2. 如图，在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$，$F$ 分别是边 $AD$，$AB$ 的中点，$EF$ 交 $AC$ 于点 $H$，则 $\frac{AH}{HC}$ 的值为()

A.$1$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$

C

在平行四边形$ABCD$中，对角线$AC$、$BD$交于点$O$，则$O$为$AC$中点，即$AO = \frac{1}{2}AC$。
$E$、$F$分别为$AD$、$AB$中点，连接$EF$，则$EF$是$\triangle ABD$的中位线，故$EF // BD$。
连接$EO$，$E$为$AD$中点，$O$为$AC$中点，所以$EO$是$\triangle ADC$的中位线，得$EO // DC$且$EO = \frac{1}{2}DC$。
因为$ABCD$是平行四边形，所以$AB // DC$且$AB = DC$，则$EO // AB$且$EO = \frac{1}{2}AB$。
又$F$为$AB$中点，所以$AF = \frac{1}{2}AB$，即$AF = EO$。
因此，四边形$AFEO$是平行四边形，故$AH = HO$。
因为$AO = \frac{1}{2}AC$，所以$AH = \frac{1}{2}AO = \frac{1}{4}AC$，$HC = AC - AH = \frac{3}{4}AC$。
则$\frac{AH}{HC} = \frac{\frac{1}{4}AC}{\frac{3}{4}AC} = \frac{1}{3}$。

3. 如图，在等边 $\triangle ABC$ 中，点 $D$，$E$ 分别在 $AC$，$AB$ 边上，且 $\frac{AD}{AC} = \frac{1}{3}$，$AE = BE$，则有()

A.$\triangle AED\backsim\triangle BED$
B.$\triangle AED\backsim\triangle CBD$
C.$\triangle AED\backsim\triangle ABD$
D.$\triangle BAD\backsim\triangle BCD$

B

设等边△ABC边长为3a，则AC=AB=BC=3a。
∵AD/AC=1/3，∴AD=a，DC=AC-AD=2a。
∵AE=BE，∴AE=BE=AB/2=3a/2。
选项B：△AED∽△CBD
在△AED与△CBD中：
∠A=∠C=60°（等边三角形内角）。
AE/CB=(3a/2)/3a=1/2，AD/CD=a/2a=1/2。
∴AE/CB=AD/CD，且夹角∠A=∠C。
由两边对应成比例且夹角相等，得△AED∽△CBD。

4. $\triangle ABO$ 的顶点坐标分别为 $A(-3,3)$，$B(3,3)$，$O(0,0)$. 试将 $\triangle ABO$ 缩小为 $\triangle A'B'O$，使 $\triangle A'B'O$ 与 $\triangle ABO$ 的位似比为 $1:2$，且 $A$ 与 $A'$ 在 $O$ 点同侧. 则 $A'$ 点的坐标为，$B'$ 点的坐标为.

(-1.5,1.5)，(1.5,1.5)

因为位似中心为O，位似比为1:2，且A与A'在O点同侧，所以A'坐标为A坐标乘以1/2，即(-3×1/2, 3×1/2)=(-1.5,1.5)；同理B'坐标为(3×1/2, 3×1/2)=(1.5,1.5)。

5. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何.”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得.设井深为 $x$ 尺，可列方程.(注：尺、寸为我国古代长度单位)

$\frac{5}{x}=\frac{0.4}{5}$

由题意可知，木头高5尺，入径0.4尺，井深x尺，井径5尺。因为视线形成的两个直角三角形相似，对应边成比例，所以可得$\frac{5}{x}=\frac{0.4}{5}$。

6. 如图，$\triangle ABC$ 与 $\triangle DOE$ 是位似图形. 已知点 $A(0,3)$，$B(-2,0)$，$C(1,0)$，$E(6,0)$，$\triangle ABC$ 与 $\triangle DOE$ 的位似中心为 $M$.
（1）写出 $D$ 点的坐标.
（2）在图中画出 $M$ 点，并求 $M$ 点的坐标.

（1）(4,6)；（2）M(-4,0)。

（1）D点坐标为(4,6)。
（2）位似中心M的坐标为(-4,0)。画图略（在x轴上标记点M(-4,0)）。