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7.顶点坐标为$(-3,0)$，且开口方向、形状与二次函数$y=3x^2$的图象相同的二次函数的表达式是(
A.$y=3(x-3)^2$
B.$y=3(x+3)^2$
C.$y=-3(x-3)^2$
D.$y=-3(x+3)^2$
B
)。A.$y=3(x-3)^2$
B.$y=3(x+3)^2$
C.$y=-3(x-3)^2$
D.$y=-3(x+3)^2$
答案
7.B
解析
【分析】
解题可按两步推进：①先确定二次项系数a的值：二次函数的开口方向、形状仅由二次项系数a决定，两个函数开口方向、形状相同说明二者a值相等，由此先锁定所求函数的a值，排除不符合的选项；②结合顶点坐标代入顶点式求解：二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$是顶点坐标，将已知顶点坐标代入即可得到函数表达式，代入时注意h的符号不要混淆。
【解析】
1. 确定二次项系数：
因为所求二次函数的开口方向、形状与$y=3x^2$完全相同，所以二次项系数$a=3$，可直接排除二次项系数为-3的C、D选项。
2. 代入顶点式计算：
二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标，已知顶点坐标为$(-3,0)$，即$h=-3$，$k=0$，将$a=3$、$h=-3$、$k=0$代入顶点式得：
$y=3[x-(-3)]^2+0=3(x+3)^2$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式；二次项系数的意义
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查顶点式的应用，解题关键是理解二次项系数对图象开口方向、形状的决定作用，掌握顶点式参数与顶点坐标的对应关系，注意代入顶点横坐标时不要弄错符号。
【难度系数】
0.8
解题可按两步推进：①先确定二次项系数a的值：二次函数的开口方向、形状仅由二次项系数a决定，两个函数开口方向、形状相同说明二者a值相等，由此先锁定所求函数的a值，排除不符合的选项；②结合顶点坐标代入顶点式求解：二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$是顶点坐标，将已知顶点坐标代入即可得到函数表达式，代入时注意h的符号不要混淆。
【解析】
1. 确定二次项系数：
因为所求二次函数的开口方向、形状与$y=3x^2$完全相同，所以二次项系数$a=3$，可直接排除二次项系数为-3的C、D选项。
2. 代入顶点式计算：
二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标，已知顶点坐标为$(-3,0)$，即$h=-3$，$k=0$，将$a=3$、$h=-3$、$k=0$代入顶点式得：
$y=3[x-(-3)]^2+0=3(x+3)^2$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式；二次项系数的意义
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查顶点式的应用，解题关键是理解二次项系数对图象开口方向、形状的决定作用，掌握顶点式参数与顶点坐标的对应关系，注意代入顶点横坐标时不要弄错符号。
【难度系数】
0.8
8.抛物线的函数表达式为$y=3(x-2)^2+1$，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为
$y=3(x-5)^2-1$
。答案
8.$y=3(x-5)^2-1$
解析
【分析】
解题时可以将坐标轴的平移转化为抛物线的反向平移，降低解题难度：①x轴向上平移2个单位，等价于抛物线在原坐标系中向下平移2个单位；②y轴向左平移3个单位，等价于抛物线在原坐标系中向右平移3个单位。再结合二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律，代入原解析式化简即可得到新坐标系下的函数表达式。
【解析】
解：将x轴向上平移2个单位，相当于抛物线向下平移2个单位；将y轴向左平移3个单位，相当于抛物线向右平移3个单位。
已知原抛物线解析式为$y=3(x-2)^2+1$，根据二次函数平移规律：
1. 向右平移3个单位，将解析式中$x$替换为$x-3$，得：$y=3(x-3-2)^2+1=3(x-5)^2+1$
2. 再向下平移2个单位，将解析式整体减2，得：$y=3(x-5)^2+1-2=3(x-5)^2-1$
【答案】
$y=3(x-5)^2-1$
【知识点】
二次函数平移规律，坐标平移转换，二次函数顶点式
【点评】
本题的易错点是容易混淆坐标轴平移和图像平移的方向，解题核心是将坐标轴的平移转化为函数图像的反向平移，再熟练运用二次函数平移的规律即可快速求解。
【难度系数】
0.6
解题时可以将坐标轴的平移转化为抛物线的反向平移，降低解题难度：①x轴向上平移2个单位，等价于抛物线在原坐标系中向下平移2个单位；②y轴向左平移3个单位，等价于抛物线在原坐标系中向右平移3个单位。再结合二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律，代入原解析式化简即可得到新坐标系下的函数表达式。
【解析】
解：将x轴向上平移2个单位，相当于抛物线向下平移2个单位；将y轴向左平移3个单位，相当于抛物线向右平移3个单位。
已知原抛物线解析式为$y=3(x-2)^2+1$，根据二次函数平移规律：
1. 向右平移3个单位，将解析式中$x$替换为$x-3$，得：$y=3(x-3-2)^2+1=3(x-5)^2+1$
2. 再向下平移2个单位，将解析式整体减2，得：$y=3(x-5)^2+1-2=3(x-5)^2-1$
【答案】
$y=3(x-5)^2-1$
【知识点】
二次函数平移规律，坐标平移转换，二次函数顶点式
【点评】
本题的易错点是容易混淆坐标轴平移和图像平移的方向，解题核心是将坐标轴的平移转化为函数图像的反向平移，再熟练运用二次函数平移的规律即可快速求解。
【难度系数】
0.6
9.已知点$A(4,y_1),B(\sqrt{2},y_2),C(-2,y_3)$都在二次函数$y=(x-2)^2$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是
$y_2＜y_1＜y_3$
。答案
9.$y_2＜y_1＜y_3$
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，有两种常用解题思路：思路一为代入求值法，直接将三个点的横坐标代入二次函数解析式，分别求出$y_1、y_2、y_3$的具体数值后比较大小，思路直接易懂；思路二为性质判断法，先确定二次函数的开口方向和对称轴，该函数开口向上，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，只需计算三个点横坐标到对称轴的距离即可快速比较$y$值大小，解题效率更高。
【解析】
方法一：代入求值法
将点$A(4,y_1)$代入$y=(x-2)^2$，得$y_1=(4-2)^2=4$；
将点$B(\sqrt{2},y_2)$代入$y=(x-2)^2$，得$y_2=(\sqrt{2}-2)^2=6-4\sqrt{2}\approx0.34$；
将点$C(-2,y_3)$代入$y=(x-2)^2$，得$y_3=(-2-2)^2=16$；
因为$0.34＜4＜16$，所以$y_2＜y_1＜y_3$。
方法二：二次函数性质比较法
二次函数$y=(x-2)^2$中$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$。
开口向上的抛物线上，点到对称轴的水平距离越大，对应的函数值越大。
计算各点横坐标到对称轴$x=2$的距离：
点A：$\vert4-2\vert=2$；
点B：$\vert\sqrt{2}-2\vert=2-\sqrt{2}\approx0.59$；
点C：$\vert-2-2\vert=4$；
因为$2-\sqrt{2}＜2＜4$，所以$y_2＜y_1＜y_3$。
【答案】
$y_2＜y_1＜y_3$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，实数大小比较
【点评】
本题是二次函数性质应用的基础题型，代入求值法思路直接易掌握，性质比较法解题更高效，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴等核心性质是快速求解此类题的关键。
【难度系数】
0.8
要比较三个点的函数值大小，有两种常用解题思路：思路一为代入求值法，直接将三个点的横坐标代入二次函数解析式，分别求出$y_1、y_2、y_3$的具体数值后比较大小，思路直接易懂；思路二为性质判断法，先确定二次函数的开口方向和对称轴，该函数开口向上，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，只需计算三个点横坐标到对称轴的距离即可快速比较$y$值大小，解题效率更高。
【解析】
方法一：代入求值法
将点$A(4,y_1)$代入$y=(x-2)^2$，得$y_1=(4-2)^2=4$；
将点$B(\sqrt{2},y_2)$代入$y=(x-2)^2$，得$y_2=(\sqrt{2}-2)^2=6-4\sqrt{2}\approx0.34$；
将点$C(-2,y_3)$代入$y=(x-2)^2$，得$y_3=(-2-2)^2=16$；
因为$0.34＜4＜16$，所以$y_2＜y_1＜y_3$。
方法二：二次函数性质比较法
二次函数$y=(x-2)^2$中$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$。
开口向上的抛物线上，点到对称轴的水平距离越大，对应的函数值越大。
计算各点横坐标到对称轴$x=2$的距离：
点A：$\vert4-2\vert=2$；
点B：$\vert\sqrt{2}-2\vert=2-\sqrt{2}\approx0.59$；
点C：$\vert-2-2\vert=4$；
因为$2-\sqrt{2}＜2＜4$，所以$y_2＜y_1＜y_3$。
【答案】
$y_2＜y_1＜y_3$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，实数大小比较
【点评】
本题是二次函数性质应用的基础题型，代入求值法思路直接易掌握，性质比较法解题更高效，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴等核心性质是快速求解此类题的关键。
【难度系数】
0.8
10.已知$P(m,a)$是二次函数$y=a(x-1)^2$图象上的点，且点$P$在第一象限内。
(1)求$m$的值；
(2)过$P$点作$PQ // x$轴交二次函数$y=a(x-1)^2$的图象于另一点$Q$，若$a$的值为3，试求$P$点、$Q$点及原点$O$围成的三角形的面积。
(1)求$m$的值；
(2)过$P$点作$PQ // x$轴交二次函数$y=a(x-1)^2$的图象于另一点$Q$，若$a$的值为3，试求$P$点、$Q$点及原点$O$围成的三角形的面积。
答案
10.解:(1)$\because$点$P(m,a)$是二次函数$y=a(x-1)^2$图象上的点，
$\therefore a=a(m-1)^2$，
解得$m=2$或$m=0$。
$\because$点$P$在第一象限内，$\therefore m=2$。
(2)$\because a$的值为3，
$\therefore$二次函数的表达式为$y=3(x-1)^2$。
$\because m=2,a=3$，
$\therefore$点$P$的坐标为$(2,3)$。
$\because PQ//x$轴且交二次函数$y=3(x-1)^2$的图象于另一点$Q$，
$\therefore 3=3(x-1)^2$，
解得$x=2$或$x=0$，
$\therefore$点$Q$的坐标为$(0,3)$，
$\therefore PQ=2$，$\therefore S_{△ PQO}=\frac{1}{2} × 3 × 2=3$。
$\therefore a=a(m-1)^2$，
解得$m=2$或$m=0$。
$\because$点$P$在第一象限内，$\therefore m=2$。
(2)$\because a$的值为3，
$\therefore$二次函数的表达式为$y=3(x-1)^2$。
$\because m=2,a=3$，
$\therefore$点$P$的坐标为$(2,3)$。
$\because PQ//x$轴且交二次函数$y=3(x-1)^2$的图象于另一点$Q$，
$\therefore 3=3(x-1)^2$，
解得$x=2$或$x=0$，
$\therefore$点$Q$的坐标为$(0,3)$，
$\therefore PQ=2$，$\therefore S_{△ PQO}=\frac{1}{2} × 3 × 2=3$。
解析
【分析】
（1）求解m的思路：首先利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点P(m,a)代入二次函数表达式得到关于m的方程，解方程得到m的两个可能值，再结合点P在第一象限（横坐标为正）的限制条件，筛选出正确的m值。
（2）求解三角形面积的思路：先将a=3代入二次函数表达式，结合第一问求出的m值确定点P的坐标；再根据PQ平行于x轴的性质，可知Q点纵坐标与P点相等，将纵坐标代入解析式求出Q点横坐标，得到Q点坐标；最后以PQ为底，P、Q两点的纵坐标为高，利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) $\because$点$P(m,a)$是二次函数$y=a(x-1)^2$图象上的点，
$\therefore$将点P坐标代入解析式得$a=a(m-1)^2$，
二次函数中$a\ne0$，等式两边同除以$a$得$(m-1)^2=1$，
解得$m=2$或$m=0$。
$\because$点$P$在第一象限内，横坐标$m＞0$，
$\therefore$舍去$m=0$，得$m=2$。
(2) $\because a$的值为3，
$\therefore$二次函数的表达式为$y=3(x-1)^2$。
$\because m=2,a=3$，
$\therefore$点$P$的坐标为$(2,3)$。
$\because PQ//x$轴且交二次函数$y=3(x-1)^2$的图象于另一点$Q$，
$\therefore Q$点纵坐标与P点相等，均为3，
将$y=3$代入解析式得$3=3(x-1)^2$，
解得$x=2$或$x=0$，
$x=2$对应点P，故点$Q$的坐标为$(0,3)$，
$\therefore PQ=\left|2-0\right|=2$，PQ边上的高为3，
$\therefore S_{△ PQO}=\frac{1}{2} × 3 × 2=3$。
【答案】
(1) $m=2$；(2) 三角形的面积为3
【知识点】
1. 二次函数点的坐标特征
2. 平行线的坐标性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考察函数图象与点坐标的对应关系，以及平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，只要掌握上述基础性质就能顺利解题，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
（1）求解m的思路：首先利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点P(m,a)代入二次函数表达式得到关于m的方程，解方程得到m的两个可能值，再结合点P在第一象限（横坐标为正）的限制条件，筛选出正确的m值。
（2）求解三角形面积的思路：先将a=3代入二次函数表达式，结合第一问求出的m值确定点P的坐标；再根据PQ平行于x轴的性质，可知Q点纵坐标与P点相等，将纵坐标代入解析式求出Q点横坐标，得到Q点坐标；最后以PQ为底，P、Q两点的纵坐标为高，利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) $\because$点$P(m,a)$是二次函数$y=a(x-1)^2$图象上的点，
$\therefore$将点P坐标代入解析式得$a=a(m-1)^2$，
二次函数中$a\ne0$，等式两边同除以$a$得$(m-1)^2=1$，
解得$m=2$或$m=0$。
$\because$点$P$在第一象限内，横坐标$m＞0$，
$\therefore$舍去$m=0$，得$m=2$。
(2) $\because a$的值为3，
$\therefore$二次函数的表达式为$y=3(x-1)^2$。
$\because m=2,a=3$，
$\therefore$点$P$的坐标为$(2,3)$。
$\because PQ//x$轴且交二次函数$y=3(x-1)^2$的图象于另一点$Q$，
$\therefore Q$点纵坐标与P点相等，均为3，
将$y=3$代入解析式得$3=3(x-1)^2$，
解得$x=2$或$x=0$，
$x=2$对应点P，故点$Q$的坐标为$(0,3)$，
$\therefore PQ=\left|2-0\right|=2$，PQ边上的高为3，
$\therefore S_{△ PQO}=\frac{1}{2} × 3 × 2=3$。
【答案】
(1) $m=2$；(2) 三角形的面积为3
【知识点】
1. 二次函数点的坐标特征
2. 平行线的坐标性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考察函数图象与点坐标的对应关系，以及平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，只要掌握上述基础性质就能顺利解题，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
11.如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16 m,AE=8 m,抛物线的顶点C到ED距离是11 m,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。
(1)求抛物线的表达式。
(2)已知从某时刻开始的40 h内,水面与河底ED的距离h(单位:m)随时间t(单位:h)的变化满足的函数关系式为$h=-\frac{1}{128}(t-19)^2 +8(0≤t≤40)$,且当水面到顶点C的距离不大于5 m时,需禁止船只通行。请通过计算说明:在这一时段内,需多长时间禁止船只通行?
(1)求抛物线的表达式。
(2)已知从某时刻开始的40 h内,水面与河底ED的距离h(单位:m)随时间t(单位:h)的变化满足的函数关系式为$h=-\frac{1}{128}(t-19)^2 +8(0≤t≤40)$,且当水面到顶点C的距离不大于5 m时,需禁止船只通行。请通过计算说明:在这一时段内,需多长时间禁止船只通行?
答案
11.解:(1)根据题意可得顶点$C$的坐标为$(0,11)$，点$B$的坐标为$(8,8)$，设该抛物线的表达式为$y=ax^2+c$，则$\begin{cases} a× 0 +c=11, \\ a× 8^2 +c=8, \end{cases}$
解得$a=-\frac{3}{64},c=11$。
故抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{64}x^2 +11$。
(2)令$-\frac{1}{128}(t-19)^2 +8=11-5$，
解得$t_1=3,t_2=35$。
由二次函数$h=-\frac{1}{128}(t-19)^2 +8(0≤ t≤ 40)$的图象变化可知，当$3≤ t≤ 35$时，水面到顶点$C$的距离不大于5 m，需禁止船只通行，禁止船只通行时间为$35-3=32(\mathrm{h})$。
故在这一时段内，需32 h禁止船只通行。
解得$a=-\frac{3}{64},c=11$。
故抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{64}x^2 +11$。
(2)令$-\frac{1}{128}(t-19)^2 +8=11-5$，
解得$t_1=3,t_2=35$。
由二次函数$h=-\frac{1}{128}(t-19)^2 +8(0≤ t≤ 40)$的图象变化可知，当$3≤ t≤ 35$时，水面到顶点$C$的距离不大于5 m，需禁止船只通行，禁止船只通行时间为$35-3=32(\mathrm{h})$。
故在这一时段内，需32 h禁止船只通行。
解析
【分析】
(1)求抛物线表达式时，首先观察到抛物线以y轴为对称轴，因此可设解析式为$y=ax^2+c$的形式。接下来确定已知点坐标：顶点C到ED（x轴）的距离是11m，故$C(0,11)$；ED总长16m，所以OD长8m，$AE=BD=8m$，故B点坐标为$(8,8)$。将两点代入解析式即可求解参数a、c。
(2)首先转化条件：水面到顶点C的距离不大于5m，即C的高度减去水面高度h≤5，代入C的高度11可得$h≥6$。将$h=6$代入给出的h与t的函数关系式，解出对应的t值，再结合该二次函数开口向下的性质，得到满足$h≥6$的t的取值范围，区间长度即为禁止通行的时长。
【解析】
(1)根据题意，抛物线顶点C的坐标为$(0,11)$，点B的坐标为$(8,8)$。
设抛物线的表达式为$y=ax^2+c$，代入两点坐标得：
$\begin{cases} a× 0 +c=11 \\ a× 8^2 +c=8 \end{cases}$
解得$a=-\frac{3}{64},c=11$，因此抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{64}x^2 +11$。
(2)当水面到顶点C的距离不大于5m时，水面高度$h≥11-5=6\ \mathrm{m}$。
令$h=6$，代入$h=-\frac{1}{128}(t-19)^2 +8$得：
$-\frac{1}{128}(t-19)^2 +8=6$
解得$t_1=3,t_2=35$。
由二次函数$h=-\frac{1}{128}(t-19)^2 +8(0≤ t≤ 40)$的图象开口向下可知，当$3≤ t≤ 35$时，$h≥6$，满足禁止通行的条件。
禁止通行时长为$35-3=32(\mathrm{h})$。
【答案】
(1)抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{3}{64}x^2 +11}$；
(2)需32 h禁止船只通行。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的图象与性质
【点评】
本题以生活中的拱桥通行问题为背景，将二次函数的知识和实际场景结合，既考查了二次函数解析式的基础求解方法，也考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题核心是准确理解题意中的数量关系。
【难度系数】
0.7
(1)求抛物线表达式时，首先观察到抛物线以y轴为对称轴，因此可设解析式为$y=ax^2+c$的形式。接下来确定已知点坐标：顶点C到ED（x轴）的距离是11m，故$C(0,11)$；ED总长16m，所以OD长8m，$AE=BD=8m$，故B点坐标为$(8,8)$。将两点代入解析式即可求解参数a、c。
(2)首先转化条件：水面到顶点C的距离不大于5m，即C的高度减去水面高度h≤5，代入C的高度11可得$h≥6$。将$h=6$代入给出的h与t的函数关系式，解出对应的t值，再结合该二次函数开口向下的性质，得到满足$h≥6$的t的取值范围，区间长度即为禁止通行的时长。
【解析】
(1)根据题意，抛物线顶点C的坐标为$(0,11)$，点B的坐标为$(8,8)$。
设抛物线的表达式为$y=ax^2+c$，代入两点坐标得：
$\begin{cases} a× 0 +c=11 \\ a× 8^2 +c=8 \end{cases}$
解得$a=-\frac{3}{64},c=11$，因此抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{64}x^2 +11$。
(2)当水面到顶点C的距离不大于5m时，水面高度$h≥11-5=6\ \mathrm{m}$。
令$h=6$，代入$h=-\frac{1}{128}(t-19)^2 +8$得：
$-\frac{1}{128}(t-19)^2 +8=6$
解得$t_1=3,t_2=35$。
由二次函数$h=-\frac{1}{128}(t-19)^2 +8(0≤ t≤ 40)$的图象开口向下可知，当$3≤ t≤ 35$时，$h≥6$，满足禁止通行的条件。
禁止通行时长为$35-3=32(\mathrm{h})$。
【答案】
(1)抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{3}{64}x^2 +11}$；
(2)需32 h禁止船只通行。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的图象与性质
【点评】
本题以生活中的拱桥通行问题为背景，将二次函数的知识和实际场景结合，既考查了二次函数解析式的基础求解方法，也考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题核心是准确理解题意中的数量关系。
【难度系数】
0.7
