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13. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x+2y=6-m, \\3x+2y=2。\end{cases}$若$x,y$满足$x+y＞3$，求$m$的取值范围。
答案
13. 将方程组中两个方程相加，得$4x+4y=8-m$，即$x+y=\dfrac{8-m}{4}$。因为$x+y＞3$，所以$\dfrac{8-m}{4}＞3$，解得$m＜-4$。
解析
【分析】
观察方程组中两个方程的系数特点，x的系数和为4，y的系数和也为4，因此无需分别求解x、y的值，可将两个方程直接相加，变形得到x+y关于m的表达式，再代入$x+y＞3$的不等式，解一元一次不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
将方程组的两个方程相加，得：
$x+2y+3x+2y = 6-m+2$
合并同类项得：$4x+4y = 8-m$
两边同时除以4，得：$x+y=\dfrac{8-m}{4}$
∵$x+y＞3$
∴$\dfrac{8-m}{4}＞3$
不等式两边同时乘4，得：$8-m＞12$
移项得：$-m＞12-8$
合并同类项得：$-m＞4$
系数化为1（不等号方向改变），得：$m＜-4$
【答案】
$m＜-4$
【知识点】
二元一次方程组的运算；解一元一次不等式；整体思想
【点评】
本题重点考察对二元一次方程组的灵活处理能力，运用整体思想可大幅简化计算过程，解题时需注意解不等式系数化为1时，若系数为负，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.7
观察方程组中两个方程的系数特点，x的系数和为4，y的系数和也为4，因此无需分别求解x、y的值，可将两个方程直接相加，变形得到x+y关于m的表达式，再代入$x+y＞3$的不等式，解一元一次不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
将方程组的两个方程相加，得：
$x+2y+3x+2y = 6-m+2$
合并同类项得：$4x+4y = 8-m$
两边同时除以4，得：$x+y=\dfrac{8-m}{4}$
∵$x+y＞3$
∴$\dfrac{8-m}{4}＞3$
不等式两边同时乘4，得：$8-m＞12$
移项得：$-m＞12-8$
合并同类项得：$-m＞4$
系数化为1（不等号方向改变），得：$m＜-4$
【答案】
$m＜-4$
【知识点】
二元一次方程组的运算；解一元一次不等式；整体思想
【点评】
本题重点考察对二元一次方程组的灵活处理能力，运用整体思想可大幅简化计算过程，解题时需注意解不等式系数化为1时，若系数为负，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.7
14. 已知不等式组$\begin{cases}2x - 3a ＜ 7b, \\6b - 3x ＜ 5a\end{cases}$的解集是$5 ＜ x ＜ 22$，求$a,b$的值。
答案
14. $a=3,b=5$。
解析
【分析】
解决本题的思路是：先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，用含a、b的代数式表示出x的取值范围；再结合题目给出的不等式组解集$5＜x＜22$，可得到关于a、b的二元一次方程组；最后解这个二元一次方程组即可求出a、b的值。
【解析】
首先解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$2x - 3a ＜ 7b$：
移项得$2x ＜ 3a + 7b$，
系数化为1得$x ＜ \frac{3a + 7b}{2}$。
2. 解不等式$6b - 3x ＜ 5a$：
移项得$-3x ＜ 5a - 6b$，
系数化为1（注意不等号方向改变）得$x ＞ \frac{6b - 5a}{3}$。
因为不等式组的解集是$5 ＜ x ＜ 22$，所以可得方程组：
$\begin{cases}\frac{6b - 5a}{3} = 5 \\\frac{3a + 7b}{2} = 22\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}6b - 5a = 15 \quad \mathrm{(①)} \\3a + 7b = 44 \quad \mathrm{(②)}\end{cases}$
用消元法解方程组：
①×3得：$18b - 15a = 45 \quad \mathrm{(③)}$
②×5得：$15a + 35b = 220 \quad \mathrm{(④)}$
③+④得：$53b = 265$，解得$b=5$。
把$b=5$代入①得：$6×5 - 5a =15$，即$30 -5a=15$，解得$a=3$。
【答案】
$a=3,b=5$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解法
2. 二元一次方程组的解法
3. 不等式组解集的确定
【点评】
本题属于不等式与方程组的综合基础题，解题的关键是正确求解含参数的不等式，再根据解集对应相等建立方程组，求解时要注意不等式两边同时乘除负数时，不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路是：先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，用含a、b的代数式表示出x的取值范围；再结合题目给出的不等式组解集$5＜x＜22$，可得到关于a、b的二元一次方程组；最后解这个二元一次方程组即可求出a、b的值。
【解析】
首先解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$2x - 3a ＜ 7b$：
移项得$2x ＜ 3a + 7b$，
系数化为1得$x ＜ \frac{3a + 7b}{2}$。
2. 解不等式$6b - 3x ＜ 5a$：
移项得$-3x ＜ 5a - 6b$，
系数化为1（注意不等号方向改变）得$x ＞ \frac{6b - 5a}{3}$。
因为不等式组的解集是$5 ＜ x ＜ 22$，所以可得方程组：
$\begin{cases}\frac{6b - 5a}{3} = 5 \\\frac{3a + 7b}{2} = 22\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}6b - 5a = 15 \quad \mathrm{(①)} \\3a + 7b = 44 \quad \mathrm{(②)}\end{cases}$
用消元法解方程组：
①×3得：$18b - 15a = 45 \quad \mathrm{(③)}$
②×5得：$15a + 35b = 220 \quad \mathrm{(④)}$
③+④得：$53b = 265$，解得$b=5$。
把$b=5$代入①得：$6×5 - 5a =15$，即$30 -5a=15$，解得$a=3$。
【答案】
$a=3,b=5$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解法
2. 二元一次方程组的解法
3. 不等式组解集的确定
【点评】
本题属于不等式与方程组的综合基础题，解题的关键是正确求解含参数的不等式，再根据解集对应相等建立方程组，求解时要注意不等式两边同时乘除负数时，不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.7
15. 先阅读短文，然后解答短文后的问题：
我们规定，$\min\{a,b,c\}$表示数$a,b,c$中最小的数，$\max\{a,b,c\}$表示数$a,b,c$中最大的数。例如，$\min\{-1,2,3\}=-1$，$\max\{-1,2,3\}=3$。对于三个数$-1,2,a$，当$a≤ -1$时，$\min\{-1,2,a\}=a$；当$a＞ -1$时，$\min\{-1,2,a\}=-1$。
(1) $\min\{-2,-3,-5\}=$
(2) 请在下列两小问中选择一道题解决。
基础题：若$\max\{2,2x -1,-3x\}=-3x$，求$x$的取值范围。
拓展题：若$\max\{3x,-x^2 +3x -1,3x -2\}=\min\{-2,2x -4,x^2 +1\}$，求$x$的值。
我们规定，$\min\{a,b,c\}$表示数$a,b,c$中最小的数，$\max\{a,b,c\}$表示数$a,b,c$中最大的数。例如，$\min\{-1,2,3\}=-1$，$\max\{-1,2,3\}=3$。对于三个数$-1,2,a$，当$a≤ -1$时，$\min\{-1,2,a\}=a$；当$a＞ -1$时，$\min\{-1,2,a\}=-1$。
(1) $\min\{-2,-3,-5\}=$
$-5$
，$\max\{2,x^2 +4,x^2\}=$$x^2+4$
。(2) 请在下列两小问中选择一道题解决。
基础题：若$\max\{2,2x -1,-3x\}=-3x$，求$x$的取值范围。
拓展题：若$\max\{3x,-x^2 +3x -1,3x -2\}=\min\{-2,2x -4,x^2 +1\}$，求$x$的值。
答案
15. (1) 因为$-2＞-3＞-5$，所以$\min\{-2,-3,-5\}=-5$。因为$x^2+4＞x^2$，$x^2+4＞2$，所以$\max\{2,x^2+4,x^2\}=x^2+4$。
(2) 基础题：因为$\max\{2,2x-1,-3x\}=-3x$，所以$\begin{cases}-3x≥2,\\-3x≥2x-1,\end{cases}$解得$x≤-\dfrac{2}{3}$。
拓展题：因为$\max\{3x,-x^2+3x-1,3x-2\}=3x$，
$\min\{-2,x^2+1,2x-4\}=\begin{cases}-2 \ \ \ (x＞1),\\2x-4 \ (x≤1)。\end{cases}$
当$-2$最小时，此时$x＞1$。根据题意，$3x=-2$，解得$x=-\dfrac{2}{3}$(舍去)；
当$2x-4$最小时，此时$x≤1$，根据题意，$3x=2x-4$，解得$x=-4$。
综上所述，$x$的值为$-4$。
(2) 基础题：因为$\max\{2,2x-1,-3x\}=-3x$，所以$\begin{cases}-3x≥2,\\-3x≥2x-1,\end{cases}$解得$x≤-\dfrac{2}{3}$。
拓展题：因为$\max\{3x,-x^2+3x-1,3x-2\}=3x$，
$\min\{-2,x^2+1,2x-4\}=\begin{cases}-2 \ \ \ (x＞1),\\2x-4 \ (x≤1)。\end{cases}$
当$-2$最小时，此时$x＞1$。根据题意，$3x=-2$，解得$x=-\dfrac{2}{3}$(舍去)；
当$2x-4$最小时，此时$x≤1$，根据题意，$3x=2x-4$，解得$x=-4$。
综上所述，$x$的值为$-4$。
解析
【分析】
本题是新定义类题型，解题首先要准确理解$\min\{a,b,c\}$表示三个数中的最小值，$\max\{a,b,c\}$表示三个数中的最大值。
(1) 第一空直接比较三个负数的大小，找出最小的数即可；第二空利用$x^2$的非负性，可判断$x^2+4$始终大于$x^2$和2，即可确定最大值。
(2) 基础题：已知最大值是$-3x$，说明$-3x$大于等于另外两个数2和$2x-1$，据此列一元一次不等式组求解即可。
拓展题：先分别确定左右两边表达式的结果：左边三个数中$3x$为最大值，右边的最小值只需比较$-2$和$2x-4$，分两种情况讨论，令左边的最大值等于右边的最小值，求解后检验是否符合对应情况的取值范围即可。
【解析】
(1) 比较$-2,-3,-5$的大小：$-5＜-3＜-2$，因此三个数的最小值是$-5$，即$\min\{-2,-3,-5\}=-5$；
因为$x^2≥0$，所以$x^2+4≥4＞2$，且$x^2+4＞x^2$，因此三个数的最大值是$x^2+4$，即$\max\{2,x^2 +4,x^2\}=x^2+4$。
(2) 基础题：
因为$\max\{2,2x -1,-3x\}=-3x$，说明$-3x$是三个数中最大的，因此可得不等式组：
$\begin{cases}-3x≥2 \\-3x≥2x-1 \end{cases}$
解第一个不等式：$-3x≥2$，得$x≤-\frac{2}{3}$；
解第二个不等式：$-5x≥-1$，得$x≤\frac{1}{5}$；
取两个解集的公共部分，得$x≤-\frac{2}{3}$。
拓展题：
先求左边的最大值：
因为$3x-(3x-2)=2＞0$，所以$3x＞3x-2$；
又$3x-(-x^2+3x-1)=x^2+1＞0$，所以$3x＞-x^2+3x-1$，因此$\max\{3x,-x^2 +3x -1,3x -2\}=3x$。
再求右边的最小值：
因为$x^2+1≥1$，所以最小值只需要比较$-2$和$2x-4$：
当$2x-4＞-2$即$x＞1$时，$\min\{-2,2x -4,x^2 +1\}=-2$；
当$2x-4≤-2$即$x≤1$时，$\min\{-2,2x -4,x^2 +1\}=2x-4$。
根据题意分情况求解：
① 当$x＞1$时，$3x=-2$，解得$x=-\frac{2}{3}$，不符合$x＞1$的条件，舍去；
② 当$x≤1$时，$3x=2x-4$，解得$x=-4$，符合$x≤1$的条件。
综上，$x$的值为$-4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；$\boldsymbol{x^2+4}$
(2) 基础题：$\boldsymbol{x≤-\dfrac{2}{3}}$；拓展题：$\boldsymbol{x=-4}$
【知识点】
新定义运算，实数大小比较，一元一次不等式（组）的应用
【点评】
本题属于新定义题型，核心考查对新规则的理解和转化能力，解题的关键是将min、max的取值要求转化为不等式（组）问题，拓展题还需要用到分类讨论思想，注意求解后要检验结果是否符合分类的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
本题是新定义类题型，解题首先要准确理解$\min\{a,b,c\}$表示三个数中的最小值，$\max\{a,b,c\}$表示三个数中的最大值。
(1) 第一空直接比较三个负数的大小，找出最小的数即可；第二空利用$x^2$的非负性，可判断$x^2+4$始终大于$x^2$和2，即可确定最大值。
(2) 基础题：已知最大值是$-3x$，说明$-3x$大于等于另外两个数2和$2x-1$，据此列一元一次不等式组求解即可。
拓展题：先分别确定左右两边表达式的结果：左边三个数中$3x$为最大值，右边的最小值只需比较$-2$和$2x-4$，分两种情况讨论，令左边的最大值等于右边的最小值，求解后检验是否符合对应情况的取值范围即可。
【解析】
(1) 比较$-2,-3,-5$的大小：$-5＜-3＜-2$，因此三个数的最小值是$-5$，即$\min\{-2,-3,-5\}=-5$；
因为$x^2≥0$，所以$x^2+4≥4＞2$，且$x^2+4＞x^2$，因此三个数的最大值是$x^2+4$，即$\max\{2,x^2 +4,x^2\}=x^2+4$。
(2) 基础题：
因为$\max\{2,2x -1,-3x\}=-3x$，说明$-3x$是三个数中最大的，因此可得不等式组：
$\begin{cases}-3x≥2 \\-3x≥2x-1 \end{cases}$
解第一个不等式：$-3x≥2$，得$x≤-\frac{2}{3}$；
解第二个不等式：$-5x≥-1$，得$x≤\frac{1}{5}$；
取两个解集的公共部分，得$x≤-\frac{2}{3}$。
拓展题：
先求左边的最大值：
因为$3x-(3x-2)=2＞0$，所以$3x＞3x-2$；
又$3x-(-x^2+3x-1)=x^2+1＞0$，所以$3x＞-x^2+3x-1$，因此$\max\{3x,-x^2 +3x -1,3x -2\}=3x$。
再求右边的最小值：
因为$x^2+1≥1$，所以最小值只需要比较$-2$和$2x-4$：
当$2x-4＞-2$即$x＞1$时，$\min\{-2,2x -4,x^2 +1\}=-2$；
当$2x-4≤-2$即$x≤1$时，$\min\{-2,2x -4,x^2 +1\}=2x-4$。
根据题意分情况求解：
① 当$x＞1$时，$3x=-2$，解得$x=-\frac{2}{3}$，不符合$x＞1$的条件，舍去；
② 当$x≤1$时，$3x=2x-4$，解得$x=-4$，符合$x≤1$的条件。
综上，$x$的值为$-4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；$\boldsymbol{x^2+4}$
(2) 基础题：$\boldsymbol{x≤-\dfrac{2}{3}}$；拓展题：$\boldsymbol{x=-4}$
【知识点】
新定义运算，实数大小比较，一元一次不等式（组）的应用
【点评】
本题属于新定义题型，核心考查对新规则的理解和转化能力，解题的关键是将min、max的取值要求转化为不等式（组）问题，拓展题还需要用到分类讨论思想，注意求解后要检验结果是否符合分类的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
