解：由题意得，拱宽$AB=4\ \mathrm{m}$，故$OB=AB÷2=2\ \mathrm{m}$，因此点$B$坐标为$(2,0)$，拱高$CO=0.8\ \mathrm{m}$，故顶点$C$坐标为$(0,0.8)$。
∵抛物线对称轴为y轴，
∴设抛物线的表达式为$y=ax^2+c\ (a≠0)$。
将$C(0,0.8)$代入表达式，得：$0=a×0^2 + c$，解得$c=0.8$。
将$B(2,0)$、$c=0.8$代入表达式，得：$0=a×2^2 + 0.8$，
即$4a + 0.8 = 0$，解得$a=-0.2$。
因此抛物线的表达式为$y=-0.2x^2 + 0.8$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的图像性质
【点评】
本题是二次函数在实际建筑问题中的基础应用，解题的核心是结合坐标系的特征选择简便的解析式形式，降低计算难度，掌握待定系数法求解析式是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
