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9. 解下列一元一次不等式组：
（1）$\begin{cases}2x + 4 ＜ 0, \\ \dfrac{1}{2}(x + 8) - 2 ＞ 0;\end{cases}$
（2）$0 ≤ 76 - 5(x - 1) ＜ 5$。
（1）$\begin{cases}2x + 4 ＜ 0, \\ \dfrac{1}{2}(x + 8) - 2 ＞ 0;\end{cases}$
（2）$0 ≤ 76 - 5(x - 1) ＜ 5$。
答案
9. (1) $-4＜x＜-2$ (2) $\dfrac{76}{5}＜x≤\dfrac{81}{5}$
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是：先分别求出组中每个一元一次不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”的口诀，或借助数轴找出各个解集的公共部分，即为不等式组的解集。对于连写形式的不等式，可以拆分为两个独立的不等式组成的组求解，也可以直接对三边同步变形求解，注意乘除负数时不等号方向要改变。
（1）先分别解两个一元一次不等式，再找公共解集即可；
（2）对连写不等式三边同步变形，注意不等号方向的变化，最终得出x的取值范围。
【解析】
（1）解不等式组$\begin{cases}2x + 4 ＜ 0 \quad①\\ \dfrac{1}{2}(x + 8) - 2 ＞ 0 \quad②\end{cases}$
解不等式①：
移项得$2x ＜ -4$，
两边同时除以2得$x ＜ -2$；
解不等式②：
移项得$\dfrac{1}{2}(x+8) ＞ 2$，
两边同时乘2得$x+8 ＞ 4$，
移项得$x ＞ 4-8$，即$x ＞ -4$；
两个解集的公共部分为$-4 ＜ x ＜ -2$。
（2）解不等式$0 ≤ 76 - 5(x - 1) ＜ 5$
先化简中间的代数式：$76-5(x-1)=76-5x+5=81-5x$，
原不等式变形为$0 ≤ 81 -5x ＜ 5$，
三边同时减去81得：$-81 ≤ -5x ＜ -76$，
三边同时除以$-5$（不等号方向全部改变）得：$\dfrac{81}{5} ≥ x ＞ \dfrac{76}{5}$，
即$\dfrac{76}{5} ＜ x ≤ \dfrac{81}{5}$。
【答案】
（1）$-4＜x＜-2$；（2）$\dfrac{76}{5}＜x≤\dfrac{81}{5}$
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次不等式组求解的基础题型，重点考查解一元一次不等式的步骤和不等式组解集的确定方法，解题时要注意：当不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是此类题的易错点。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的核心思路是：先分别求出组中每个一元一次不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”的口诀，或借助数轴找出各个解集的公共部分，即为不等式组的解集。对于连写形式的不等式，可以拆分为两个独立的不等式组成的组求解，也可以直接对三边同步变形求解，注意乘除负数时不等号方向要改变。
（1）先分别解两个一元一次不等式，再找公共解集即可；
（2）对连写不等式三边同步变形，注意不等号方向的变化，最终得出x的取值范围。
【解析】
（1）解不等式组$\begin{cases}2x + 4 ＜ 0 \quad①\\ \dfrac{1}{2}(x + 8) - 2 ＞ 0 \quad②\end{cases}$
解不等式①：
移项得$2x ＜ -4$，
两边同时除以2得$x ＜ -2$；
解不等式②：
移项得$\dfrac{1}{2}(x+8) ＞ 2$，
两边同时乘2得$x+8 ＞ 4$，
移项得$x ＞ 4-8$，即$x ＞ -4$；
两个解集的公共部分为$-4 ＜ x ＜ -2$。
（2）解不等式$0 ≤ 76 - 5(x - 1) ＜ 5$
先化简中间的代数式：$76-5(x-1)=76-5x+5=81-5x$，
原不等式变形为$0 ≤ 81 -5x ＜ 5$，
三边同时减去81得：$-81 ≤ -5x ＜ -76$，
三边同时除以$-5$（不等号方向全部改变）得：$\dfrac{81}{5} ≥ x ＞ \dfrac{76}{5}$，
即$\dfrac{76}{5} ＜ x ≤ \dfrac{81}{5}$。
【答案】
（1）$-4＜x＜-2$；（2）$\dfrac{76}{5}＜x≤\dfrac{81}{5}$
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次不等式组求解的基础题型，重点考查解一元一次不等式的步骤和不等式组解集的确定方法，解题时要注意：当不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是此类题的易错点。
【难度系数】
0.8
10. 请你写出一个满足不等式$2x - 1 ＜ 6$的正整数$x$的值：
答案不唯一，如2
。答案
10. 答案不唯一，如2
解析
【分析】
解题时首先需要求解一元一次不等式$2x - 1 ＜ 6$，得出$x$的取值范围，再结合题目要求的“正整数”这一限制条件，在取值范围内选取任意一个符合要求的正整数即可。
【解析】
解不等式$2x - 1 ＜ 6$：
第一步，移项，将常数项移到不等号右侧，得$2x ＜ 6 + 1$，即$2x ＜ 7$；
第二步，系数化为1，不等号两侧同时除以2，得$x ＜ 3.5$；
小于3.5的正整数有1、2、3，任选其一填入即可。
【答案】
答案不唯一，如2
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 正整数的概念
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是正确求解不等式的解集，同时注意题干中的限制条件，避免因忽略“正整数”要求错填非正整数或者超出解集的数。
【难度系数】
0.9
解题时首先需要求解一元一次不等式$2x - 1 ＜ 6$，得出$x$的取值范围，再结合题目要求的“正整数”这一限制条件，在取值范围内选取任意一个符合要求的正整数即可。
【解析】
解不等式$2x - 1 ＜ 6$：
第一步，移项，将常数项移到不等号右侧，得$2x ＜ 6 + 1$，即$2x ＜ 7$；
第二步，系数化为1，不等号两侧同时除以2，得$x ＜ 3.5$；
小于3.5的正整数有1、2、3，任选其一填入即可。
【答案】
答案不唯一，如2
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 正整数的概念
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是正确求解不等式的解集，同时注意题干中的限制条件，避免因忽略“正整数”要求错填非正整数或者超出解集的数。
【难度系数】
0.9
11. 已知关于$ x $的不等式$ 2x + a ≤ 1 $只有两个正整数解，则$ a $的取值范围为(
A.$-5 ＜ a ＜ -3$
B.$-5 ≤ a ＜ -3$
C.$-5 ＜ a ≤ -3$
D.$-5 ≤ a ≤ -3$
C
)。A.$-5 ＜ a ＜ -3$
B.$-5 ≤ a ＜ -3$
C.$-5 ＜ a ≤ -3$
D.$-5 ≤ a ≤ -3$
答案
11. C
解析
【分析】
首先解关于x的一元一次不等式，用含a的式子表示出x的解集；再根据不等式只有两个正整数解，确定这两个正整数解为1和2，由此得到解集边界的取值范围；最后解关于a的不等式组即可得到a的取值范围，注意判断不等号是否包含等号。
【解析】
第一步：解不等式$2x + a ≤ 1$
移项得：$2x ≤ 1 - a$
两边同时除以2得：$x ≤ \frac{1 - a}{2}$
第二步：确定正整数解对应的边界范围
因为不等式只有两个正整数解，所以这两个正整数解只能是最小的两个正整数1、2。
由此可得边界$\frac{1 - a}{2}$的取值范围为：$2 ≤ \frac{1 - a}{2} ＜ 3$
（若$\frac{1 - a}{2} ＜ 2$，则仅存在1个正整数解1；若$\frac{1 - a}{2} ≥ 3$，则存在3个正整数解1、2、3，均不符合题意）
第三步：解关于a的不等式组
三边同时乘2得：$4 ≤ 1 - a ＜ 6$
三边同时减1得：$3 ≤ -a ＜ 5$
三边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$-5 ＜ a ≤ -3$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式求解，不等式的整数解，不等式的性质
【点评】
本题属于含参数的一元一次不等式的整数解问题，解题核心是先求出含参数的解集，再结合整数解的个数确定边界的取值范围，易错点是判断边界是否包含等号，需要结合题意验证避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
首先解关于x的一元一次不等式，用含a的式子表示出x的解集；再根据不等式只有两个正整数解，确定这两个正整数解为1和2，由此得到解集边界的取值范围；最后解关于a的不等式组即可得到a的取值范围，注意判断不等号是否包含等号。
【解析】
第一步：解不等式$2x + a ≤ 1$
移项得：$2x ≤ 1 - a$
两边同时除以2得：$x ≤ \frac{1 - a}{2}$
第二步：确定正整数解对应的边界范围
因为不等式只有两个正整数解，所以这两个正整数解只能是最小的两个正整数1、2。
由此可得边界$\frac{1 - a}{2}$的取值范围为：$2 ≤ \frac{1 - a}{2} ＜ 3$
（若$\frac{1 - a}{2} ＜ 2$，则仅存在1个正整数解1；若$\frac{1 - a}{2} ≥ 3$，则存在3个正整数解1、2、3，均不符合题意）
第三步：解关于a的不等式组
三边同时乘2得：$4 ≤ 1 - a ＜ 6$
三边同时减1得：$3 ≤ -a ＜ 5$
三边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$-5 ＜ a ≤ -3$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式求解，不等式的整数解，不等式的性质
【点评】
本题属于含参数的一元一次不等式的整数解问题，解题核心是先求出含参数的解集，再结合整数解的个数确定边界的取值范围，易错点是判断边界是否包含等号，需要结合题意验证避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
12. 某市电力部门实行两种电费计价方法，如下表：
如果小林家上月总用电量为140千瓦时，那么当“峰电”用量在什么范围时，使用“峰谷电”比较合算？
如果小林家上月总用电量为140千瓦时，那么当“峰电”用量在什么范围时，使用“峰谷电”比较合算？
答案
12. 设小林家每月“峰电”用电量为$x$千瓦时，则$0.56x+0.28(140-x)＜0.53×140$，解得$x＜125$。即当“峰电”用电量小于125千瓦时时使用“峰谷电”比较合算。
解析
【分析】
解题首先要明确“使用峰谷电比较合算”的本质是：使用峰谷电的总电费低于使用非峰谷电的总电费。我们可以设“峰电”用量为x千瓦时，那么“谷电”用量就是总用电量减去峰电用量，分别表示出两种计费方式的总费用后，根据“峰谷电总费用＜非峰谷电总费用”的不等关系列一元一次不等式，求解不等式即可得到峰电用量的范围。
【解析】
解：设小林家上月“峰电”用电量为$x$千瓦时，则“谷电”用电量为$(140-x)$千瓦时。
使用“峰谷电”的总费用为：$0.56x + 0.28(140-x)$
使用非“峰谷电”的总费用为：$0.53 × 140 = 74.2$元
根据使用“峰谷电”合算的要求列不等式：
$0.56x + 0.28(140-x) ＜ 74.2$
展开整理不等式左边：
$0.28x + 39.2 ＜ 74.2$
移项计算得：
$0.28x ＜ 35$
解得：$x ＜ 125$
结合用电量非负的实际要求，峰电用量范围为$0≤ x＜125$。
【答案】
当“峰电”用电量小于125千瓦时时，使用“峰谷电”比较合算。
【知识点】
1.一元一次不等式的应用
2.方案选择问题
【点评】
本题结合生活中常见的电费计价场景命题，解题核心是抓住“合算”对应的不等关系，将实际问题转化为数学不等式求解，能够锻炼学生用数学知识解决实际生活问题的能力。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确“使用峰谷电比较合算”的本质是：使用峰谷电的总电费低于使用非峰谷电的总电费。我们可以设“峰电”用量为x千瓦时，那么“谷电”用量就是总用电量减去峰电用量，分别表示出两种计费方式的总费用后，根据“峰谷电总费用＜非峰谷电总费用”的不等关系列一元一次不等式，求解不等式即可得到峰电用量的范围。
【解析】
解：设小林家上月“峰电”用电量为$x$千瓦时，则“谷电”用电量为$(140-x)$千瓦时。
使用“峰谷电”的总费用为：$0.56x + 0.28(140-x)$
使用非“峰谷电”的总费用为：$0.53 × 140 = 74.2$元
根据使用“峰谷电”合算的要求列不等式：
$0.56x + 0.28(140-x) ＜ 74.2$
展开整理不等式左边：
$0.28x + 39.2 ＜ 74.2$
移项计算得：
$0.28x ＜ 35$
解得：$x ＜ 125$
结合用电量非负的实际要求，峰电用量范围为$0≤ x＜125$。
【答案】
当“峰电”用电量小于125千瓦时时，使用“峰谷电”比较合算。
【知识点】
1.一元一次不等式的应用
2.方案选择问题
【点评】
本题结合生活中常见的电费计价场景命题，解题核心是抓住“合算”对应的不等关系，将实际问题转化为数学不等式求解，能够锻炼学生用数学知识解决实际生活问题的能力。
【难度系数】
0.8
