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利用二次函数求几何图形最大面积的一般步骤:①引入
②用含
③根据几何图形的特征,列出其面积的计算公式,并且用函数表示这个面积;
④根据函数的关系式,求出最大值及取得最大值时
变量
;②用含
未知数
的代数式分别表示与所求图形相关的量;③根据几何图形的特征,列出其面积的计算公式,并且用函数表示这个面积;
④根据函数的关系式,求出最大值及取得最大值时
自变量
的值。答案
①变量 ②未知数 ④自变量
解析
【分析】
本题考查利用二次函数求几何图形最大面积的标准步骤，我们可以结合实际解题的逻辑推导每空内容：处理这类最值问题时，第一步需要先设定变化的量，也就是引入合适的变量；接下来图形中与面积相关的边长、高等几何量，都需要用我们设定的未知数的代数式来表示；之后根据对应几何图形的面积公式，写出面积关于这个未知数的函数表达式；最后根据二次函数性质求最大值时，还要同步确定取得最大值时对应的自变量的取值，由此即可确定每个空缺的内容。
【解析】
根据利用二次函数求几何图形最大面积的一般步骤：
①首先要引入变量，作为后续构建函数的自变量；
②接下来需要用含所设未知数的代数式表示和所求图形面积相关的各个量；
④最后根据函数关系式求最大值的同时，要确定取得最大值时自变量的值。
因此三个空缺依次填入对应内容即可。
【答案】
①变量；②未知数；④自变量
【知识点】
二次函数的应用；面积最值求解
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查二次函数求几何最大面积的步骤流程，熟练掌握该步骤是解决各类二次函数几何最值应用题的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查利用二次函数求几何图形最大面积的标准步骤，我们可以结合实际解题的逻辑推导每空内容：处理这类最值问题时，第一步需要先设定变化的量，也就是引入合适的变量；接下来图形中与面积相关的边长、高等几何量，都需要用我们设定的未知数的代数式来表示；之后根据对应几何图形的面积公式，写出面积关于这个未知数的函数表达式；最后根据二次函数性质求最大值时，还要同步确定取得最大值时对应的自变量的取值，由此即可确定每个空缺的内容。
【解析】
根据利用二次函数求几何图形最大面积的一般步骤：
①首先要引入变量，作为后续构建函数的自变量；
②接下来需要用含所设未知数的代数式表示和所求图形面积相关的各个量；
④最后根据函数关系式求最大值的同时，要确定取得最大值时自变量的值。
因此三个空缺依次填入对应内容即可。
【答案】
①变量；②未知数；④自变量
【知识点】
二次函数的应用；面积最值求解
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查二次函数求几何最大面积的步骤流程，熟练掌握该步骤是解决各类二次函数几何最值应用题的前提。
【难度系数】
0.9
1.已知一个直角三角形的两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为(
A.$25\ \mathrm{cm}^2$
B.$50\ \mathrm{cm}^2$
C.$100\ \mathrm{cm}^2$
D.不确定
B
)。A.$25\ \mathrm{cm}^2$
B.$50\ \mathrm{cm}^2$
C.$100\ \mathrm{cm}^2$
D.不确定
答案
1.B
解析
【分析】
要解决直角三角形的最大面积问题，我们可以按照以下思路思考：首先设其中一条直角边为未知数，利用两直角边之和为20cm表示出另一条直角边；再结合直角三角形面积公式写出面积关于未知数的函数表达式；最后利用二次函数的性质求出最大值即可，注意自变量的取值范围要符合边长为正的要求。
【解析】
设该直角三角形的一条直角边长为$ x\ \mathrm{cm} $，则另一条直角边长为$ (20 - x)\ \mathrm{cm} $，其中$ 0 ＜ x ＜ 20 $。
根据直角三角形面积公式可得面积$ S $为：
$ S = \frac{1}{2}x(20 - x) $
整理为二次函数的一般形式：
$ S = -\frac{1}{2}x^2 + 10x $
该二次函数中$ a = -\frac{1}{2} ＜ 0 $，因此函数图象开口向下，存在最大值。
用配方法变形：
$ S = -\frac{1}{2}(x^2 - 20x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 20x + 100 - 100) = -\frac{1}{2}(x - 10)^2 + 50 $
当$ x = 10 $时，$ S $取得最大值，最大值为$ 50\ \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；直角三角形面积计算；二次函数最值
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题核心是通过设变量建立面积的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，能很好地考查学生对函数应用的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要解决直角三角形的最大面积问题，我们可以按照以下思路思考：首先设其中一条直角边为未知数，利用两直角边之和为20cm表示出另一条直角边；再结合直角三角形面积公式写出面积关于未知数的函数表达式；最后利用二次函数的性质求出最大值即可，注意自变量的取值范围要符合边长为正的要求。
【解析】
设该直角三角形的一条直角边长为$ x\ \mathrm{cm} $，则另一条直角边长为$ (20 - x)\ \mathrm{cm} $，其中$ 0 ＜ x ＜ 20 $。
根据直角三角形面积公式可得面积$ S $为：
$ S = \frac{1}{2}x(20 - x) $
整理为二次函数的一般形式：
$ S = -\frac{1}{2}x^2 + 10x $
该二次函数中$ a = -\frac{1}{2} ＜ 0 $，因此函数图象开口向下，存在最大值。
用配方法变形：
$ S = -\frac{1}{2}(x^2 - 20x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 20x + 100 - 100) = -\frac{1}{2}(x - 10)^2 + 50 $
当$ x = 10 $时，$ S $取得最大值，最大值为$ 50\ \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；直角三角形面积计算；二次函数最值
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题核心是通过设变量建立面积的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，能很好地考查学生对函数应用的掌握程度。
【难度系数】
0.7
2.如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积(墙足够长)是(
A.60 m²
B.63 m²
C.64 m²
D.66 m²
C
)。A.60 m²
B.63 m²
C.64 m²
D.66 m²
答案
2.C
解析
【分析】
这是利用二次函数求解实际最值的问题，解题思路如下：首先设定合适的自变量，比如设垂直于上方墙面的边AB长为x m，结合篱笆总长度为16m，可推出平行于墙面的边BC的长度为(16-x)m；再根据矩形面积公式写出面积关于x的函数关系式；最后利用二次函数的性质求解最大值即可。
【解析】
解：设AB的长度为x m，矩形ABCD的面积为$ S\ \mathrm{m}^2 $。
由篱笆总长度为16m，可得BC的长度为$ (16-x)\ \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式列函数式：
$ S = x(16-x) = -x^2 + 16x $
该二次函数中$ a=-1＜0 $，图象开口向下，存在最大值。
对于二次函数$ y=ax^2+bx+c $，顶点横坐标为$ x=-\frac{b}{2a} $，代入$ a=-1,b=16 $得：
当$ x=-\frac{16}{2×(-1)}=8 $时，S取最大值，
最大值$ S_{\mathrm{max}}=-8^2 +16×8=64\ \mathrm{m}^2 $。
因此所围成矩形的最大面积是$ 64\ \mathrm{m}^2 $，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值、二次函数的实际应用、矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是正确写出面积关于边长的函数表达式，再结合二次函数的性质求最值，属于常见的实际最值类题型。
【难度系数】
0.7
这是利用二次函数求解实际最值的问题，解题思路如下：首先设定合适的自变量，比如设垂直于上方墙面的边AB长为x m，结合篱笆总长度为16m，可推出平行于墙面的边BC的长度为(16-x)m；再根据矩形面积公式写出面积关于x的函数关系式；最后利用二次函数的性质求解最大值即可。
【解析】
解：设AB的长度为x m，矩形ABCD的面积为$ S\ \mathrm{m}^2 $。
由篱笆总长度为16m，可得BC的长度为$ (16-x)\ \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式列函数式：
$ S = x(16-x) = -x^2 + 16x $
该二次函数中$ a=-1＜0 $，图象开口向下，存在最大值。
对于二次函数$ y=ax^2+bx+c $，顶点横坐标为$ x=-\frac{b}{2a} $，代入$ a=-1,b=16 $得：
当$ x=-\frac{16}{2×(-1)}=8 $时，S取最大值，
最大值$ S_{\mathrm{max}}=-8^2 +16×8=64\ \mathrm{m}^2 $。
因此所围成矩形的最大面积是$ 64\ \mathrm{m}^2 $，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值、二次函数的实际应用、矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是正确写出面积关于边长的函数表达式，再结合二次函数的性质求最值，属于常见的实际最值类题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图,用长10 m的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框。若使此窗户的透光面积最大,则最大透光面积为(
A.$50π \ \mathrm{m}^2$
B.$\frac{50}{4+π} \ \mathrm{m}^2$
C.$\frac{50}{8+π} \ \mathrm{m}^2$
D.$\frac{50}{16+π} \ \mathrm{m}^2$
C
)。A.$50π \ \mathrm{m}^2$
B.$\frac{50}{4+π} \ \mathrm{m}^2$
C.$\frac{50}{8+π} \ \mathrm{m}^2$
D.$\frac{50}{16+π} \ \mathrm{m}^2$
答案
3.C
解析
【分析】
这是一道利用二次函数解决几何最值的实际应用题，解题思路如下：第一步先分析铝合金条的组成部分，包括半圆弧、矩形的三条边和半圆的直径共5部分；第二步设半圆半径为r、矩形竖直边为x，用总长度10m建立等式，用含r的代数式表示x；第三步根据“透光面积=半圆面积+矩形面积”列出面积关于r的二次函数表达式；第四步利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，计算最大面积即可。
【解析】
设半圆的半径为$r\ \mathrm{m}$，矩形的竖直边长为$x\ \mathrm{m}$。
1. 表示各部分长度：半圆弧长为$π r$，半圆直径$DC=2r$，矩形下底$AB=2r$，两条竖边$AD=BC=x$。
2. 根据总长度列等式：
$π r + 2r + 2x + 2r =10$
整理得：$π r +4r +2x=10$，解得$x=\frac{10-r(π+4)}{2}$。
3. 列透光面积表达式：
透光面积$S$=半圆面积+矩形面积，即：
$S=\frac{1}{2}π r^2 + 2r· x$
将$x$代入化简：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}π r^2 + 2r· \frac{10-r(π+4)}{2}\\&=\frac{1}{2}π r^2 +10r - π r^2 -4r^2\\&=-(4+\frac{π}{2})r^2 +10r\end{aligned}$
4. 求二次函数最大值：
该二次函数开口向下，最大值在顶点处，对于$ax^2+bx+c$，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，此处$a=-(4+\frac{π}{2})$，$b=10$，$c=0$：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{max}}&=\frac{0-10^2}{4×(-(4+\frac{π}{2}))}\\&=\frac{-100}{-2×(8+π)}\\&=\frac{50}{8+π}\ \mathrm{m^2}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值，列代数式，二次函数的实际应用
【点评】
本题解题的易错点是容易漏算半圆直径$DC$这条铝合金边，导致周长表达式出错。解题时要先结合图形理清所有周长构成部分，再正确列出函数关系，结合二次函数性质求解即可。
【难度系数】
0.65
这是一道利用二次函数解决几何最值的实际应用题，解题思路如下：第一步先分析铝合金条的组成部分，包括半圆弧、矩形的三条边和半圆的直径共5部分；第二步设半圆半径为r、矩形竖直边为x，用总长度10m建立等式，用含r的代数式表示x；第三步根据“透光面积=半圆面积+矩形面积”列出面积关于r的二次函数表达式；第四步利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，计算最大面积即可。
【解析】
设半圆的半径为$r\ \mathrm{m}$，矩形的竖直边长为$x\ \mathrm{m}$。
1. 表示各部分长度：半圆弧长为$π r$，半圆直径$DC=2r$，矩形下底$AB=2r$，两条竖边$AD=BC=x$。
2. 根据总长度列等式：
$π r + 2r + 2x + 2r =10$
整理得：$π r +4r +2x=10$，解得$x=\frac{10-r(π+4)}{2}$。
3. 列透光面积表达式：
透光面积$S$=半圆面积+矩形面积，即：
$S=\frac{1}{2}π r^2 + 2r· x$
将$x$代入化简：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}π r^2 + 2r· \frac{10-r(π+4)}{2}\\&=\frac{1}{2}π r^2 +10r - π r^2 -4r^2\\&=-(4+\frac{π}{2})r^2 +10r\end{aligned}$
4. 求二次函数最大值：
该二次函数开口向下，最大值在顶点处，对于$ax^2+bx+c$，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，此处$a=-(4+\frac{π}{2})$，$b=10$，$c=0$：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{max}}&=\frac{0-10^2}{4×(-(4+\frac{π}{2}))}\\&=\frac{-100}{-2×(8+π)}\\&=\frac{50}{8+π}\ \mathrm{m^2}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值，列代数式，二次函数的实际应用
【点评】
本题解题的易错点是容易漏算半圆直径$DC$这条铝合金边，导致周长表达式出错。解题时要先结合图形理清所有周长构成部分，再正确列出函数关系，结合二次函数性质求解即可。
【难度系数】
0.65
4.用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长$x(\mathrm{m})$与面积$y(\mathrm{m}^2)$满足函数关系$y=-(x-12)^2+144(0＜x＜24)$，那么该矩形面积的最大值为________。
答案
4.144 m²
解析
【分析】
要求矩形面积的最大值，本质是求给定二次函数在自变量取值范围内的最大值。首先观察函数解析式是顶点式$y=-(x-12)^2+144$，回忆二次函数顶点式的性质：当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，顶点处为函数最大值点。接下来验证顶点横坐标$x=12$是否在$0＜x＜24$的范围内，发现刚好符合，因此顶点的纵坐标就是面积的最大值。
【解析】
对于二次函数$y=-(x-12)^2+144$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值；
2. 该函数的顶点坐标为$(12,144)$，且$x=12$满足取值范围$0＜x＜24$；
3. 因此当$x=12$时，$y$取得最大值，最大值为$144\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$144\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数最值、二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数应用的基础题型，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式的性质，同时需要注意先判断顶点横坐标是否在自变量的取值范围内，再确定最值，避免直接套用顶点坐标出错。
【难度系数】
0.8
要求矩形面积的最大值，本质是求给定二次函数在自变量取值范围内的最大值。首先观察函数解析式是顶点式$y=-(x-12)^2+144$，回忆二次函数顶点式的性质：当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，顶点处为函数最大值点。接下来验证顶点横坐标$x=12$是否在$0＜x＜24$的范围内，发现刚好符合，因此顶点的纵坐标就是面积的最大值。
【解析】
对于二次函数$y=-(x-12)^2+144$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值；
2. 该函数的顶点坐标为$(12,144)$，且$x=12$满足取值范围$0＜x＜24$；
3. 因此当$x=12$时，$y$取得最大值，最大值为$144\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$144\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数最值、二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数应用的基础题型，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式的性质，同时需要注意先判断顶点横坐标是否在自变量的取值范围内，再确定最值，避免直接套用顶点坐标出错。
【难度系数】
0.8
5.如图，在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，点$P$从点$A$开始沿$AB$向$B$点以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动，点$Q$从点$B$开始沿$BC$向$C$点以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动。如果点$P,Q$分别从点$A,B$同时出发，当$△ PBQ$的面积最大时，运动时间$t$为
2 s
。答案
5.2 s
解析
【分析】
本题是动点结合二次函数求最值的问题，解题思路如下：第一步，根据点P、Q的运动速度和运动时间t，分别表示出直角△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；第二步，利用直角三角形面积公式写出△PBQ的面积关于t的二次函数表达式；第三步，结合二次函数的性质，在t的合理取值范围内求出面积最大时对应的t值即可。
【解析】
设运动时间为$ t\ \mathrm{s} $，$△ PBQ$的面积为$ S\ \mathrm{cm^2} $。
由题意得：$ AP=2t\ \mathrm{cm} $，$ BQ=t\ \mathrm{cm} $，
因为$ AB=8\ \mathrm{cm} $，所以$ PB=AB-AP=(8-2t)\ \mathrm{cm} $。
又因为$ ∠ B=90° $，根据直角三角形面积公式可得：
$ S=\frac{1}{2} × PB × BQ=\frac{1}{2}(8-2t)t $
整理得：$ S=-t^2+4t $，这是开口向下的二次函数，当$ t=-\frac{b}{2a} $时，$ S $取最大值，其中$ a=-1 $，$ b=4 $，代入得：
$ t=-\frac{4}{2×(-1)}=2 $
验证t的取值范围：由$ PB≥0 $得$ 8-2t≥0 $即$ t≤4 $；由$ t≥0 $，且Q运动到C点的最大时间为$ 6÷1=6\ \mathrm{s} $，因此t的取值范围是$ 0≤ t≤4 $，$ t=2 $在该范围内，符合要求。
【答案】
2 s
【知识点】
二次函数的最值，动点面积计算，直角三角形面积公式
【点评】
本题将动点问题和二次函数最值结合考查，解题关键是用含t的代数式正确表示三角形的边长，进而得到面积的函数表达式，再利用二次函数性质求解，注意要验证所求t是否符合实际运动的取值范围。
【难度系数】
0.7
本题是动点结合二次函数求最值的问题，解题思路如下：第一步，根据点P、Q的运动速度和运动时间t，分别表示出直角△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；第二步，利用直角三角形面积公式写出△PBQ的面积关于t的二次函数表达式；第三步，结合二次函数的性质，在t的合理取值范围内求出面积最大时对应的t值即可。
【解析】
设运动时间为$ t\ \mathrm{s} $，$△ PBQ$的面积为$ S\ \mathrm{cm^2} $。
由题意得：$ AP=2t\ \mathrm{cm} $，$ BQ=t\ \mathrm{cm} $，
因为$ AB=8\ \mathrm{cm} $，所以$ PB=AB-AP=(8-2t)\ \mathrm{cm} $。
又因为$ ∠ B=90° $，根据直角三角形面积公式可得：
$ S=\frac{1}{2} × PB × BQ=\frac{1}{2}(8-2t)t $
整理得：$ S=-t^2+4t $，这是开口向下的二次函数，当$ t=-\frac{b}{2a} $时，$ S $取最大值，其中$ a=-1 $，$ b=4 $，代入得：
$ t=-\frac{4}{2×(-1)}=2 $
验证t的取值范围：由$ PB≥0 $得$ 8-2t≥0 $即$ t≤4 $；由$ t≥0 $，且Q运动到C点的最大时间为$ 6÷1=6\ \mathrm{s} $，因此t的取值范围是$ 0≤ t≤4 $，$ t=2 $在该范围内，符合要求。
【答案】
2 s
【知识点】
二次函数的最值，动点面积计算，直角三角形面积公式
【点评】
本题将动点问题和二次函数最值结合考查，解题关键是用含t的代数式正确表示三角形的边长，进而得到面积的函数表达式，再利用二次函数性质求解，注意要验证所求t是否符合实际运动的取值范围。
【难度系数】
0.7
6.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门。已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室面积最大为
75 m²
。答案
6.75 m²
解析
【分析】
这是二次函数求实际最值的典型问题，解题思路如下：1. 设自变量，通常选垂直于现有墙的边长为x；2. 结合已知条件推导平行于墙的边长：因为3处门各宽1m，都不需要建墙体，所以含门位置的总墙长为可建墙体长度加3m门的总宽度，再减去3段垂直墙的总长度就能得到平行墙的边长；3. 根据矩形面积公式列面积关于x的二次函数；4. 利用开口向下的二次函数顶点为最大值点的性质，计算最大面积即可。
【解析】
解：设垂直于现有墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，饲养室总占地面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
已知可建墙体（不含门）总长为27m，3处门各宽1m，因此将门洞计入总墙长时，总长度为$ 27 + 3 × 1 = 30 \, \mathrm{m} $。
两间饲养室共3段垂直于现有墙的墙体，因此平行于现有墙的边长为$ (30 - 3x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=x(30-3x)\\&=-3x^2+30x\end{aligned}$
该二次函数中$ a=-3＜0 $，图象开口向下，存在最大值。
当$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-3)}=5 $时，$ S $取最大值，代入得：
$S=-3×5^2+30×5=75$
【答案】
$ 75 \, \mathrm{m}^2 $
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的最值，列代数式
【点评】
本题属于二次函数实际应用的常规题型，核心是准确梳理墙体长度的数量关系，正确列出函数表达式，再结合二次函数性质求解，解题时要注意门的宽度对总墙长的影响，避免漏算导致边长表达式错误。
【难度系数】
0.7
这是二次函数求实际最值的典型问题，解题思路如下：1. 设自变量，通常选垂直于现有墙的边长为x；2. 结合已知条件推导平行于墙的边长：因为3处门各宽1m，都不需要建墙体，所以含门位置的总墙长为可建墙体长度加3m门的总宽度，再减去3段垂直墙的总长度就能得到平行墙的边长；3. 根据矩形面积公式列面积关于x的二次函数；4. 利用开口向下的二次函数顶点为最大值点的性质，计算最大面积即可。
【解析】
解：设垂直于现有墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，饲养室总占地面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
已知可建墙体（不含门）总长为27m，3处门各宽1m，因此将门洞计入总墙长时，总长度为$ 27 + 3 × 1 = 30 \, \mathrm{m} $。
两间饲养室共3段垂直于现有墙的墙体，因此平行于现有墙的边长为$ (30 - 3x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=x(30-3x)\\&=-3x^2+30x\end{aligned}$
该二次函数中$ a=-3＜0 $，图象开口向下，存在最大值。
当$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-3)}=5 $时，$ S $取最大值，代入得：
$S=-3×5^2+30×5=75$
【答案】
$ 75 \, \mathrm{m}^2 $
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的最值，列代数式
【点评】
本题属于二次函数实际应用的常规题型，核心是准确梳理墙体长度的数量关系，正确列出函数表达式，再结合二次函数性质求解，解题时要注意门的宽度对总墙长的影响，避免漏算导致边长表达式错误。
【难度系数】
0.7
7.如图,已知二次函数$y=-x^2-2x$的图象与x轴交于点A,O,且在该图象上有一点P,满足$S_{△ AOP}=3$,则点P的坐标是(
A.$(-3,-3)$
B.$(-3,-3)$或$(-3,1)$
C.$(1,-3)$
D.$(-3,-3)$或$(1,-3)$
D
)。A.$(-3,-3)$
B.$(-3,-3)$或$(-3,1)$
C.$(1,-3)$
D.$(-3,-3)$或$(1,-3)$
答案
7.D
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先求出二次函数与x轴交点A的坐标，得到线段OA的长度；其次利用三角形面积公式求出点P纵坐标的绝对值；最后结合二次函数的最大值排除不符合题意的纵坐标值，将符合条件的纵坐标代入函数解析式求出对应的横坐标，即可得到点P的坐标。
【解析】
1. 求点A的坐标：
令二次函数$y=-x^2-2x$中$y=0$，即$-x^2-2x=0$，因式分解得$-x(x+2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$，因此点A坐标为$(-2,0)$，$OA=2$。
2. 求点P的纵坐标：
设点P的纵坐标为$y_P$，根据三角形面积公式$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA× |y_P|$，代入$S_{△ AOP}=3$、$OA=2$，得$\frac{1}{2}×2× |y_P|=3$，解得$|y_P|=3$，即$y_P=3$或$y_P=-3$。
3. 结合二次函数最值排除不符合的解：
将二次函数配方得$y=-(x+1)^2+1$，可知该函数最大值为1，因此$y_P=3$不符合题意，舍去，得$y_P=-3$。
4. 求点P的横坐标：
将$y=-3$代入$y=-x^2-2x$，得$-x^2-2x=-3$，整理为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$。
因此点P的坐标为$(-3,-3)$或$(1,-3)$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，三角形面积计算，解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数与几何的综合基础题，解题核心是通过面积关系确定点的纵坐标，再结合函数值域排除增解，代入解析式求解即可，做题时要注意考虑多解情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：首先求出二次函数与x轴交点A的坐标，得到线段OA的长度；其次利用三角形面积公式求出点P纵坐标的绝对值；最后结合二次函数的最大值排除不符合题意的纵坐标值，将符合条件的纵坐标代入函数解析式求出对应的横坐标，即可得到点P的坐标。
【解析】
1. 求点A的坐标：
令二次函数$y=-x^2-2x$中$y=0$，即$-x^2-2x=0$，因式分解得$-x(x+2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$，因此点A坐标为$(-2,0)$，$OA=2$。
2. 求点P的纵坐标：
设点P的纵坐标为$y_P$，根据三角形面积公式$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA× |y_P|$，代入$S_{△ AOP}=3$、$OA=2$，得$\frac{1}{2}×2× |y_P|=3$，解得$|y_P|=3$，即$y_P=3$或$y_P=-3$。
3. 结合二次函数最值排除不符合的解：
将二次函数配方得$y=-(x+1)^2+1$，可知该函数最大值为1，因此$y_P=3$不符合题意，舍去，得$y_P=-3$。
4. 求点P的横坐标：
将$y=-3$代入$y=-x^2-2x$，得$-x^2-2x=-3$，整理为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$。
因此点P的坐标为$(-3,-3)$或$(1,-3)$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，三角形面积计算，解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数与几何的综合基础题，解题核心是通过面积关系确定点的纵坐标，再结合函数值域排除增解，代入解析式求解即可，做题时要注意考虑多解情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
