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6. 已知 $D$，$E$ 分别是 $\triangle ABC$ 的边 $AB$，$AC$ 上的点，且满足 $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} = \frac{1}{2}$. 若 $DE = \sqrt{3}cm$，则 $BC =$
$3\sqrt{3}cm$
.答案
$3\sqrt{3}cm$
解析
因为$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} = \frac{1}{2}$，所以$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{3}$。又因为$\angle A = \angle A$，所以$\triangle ADE ∼ \triangle ABC$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。则$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}$，已知$DE = \sqrt{3}cm$，所以$BC = 3DE = 3\sqrt{3}cm$。
7. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的 $ABC$).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点 $A$，$B$，$Q$ 在同一水平线上，$\angle ABC$ 和 $\angle AQP$ 均为直角，$AP$ 与 $BC$ 相交于点 $D$. 测得 $AB = 40cm$，$BD = 20cm$，$AQ = 12m$，则树高 $PQ =$
6
$m$.答案
6
解析
因为点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC=∠AQP=90°，所以BC//PQ。则△ABD∽△AQP。已知AB=40cm=0.4m，BD=20cm=0.2m，AQ=12m。由相似三角形性质得：AB/AQ=BD/PQ，即0.4/12=0.2/PQ，解得PQ=6m。
8. 如图，直线 $a// b// c$，直线 $m$ 交 $a$，$b$，$c$ 于点 $A$，$C$，$E$，直线 $n$ 交 $a$，$b$，$c$ 于点 $B$，$D$，$F$.
（1）若 $AC = 6cm$，$EC = 4cm$，$BD = 8cm$，则线段 $DF$ 的长度是多少？
（2）若 $AE:EC = 5:2$，$DB = 5cm$，则线段 $DF$ 的长度是多少？
（1）若 $AC = 6cm$，$EC = 4cm$，$BD = 8cm$，则线段 $DF$ 的长度是多少？
（2）若 $AE:EC = 5:2$，$DB = 5cm$，则线段 $DF$ 的长度是多少？
答案
（1）∵直线$a//b//c$，
∴$\frac{AC}{EC}=\frac{BD}{DF}$（平行线分线段成比例定理）。
∵$AC = 6cm$，$EC = 4cm$，$BD = 8cm$，
∴$\frac{6}{4}=\frac{8}{DF}$，
解得$DF=\frac{16}{3}cm$。
（2）∵$AE:EC = 5:2$，设$AE = 5k$，$EC = 2k$，则$AC=AE - EC=5k - 2k=3k$。
∵直线$a//b//c$，
∴$\frac{AC}{EC}=\frac{BD}{DF}$（平行线分线段成比例定理）。
∵$DB = 5cm$，即$BD = 5cm$，
∴$\frac{3k}{2k}=\frac{5}{DF}$，
$\frac{3}{2}=\frac{5}{DF}$，
解得$DF=\frac{10}{3}cm$。
（1）$\frac{16}{3}cm$；（2）$\frac{10}{3}cm$
∴$\frac{AC}{EC}=\frac{BD}{DF}$（平行线分线段成比例定理）。
∵$AC = 6cm$，$EC = 4cm$，$BD = 8cm$，
∴$\frac{6}{4}=\frac{8}{DF}$，
解得$DF=\frac{16}{3}cm$。
（2）∵$AE:EC = 5:2$，设$AE = 5k$，$EC = 2k$，则$AC=AE - EC=5k - 2k=3k$。
∵直线$a//b//c$，
∴$\frac{AC}{EC}=\frac{BD}{DF}$（平行线分线段成比例定理）。
∵$DB = 5cm$，即$BD = 5cm$，
∴$\frac{3k}{2k}=\frac{5}{DF}$，
$\frac{3}{2}=\frac{5}{DF}$，
解得$DF=\frac{10}{3}cm$。
（1）$\frac{16}{3}cm$；（2）$\frac{10}{3}cm$
9. 已知 $\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$，并且 $AB = 2c$，$BC = 2a$，$AC = 2b$，$A'B' = 3c$，$B'C' = 3a$，$A'C' = 3b$. 求证：$\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 周长的比是 $2:3$.
答案
证明：
∵ $\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，
且 $AB = 2c$，$A'B' = 3c$，
∴ 相似比 $k = \frac{AB}{A'B'} = \frac{2c}{3c} = \frac{2}{3}$。
∵ 相似三角形周长的比等于相似比，
∴ $\frac{C_{\triangle ABC}}{C_{\triangle A'B'C'}} = k = \frac{2}{3}$。
即 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 周长的比是 $2:3$。
∵ $\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，
且 $AB = 2c$，$A'B' = 3c$，
∴ 相似比 $k = \frac{AB}{A'B'} = \frac{2c}{3c} = \frac{2}{3}$。
∵ 相似三角形周长的比等于相似比，
∴ $\frac{C_{\triangle ABC}}{C_{\triangle A'B'C'}} = k = \frac{2}{3}$。
即 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 周长的比是 $2:3$。
1. 在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$，$E$ 分别在边 $AB$，$AC$ 上，$AD:BD = 1:2$. 那么下列条件中能够判断 $DE// BC$ 的是(
A.$\frac{DE}{BC} = \frac{1}{2}$
B.$\frac{DE}{BC} = \frac{1}{3}$
C.$\frac{AE}{AC} = \frac{1}{2}$
D.$\frac{AE}{AC} = \frac{1}{3}$
D
)A.$\frac{DE}{BC} = \frac{1}{2}$
B.$\frac{DE}{BC} = \frac{1}{3}$
C.$\frac{AE}{AC} = \frac{1}{2}$
D.$\frac{AE}{AC} = \frac{1}{3}$
答案
D
解析
在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AD:BD=1:2，则AD:AB=1:3。要判断DE//BC，根据平行线分线段成比例定理的推论，当AE:AC=AD:AB=1:3时，DE//BC。选项D中AE:AC=1/3，符合条件。
