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8.滑雪爱好者小张从山坡滑下，为了得出滑行距离s(单位:m)与滑行时间t(单位:s)之间的关系式，测得的一些数据如下表。为观察s与t之间的关系，建立平面直角坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标绘制了如图所示的函数图象。
（第8题）
根据以上信息，可知，s与t的函数关系式是(不考虑取值范围)(
A.$s=\frac{3}{2}t^2 +3t$
B.$s=\frac{3}{2}t^2 -3t$
C.$s=\frac{5}{2}t^2 -2t$
D.$s=\frac{5}{2}t^2 +2t$
（第8题）根据以上信息，可知，s与t的函数关系式是(不考虑取值范围)(
D
)。A.$s=\frac{3}{2}t^2 +3t$
B.$s=\frac{3}{2}t^2 -3t$
C.$s=\frac{5}{2}t^2 -2t$
D.$s=\frac{5}{2}t^2 +2t$
答案
8.D
解析
【分析】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据函数图象的特征可判断s与t满足二次函数关系，又因为初始时刻t=0时滑行距离s=0，所以二次函数的常数项为0，因此可设函数关系式为$s=at^2+bt(a≠0)$。接下来可以用两种方法求解：一是选取表格中两组已知的$(t,s)$数据代入表达式，解二元一次方程组求出a、b的值；二是用代入验证法，将已知的t值分别代入四个选项，排除不符合实际或和表格数据不匹配的选项，最终得到正确答案。
【解析】
解法1：待定系数法
由运动实际可知，当$t=0$时，$s=0$，因此设s与t的函数关系式为$s=at^2+bt(a≠0)$。
选取表格中两组数据（$t=1,s=4.5$；$t=2,s=14$）代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}a + b = 4.5 \\4a + 2b = 14\end{cases}$
将第一个方程两边同时乘2得：$2a + 2b = 9$，用第二个方程减去该式得：$2a=5$，解得$a=\frac{5}{2}$。
将$a=\frac{5}{2}$代入$a + b = 4.5$，得$\frac{5}{2} + b = \frac{9}{2}$，解得$b=2$。
因此函数关系式为$s=\frac{5}{2}t^2 + 2t$。
解法2：排除法
滑行距离s不可能为负数：
选项B：当$t=1$时，$s=\frac{3}{2}×1^2 -3×1=-1.5＜0$，不符合实际，排除；
选项C：当$t=1$时，$s=\frac{5}{2}×1^2 -2×1=0.5m$，不符合滑雪滑行的实际速度，代入$t=2$得$s=6m$，与测量数据不符，排除；
选项A：代入$t=2$得$s=\frac{3}{2}×4 +3×2=12m$，与测量数据不符，排除；
只有选项D代入所有测量数据均符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的实际应用
【点评】
本题结合滑雪运动的实际场景考查二次函数解析式的求解，既可以通过待定系数法列方程组计算得到结果，也可以结合实际意义用排除法快速锁定答案，解题时注意灵活选择方法提高效率。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据函数图象的特征可判断s与t满足二次函数关系，又因为初始时刻t=0时滑行距离s=0，所以二次函数的常数项为0，因此可设函数关系式为$s=at^2+bt(a≠0)$。接下来可以用两种方法求解：一是选取表格中两组已知的$(t,s)$数据代入表达式，解二元一次方程组求出a、b的值；二是用代入验证法，将已知的t值分别代入四个选项，排除不符合实际或和表格数据不匹配的选项，最终得到正确答案。
【解析】
解法1：待定系数法
由运动实际可知，当$t=0$时，$s=0$，因此设s与t的函数关系式为$s=at^2+bt(a≠0)$。
选取表格中两组数据（$t=1,s=4.5$；$t=2,s=14$）代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}a + b = 4.5 \\4a + 2b = 14\end{cases}$
将第一个方程两边同时乘2得：$2a + 2b = 9$，用第二个方程减去该式得：$2a=5$，解得$a=\frac{5}{2}$。
将$a=\frac{5}{2}$代入$a + b = 4.5$，得$\frac{5}{2} + b = \frac{9}{2}$，解得$b=2$。
因此函数关系式为$s=\frac{5}{2}t^2 + 2t$。
解法2：排除法
滑行距离s不可能为负数：
选项B：当$t=1$时，$s=\frac{3}{2}×1^2 -3×1=-1.5＜0$，不符合实际，排除；
选项C：当$t=1$时，$s=\frac{5}{2}×1^2 -2×1=0.5m$，不符合滑雪滑行的实际速度，代入$t=2$得$s=6m$，与测量数据不符，排除；
选项A：代入$t=2$得$s=\frac{3}{2}×4 +3×2=12m$，与测量数据不符，排除；
只有选项D代入所有测量数据均符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的实际应用
【点评】
本题结合滑雪运动的实际场景考查二次函数解析式的求解，既可以通过待定系数法列方程组计算得到结果，也可以结合实际意义用排除法快速锁定答案，解题时注意灵活选择方法提高效率。
【难度系数】
0.7
9.已知抛物线 $ y_1 = a(x + m)^2 + k $ 与 $ y_2 = -a(x - m)^2 - k(m ≠ 0) $ 关于原点对称，我们称 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 互为“和谐抛物线”，请写出抛物线 $ y = -4x^2 + 6x + 7 $ 的“和谐抛物线”：
$y=4x^2+6x-7$
。答案
9.$y=4x^2+6x-7$
解析
【分析】
首先明确“和谐抛物线”的含义是两个抛物线关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标特征：若点(x,y)在待求的和谐抛物线上，则其关于原点对称的点(-x,-y)一定在已知抛物线上。我们只需将已知抛物线解析式中的x替换为-x，y替换为-y，再整理为y关于x的二次函数形式，即可得到所求的和谐抛物线解析式。
【解析】
设点(x,y)是所求“和谐抛物线”上的任意一点，则该点关于原点对称的点为(-x,-y)，该点在已知抛物线$y = -4x^2 + 6x + 7$上，将x替换为-x，y替换为-y代入已知抛物线解析式得：
$-y = -4(-x)^2 + 6(-x) + 7$
化简等号右侧：
$-y = -4x^2 - 6x + 7$
等式两边同时乘以-1，得：
$y = 4x^2 + 6x - 7$
【答案】
$y=4x^2+6x-7$
【知识点】
1. 关于原点对称的点的坐标特征
2. 二次函数解析式的确定
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解“和谐抛物线”的定义对应图象关于原点对称的性质，结合原点对称的坐标变换规律代入计算即可，重点考查对新定义的解读能力和基础的函数图象变换应用能力。
【难度系数】
0.7
首先明确“和谐抛物线”的含义是两个抛物线关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标特征：若点(x,y)在待求的和谐抛物线上，则其关于原点对称的点(-x,-y)一定在已知抛物线上。我们只需将已知抛物线解析式中的x替换为-x，y替换为-y，再整理为y关于x的二次函数形式，即可得到所求的和谐抛物线解析式。
【解析】
设点(x,y)是所求“和谐抛物线”上的任意一点，则该点关于原点对称的点为(-x,-y)，该点在已知抛物线$y = -4x^2 + 6x + 7$上，将x替换为-x，y替换为-y代入已知抛物线解析式得：
$-y = -4(-x)^2 + 6(-x) + 7$
化简等号右侧：
$-y = -4x^2 - 6x + 7$
等式两边同时乘以-1，得：
$y = 4x^2 + 6x - 7$
【答案】
$y=4x^2+6x-7$
【知识点】
1. 关于原点对称的点的坐标特征
2. 二次函数解析式的确定
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解“和谐抛物线”的定义对应图象关于原点对称的性质，结合原点对称的坐标变换规律代入计算即可，重点考查对新定义的解读能力和基础的函数图象变换应用能力。
【难度系数】
0.7
10.规定:不相交的两个函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“亲近距离”。已知抛物线$y=x^2+bx+c$经过点$(0,3),(1,2)$。
(1)求抛物线的表达式。
(2)求抛物线$y=x^2+bx+c$与$x$轴的“亲近距离”。
(3)探究问题:如图,求抛物线$y=x^2-2x+3$与直线$y=x-1$的“亲近距离”的过程中,有人提出:过抛物线的顶点向$x$轴作垂线与直线$y=x-1$相交,则“亲近距离”一定是抛物线顶点与交点之间的距离,你同意他的看法吗?请说明理由。
(1)求抛物线的表达式。
(2)求抛物线$y=x^2+bx+c$与$x$轴的“亲近距离”。
(3)探究问题:如图,求抛物线$y=x^2-2x+3$与直线$y=x-1$的“亲近距离”的过程中,有人提出:过抛物线的顶点向$x$轴作垂线与直线$y=x-1$相交,则“亲近距离”一定是抛物线顶点与交点之间的距离,你同意他的看法吗?请说明理由。
答案
10.解:(1)把(0,3),(1,2)的坐标分别代入$y=x^2+bx+c$,得$\begin{cases}c=3,\\1+b+c=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-2,\\c=3。\end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y=x^2-2x+3$。
(2)$\because y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$,
∴抛物线的顶点坐标为$(1,2)$,
∴抛物线$y=x^2-2x+3$与$x$轴的“亲近距离”为2。
(3)不同意他的看法。
理由如下：
如图,P为抛物线$y=x^2-2x+3$上任意一点，过点P作$PQ// y$轴交直线$y=x-1$于点Q。
设$P(t,t^2-2t+3)$,则$Q(t,t-1)$,
$\therefore PQ=t^2-2t+3-(t-1)=t^2-3t+4$。
$\because PQ=(t-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{7}{4}$,
∴当$t=\dfrac{3}{2}$时,PQ的值最小,为$\dfrac{7}{4}$。
∵抛物线的顶点坐标为$(1,2)$,
∴不同意他的看法。
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式可使用待定系数法，把已知的两个点坐标代入二次函数一般式，得到关于参数b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，得到解析式。
(2) 抛物线与x轴的“亲近距离”是二者竖直方向的最短距离，x轴上所有点纵坐标为0，抛物线开口向上，顶点的纵坐标是抛物线上点的最小纵坐标，该值就是二者的竖直最短距离，因此将解析式配方为顶点式求出顶点纵坐标即可。
(3) 要判断看法是否正确，需明确“亲近距离”是同一横坐标下两个函数值的差的最小值，不能默认顶点处差值最小。可设抛物线上任意点的横坐标为t，计算同横坐标下抛物线与直线上点的纵坐标差值，将差值配方求最小值，对比最小值对应的横坐标是否为顶点横坐标，即可判断看法正误。
【解析】
(1) 把点$(0,3)$、$(1,2)$的坐标分别代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}c=3\\1+b+c=2\end{cases}$
将$c=3$代入第二个方程，解得$b=-2$，因此抛物线的表达式为$y=x^2-2x+3$。
(2) 将抛物线解析式配方为顶点式：$y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，
可知抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,2)$，即抛物线上点的纵坐标最小值为2，x轴上所有点纵坐标均为0，因此二者竖直方向最短距离为2，即“亲近距离”为2。
(3) 不同意该看法，理由如下：
设抛物线上任意一点P的横坐标为t，则P点坐标为$(t,t^2-2t+3)$，过P作$PQ// y$轴交直线$y=x-1$于Q点，则Q点坐标为$(t,t-1)$。
两点竖直距离$PQ=t^2-2t+3-(t-1)=t^2-3t+4$，
配方得$PQ=(t-\frac{3}{2})^2+\frac{7}{4}$，
因为二次项系数大于0，所以当$t=\frac{3}{2}$时，PQ取得最小值$\frac{7}{4}$。
抛物线顶点横坐标为1，不是$\frac{3}{2}$，即最短距离不是在顶点处取得，因此该看法错误。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=x^2-2x+3}$；
(2) 抛物线与x轴的“亲近距离”为$\boldsymbol{2}$；
(3) 不同意他的看法，理由如下：
如图,P为抛物线$y=x^2-2x+3$上任意一点，过点P作$PQ// y$轴交直线$y=x-1$于点Q。
设$P(t,t^2-2t+3)$,则$Q(t,t-1)$,
$\therefore PQ=t^2-2t+3-(t-1)=t^2-3t+4$。
$\because PQ=(t-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{7}{4}$,
$\therefore$当$t=\dfrac{3}{2}$时,PQ的值最小,为$\dfrac{7}{4}$。
$\because$抛物线的顶点坐标为$(1,2)$，即最短距离不是在顶点处取得，
$\therefore$不同意他的看法。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的最值；新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的相关知识，既需要掌握二次函数解析式求解、最值计算的基础方法，也需要准确理解新定义的含义，避免思维定势想当然解题，能够有效考查知识迁移应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求抛物线解析式可使用待定系数法，把已知的两个点坐标代入二次函数一般式，得到关于参数b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，得到解析式。
(2) 抛物线与x轴的“亲近距离”是二者竖直方向的最短距离，x轴上所有点纵坐标为0，抛物线开口向上，顶点的纵坐标是抛物线上点的最小纵坐标，该值就是二者的竖直最短距离，因此将解析式配方为顶点式求出顶点纵坐标即可。
(3) 要判断看法是否正确，需明确“亲近距离”是同一横坐标下两个函数值的差的最小值，不能默认顶点处差值最小。可设抛物线上任意点的横坐标为t，计算同横坐标下抛物线与直线上点的纵坐标差值，将差值配方求最小值，对比最小值对应的横坐标是否为顶点横坐标，即可判断看法正误。
【解析】
(1) 把点$(0,3)$、$(1,2)$的坐标分别代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}c=3\\1+b+c=2\end{cases}$
将$c=3$代入第二个方程，解得$b=-2$，因此抛物线的表达式为$y=x^2-2x+3$。
(2) 将抛物线解析式配方为顶点式：$y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，
可知抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,2)$，即抛物线上点的纵坐标最小值为2，x轴上所有点纵坐标均为0，因此二者竖直方向最短距离为2，即“亲近距离”为2。
(3) 不同意该看法，理由如下：
设抛物线上任意一点P的横坐标为t，则P点坐标为$(t,t^2-2t+3)$，过P作$PQ// y$轴交直线$y=x-1$于Q点，则Q点坐标为$(t,t-1)$。
两点竖直距离$PQ=t^2-2t+3-(t-1)=t^2-3t+4$，
配方得$PQ=(t-\frac{3}{2})^2+\frac{7}{4}$，
因为二次项系数大于0，所以当$t=\frac{3}{2}$时，PQ取得最小值$\frac{7}{4}$。
抛物线顶点横坐标为1，不是$\frac{3}{2}$，即最短距离不是在顶点处取得，因此该看法错误。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=x^2-2x+3}$；
(2) 抛物线与x轴的“亲近距离”为$\boldsymbol{2}$；
(3) 不同意他的看法，理由如下：
如图,P为抛物线$y=x^2-2x+3$上任意一点，过点P作$PQ// y$轴交直线$y=x-1$于点Q。
设$P(t,t^2-2t+3)$,则$Q(t,t-1)$,
$\therefore PQ=t^2-2t+3-(t-1)=t^2-3t+4$。
$\because PQ=(t-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{7}{4}$,
$\therefore$当$t=\dfrac{3}{2}$时,PQ的值最小,为$\dfrac{7}{4}$。
$\because$抛物线的顶点坐标为$(1,2)$，即最短距离不是在顶点处取得，
$\therefore$不同意他的看法。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的最值；新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的相关知识，既需要掌握二次函数解析式求解、最值计算的基础方法，也需要准确理解新定义的含义，避免思维定势想当然解题，能够有效考查知识迁移应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
