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8.如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和BC分别在两直角边上。设$AB=x\ \mathrm{m}$,矩形的面积为$y\ \mathrm{m}^2$,要使矩形的面积最大,则$x$应为(
A.$\dfrac{25}{4}$
B.$6$
C.$15$
D.$\dfrac{5}{2}$
D
)。A.$\dfrac{25}{4}$
B.$6$
C.$15$
D.$\dfrac{5}{2}$
答案
8.D
解析
【分析】
本题是几何与二次函数结合的最值问题，解题思路如下：第一步，先根据矩形对边平行的性质，得到一对相似三角形；第二步，利用相似三角形对应边成比例，用含x的式子表示出矩形的另一条边长；第三步，根据矩形面积公式写出面积y关于x的二次函数解析式；第四步，利用二次函数求最值的公式，计算出面积最大时对应的x值即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，即AD//BN，
∴∠MAD=∠MBN=90°，
又
∵∠M是△MAD和△MBN的公共角，
∴△MAD∽△MBN。
由题意得：MB=5m，BN=12m，AB=x m，
∴MA=MB-AB=(5-x)m。
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{MA}{MB}=\frac{AD}{BN}$，
代入得：$\frac{5-x}{5}=\frac{AD}{12}$，
解得：$AD=\frac{12(5-x)}{5}$。
矩形的面积$y=AB· AD=x·\frac{12(5-x)}{5}$，
整理得：$y=-\frac{12}{5}x^2+12x$。
∵$a=-\frac{12}{5}＜0$，
∴该二次函数开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，y取最大值，
代入$a=-\frac{12}{5},b=12$得：
$x=-\frac{12}{2×(-\frac{12}{5})}=\frac{5}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质，二次函数的最值，二次函数的应用
【点评】
本题是典型的几何最值与二次函数结合的题型，解题的核心是通过相似三角形建立边长之间的关系，将几何面积最值问题转化为二次函数的最值问题求解，掌握相似的性质和二次函数求最值的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是几何与二次函数结合的最值问题，解题思路如下：第一步，先根据矩形对边平行的性质，得到一对相似三角形；第二步，利用相似三角形对应边成比例，用含x的式子表示出矩形的另一条边长；第三步，根据矩形面积公式写出面积y关于x的二次函数解析式；第四步，利用二次函数求最值的公式，计算出面积最大时对应的x值即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，即AD//BN，
∴∠MAD=∠MBN=90°，
又
∵∠M是△MAD和△MBN的公共角，
∴△MAD∽△MBN。
由题意得：MB=5m，BN=12m，AB=x m，
∴MA=MB-AB=(5-x)m。
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{MA}{MB}=\frac{AD}{BN}$，
代入得：$\frac{5-x}{5}=\frac{AD}{12}$，
解得：$AD=\frac{12(5-x)}{5}$。
矩形的面积$y=AB· AD=x·\frac{12(5-x)}{5}$，
整理得：$y=-\frac{12}{5}x^2+12x$。
∵$a=-\frac{12}{5}＜0$，
∴该二次函数开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，y取最大值，
代入$a=-\frac{12}{5},b=12$得：
$x=-\frac{12}{2×(-\frac{12}{5})}=\frac{5}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质，二次函数的最值，二次函数的应用
【点评】
本题是典型的几何最值与二次函数结合的题型，解题的核心是通过相似三角形建立边长之间的关系，将几何面积最值问题转化为二次函数的最值问题求解，掌握相似的性质和二次函数求最值的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
9.某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120 m。设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积。
答案
9.解:设花园的宽为 x m,则长为(120-3x) m,面积为 S m²。
由题意得 S=x(120-3x)
=-3x²+120x
=-3(x-20)²+1 200(0＜x＜120)。
∴当 x=20 时,S 有最大值,即花园面积的最大值为 1 200 m²。
由题意得 S=x(120-3x)
=-3x²+120x
=-3(x-20)²+1 200(0＜x＜120)。
∴当 x=20 时,S 有最大值,即花园面积的最大值为 1 200 m²。
解析
【分析】
本题是利用二次函数求解实际最值的问题，解题思路如下：首先观察图形明确篱笆的构成：共有3段垂直于墙面、1段平行于墙面，总长度为120m；其次设垂直于墙面的边长为自变量x，即可用含x的代数式表示出平行于墙面的边长；再根据矩形面积公式列出面积关于x的二次函数表达式；最后将函数化为顶点式，结合二次函数的开口方向即可求出最大值，注意自变量取值要符合实际意义。
【解析】
解：设垂直于墙的花园边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于墙的花园边长为$ (120-3x) \, \mathrm{m} $，设花园的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
根据题意列函数关系式：
$\begin{aligned}S&=x(120-3x)\\&=-3x^2+120x\\&=-3(x-20)^2+1200\end{aligned}$
其中自变量的取值范围为$ 0＜x＜40 $，$ x=20 $在取值范围内。
由于二次项系数$ -3＜0 $，函数图象开口向下，因此当$ x=20 $时，$ S $取得最大值，最大值为1200。
此时平行于墙的边长为$ 120-3×20=60 \, \mathrm{m} $。
【答案】
当花园垂直于墙的边长为20 m，平行于墙的边长为60 m时花园面积最大，最大面积为$ 1200 \, \mathrm{m}^2 $。
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的关键是准确梳理篱笆的长度关系，正确列出面积的函数表达式，结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意验证自变量的取值是否符合实际情况。
【难度系数】
0.7
本题是利用二次函数求解实际最值的问题，解题思路如下：首先观察图形明确篱笆的构成：共有3段垂直于墙面、1段平行于墙面，总长度为120m；其次设垂直于墙面的边长为自变量x，即可用含x的代数式表示出平行于墙面的边长；再根据矩形面积公式列出面积关于x的二次函数表达式；最后将函数化为顶点式，结合二次函数的开口方向即可求出最大值，注意自变量取值要符合实际意义。
【解析】
解：设垂直于墙的花园边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于墙的花园边长为$ (120-3x) \, \mathrm{m} $，设花园的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
根据题意列函数关系式：
$\begin{aligned}S&=x(120-3x)\\&=-3x^2+120x\\&=-3(x-20)^2+1200\end{aligned}$
其中自变量的取值范围为$ 0＜x＜40 $，$ x=20 $在取值范围内。
由于二次项系数$ -3＜0 $，函数图象开口向下，因此当$ x=20 $时，$ S $取得最大值，最大值为1200。
此时平行于墙的边长为$ 120-3×20=60 \, \mathrm{m} $。
【答案】
当花园垂直于墙的边长为20 m，平行于墙的边长为60 m时花园面积最大，最大面积为$ 1200 \, \mathrm{m}^2 $。
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的关键是准确梳理篱笆的长度关系，正确列出面积的函数表达式，结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意验证自变量的取值是否符合实际情况。
【难度系数】
0.7
10. 如图①, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ A = 90°$, $\frac{PQ}{PB} = \frac{3}{4}$, 点 $P$ 在线段 $AB$ 上运动, 点 $Q$, $R$ 分别在线段 $BC$, $AC$ 上, 且使得四边形 $APQR$ 是矩形。设 $AP$ 的长为 $x$, 矩形 $APQR$ 的面积为 $y$, 已知 $y$ 是 $x$ 的函数, 其图象是过点 $(12, 36)$ 的抛物线的一部分(如图②所示)。
(1) 求 $AB$ 的长。
(2) 当 $AP$ 为何值时, 矩形 $APQR$ 的面积最大? 并求出最大值。
(1) 求 $AB$ 的长。
(2) 当 $AP$ 为何值时, 矩形 $APQR$ 的面积最大? 并求出最大值。
答案
10.解:(1)
∵当 AP=12 时,AP·PQ=36,
∴PQ=3。
又
∵在 Rt△PBQ 中,$\frac{PQ}{PB}=\frac{3}{4}$,
∴PB=4,
∴AB=16。
(2)设 AP=x,则 PB=16-x,$PQ=\frac{3}{4}(16-x)$,
∴$y=\frac{3}{4}(16-x)x$,
整理得 $y=-\frac{3}{4}(x-8)^2+48$,
∴当 x=8 时,
矩形 APQR 的面积最大,$y_{最大值}=48$。
∵当 AP=12 时,AP·PQ=36,
∴PQ=3。
又
∵在 Rt△PBQ 中,$\frac{PQ}{PB}=\frac{3}{4}$,
∴PB=4,
∴AB=16。
(2)设 AP=x,则 PB=16-x,$PQ=\frac{3}{4}(16-x)$,
∴$y=\frac{3}{4}(16-x)x$,
整理得 $y=-\frac{3}{4}(x-8)^2+48$,
∴当 x=8 时,
矩形 APQR 的面积最大,$y_{最大值}=48$。
解析
【分析】
(1) 要求AB的长，已知AP=x，当x=12时矩形面积y=36，首先根据矩形面积=AP×PQ，可求出此时PQ的长度；再结合题中给出的$\frac{PQ}{PB}=\frac{3}{4}$的比例关系，求出PB的长度，最后根据AB=AP+PB即可算出结果。
(2) 要求矩形面积的最大值，首先设AP=x，用AB的长度表示出PB的长，再根据比例关系用含x的式子表示PQ的长度，根据矩形面积公式得到y关于x的二次函数关系式，再将二次函数配方为顶点式，即可求出最大值及对应的x的值。
【解析】
(1) 由题可知，当$AP=12$时，矩形$APQR$的面积$y=36$，
∵ 矩形面积$y=AP · PQ$，
∴ $12 × PQ = 36$，解得$PQ=3$。
又
∵ 在$Rt△ PBQ$中，$\frac{PQ}{PB}=\frac{3}{4}$，
∴ $PB = \frac{4}{3}PQ = \frac{4}{3} × 3 = 4$，
∴ $AB = AP + PB = 12 + 4 = 16$。
(2) 设$AP=x$，则$PB = AB - AP = 16 - x$，
由$\frac{PQ}{PB}=\frac{3}{4}$可得，$PQ = \frac{3}{4}PB = \frac{3}{4}(16 - x)$，
∴ 矩形面积$y = AP · PQ = x · \frac{3}{4}(16 - x)$，
整理得：$y = -\frac{3}{4}x^2 + 12x$，
配方得：$y = -\frac{3}{4}(x - 8)^2 + 48$，
∵ $-\frac{3}{4} ＜ 0$，抛物线开口向下，
∴ 当$x=8$时，$y$取得最大值，最大值为$48$。
【答案】
(1) $AB$的长为$\boxed{16}$；
(2) 当$AP=\boxed{8}$时，矩形$APQR$的面积最大，最大值为$\boxed{48}$。
【知识点】
二次函数的实际应用；矩形面积计算；二次函数的最值
【点评】
本题是几何与函数结合的基础综合题，需要先根据几何图形的线段比例关系推导得到面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，能很好地考查学生数形结合的能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要求AB的长，已知AP=x，当x=12时矩形面积y=36，首先根据矩形面积=AP×PQ，可求出此时PQ的长度；再结合题中给出的$\frac{PQ}{PB}=\frac{3}{4}$的比例关系，求出PB的长度，最后根据AB=AP+PB即可算出结果。
(2) 要求矩形面积的最大值，首先设AP=x，用AB的长度表示出PB的长，再根据比例关系用含x的式子表示PQ的长度，根据矩形面积公式得到y关于x的二次函数关系式，再将二次函数配方为顶点式，即可求出最大值及对应的x的值。
【解析】
(1) 由题可知，当$AP=12$时，矩形$APQR$的面积$y=36$，
∵ 矩形面积$y=AP · PQ$，
∴ $12 × PQ = 36$，解得$PQ=3$。
又
∵ 在$Rt△ PBQ$中，$\frac{PQ}{PB}=\frac{3}{4}$，
∴ $PB = \frac{4}{3}PQ = \frac{4}{3} × 3 = 4$，
∴ $AB = AP + PB = 12 + 4 = 16$。
(2) 设$AP=x$，则$PB = AB - AP = 16 - x$，
由$\frac{PQ}{PB}=\frac{3}{4}$可得，$PQ = \frac{3}{4}PB = \frac{3}{4}(16 - x)$，
∴ 矩形面积$y = AP · PQ = x · \frac{3}{4}(16 - x)$，
整理得：$y = -\frac{3}{4}x^2 + 12x$，
配方得：$y = -\frac{3}{4}(x - 8)^2 + 48$，
∵ $-\frac{3}{4} ＜ 0$，抛物线开口向下，
∴ 当$x=8$时，$y$取得最大值，最大值为$48$。
【答案】
(1) $AB$的长为$\boxed{16}$；
(2) 当$AP=\boxed{8}$时，矩形$APQR$的面积最大，最大值为$\boxed{48}$。
【知识点】
二次函数的实际应用；矩形面积计算；二次函数的最值
【点评】
本题是几何与函数结合的基础综合题，需要先根据几何图形的线段比例关系推导得到面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，能很好地考查学生数形结合的能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
