1 [中]如图,在直角三角形ABC中,∠ABC=90°,点D沿CB自点C向点B运动(点D与点C,B不重合),作BE⊥AD于点E,CF⊥AD的延长线于点F,在点D的运动过程中,BE+CF的值 ()

A.逐渐变小
B.逐渐变大
C.不变
D.无法确定

1. B 【解析】
∵ △ABC 的面积不变，点 D 沿 CB 自点 C 向点B 运动时 AD 逐渐减小，
∴ BE+CF 的值逐渐变大，故选 B.

2[2026福建福州期末,中]如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=5,点P是AB边上一动点(点P可以与点A,B重合),且$\frac{60}{13} ≤ CP ≤ 12$.若点M,N分别是AP,PB的中点,则MN的长度为 ()

A.6.3
B.6.5
C.6.6
D.6.8

(第2题图)
(第3题图)

2. B 【解析】
∵ $\frac{60}{13} ≤ CP ≤ 12$，
∴ 当 P 和 B 重合时，BC = PC = 12，当 CP ⊥ AB 时，PC = $\frac{60}{13}$，
∴ △ABC 的边 AB 上的高为$\frac{60}{13}$，
∴ $S_{△ABC} = \frac{1}{2}×5×12 = \frac{1}{2}AB×\frac{60}{13}$，
∴ AB = 13.
∵ 点 M，N 分别是AP，PB 的中点，
∴ $PM = \frac{1}{2}AP$，$PN = \frac{1}{2}PB$，
∴ $PM+PN = \frac{1}{2}(PA+PB)$，
∴ $MN = \frac{1}{2}AB = 6.5$.故选 B.

3[中]如图,在$△ ABC$中,AD为BC边上的中线,$DE ⊥ AB$于点E,$DF ⊥ AC$于点F,$AB=3$,$AC=4$,$DF=1.5$,则$DE=$.

3. 2 【解析】在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，
∴ BD = DC，
∴ $S_{△ABD} = S_{△ADC}$. 又
∵ DE ⊥ AB于 E，DF ⊥ AC 于 F，AB = 3，AC = 4，DF = 1.5，
∴ $\frac{1}{2}AB·ED = \frac{1}{2}AC·DF$，即 $\frac{1}{2}×3×ED = \frac{1}{2}×4×1.5$，解得 ED = 2，故答案为 2.

4[2026山西太原质检,中]我们规定,若三角形满足:①各边互不相等且均为整数;②最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k,则称此三角形为“比高三角形”,其中k叫作“比高系数”.
(1)如图,在$△ ABC$中,$AB=6\ \mathrm{cm}$,$AC=8\ \mathrm{cm}$,$BC=10\ \mathrm{cm}$,$∠ BAC=90°$,$AD ⊥ BC$于点$D$,请判断$△ ABC$是否为“比高三角形”.若是,请求出其“比高系数”;若不是,请说明理由.
(2)若周长为$13\ \mathrm{cm}$的$△ DEF$是“比高三角形”,且一边长为$6\ \mathrm{cm}$,则$△ DEF$的“比高系数”$k$为.

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4.【解】(1) △ABC 不是“比高三角形”. 理由如下:
∵ AB = 6 cm，AC = 8 cm，BC = 10 cm，∠BAC=90°，AD ⊥ BC，
∴ AC 为△ABC 最短边上的高，AD 为△ABC 最长边上的高.
∵ $S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB·AC = \frac{1}{2}BC·AD$，
∴ $AD = \frac{AB·AC}{BC} = \frac{24}{5}$，
∴ $\frac{AC}{AD} = \frac{8}{\frac{24}{5}} = \frac{5}{3}$，不是整数，
∴ △ABC 不是“比高三角形”.
(2)
∵ 周长为 13 cm 的△DEF 是“比高三角形”，且一边长为 6 cm，
∴ 6 cm 为△DEF 的最长边. 当其中一边长为 1 cm 时，另外一边长为 6 cm，此时不满足各边互不相等的条件，故△DEF 的三边长分别为 2 cm，5 cm，6 cm 或3 cm，4 cm，6 cm. 设最短边上的高为$h_1$，最长边上的高为$h_2$. 当三边长分别为 2 cm，5 cm，6 cm 时，$\frac{1}{2}×2×h_1 = \frac{1}{2}×6×h_2$，解得$\frac{h_1}{h_2} = 3$，即k=3；当三边长分别为 3 cm，4 cm，6 cm 时，$\frac{1}{2}×3×h_1 = \frac{1}{2}×6×h_2$，解得$\frac{h_1}{h_2} = 2$，即 k=2. 综上所述，△DEF 的“比高系数”k 为 3 或 2. 故答案为 3 或 2.

5 核心素养推理能力[2025山西临汾期末,较难]课题学习:在认识了三角形的三条重要线段高、角平分线、中线之后,张华作$△ ABC$的边$BC$上的中线$AD$,观察图形发现:线段$AD$不仅平分$△ ABC$的边$BC$,还平分$△ ABC$的面积.
(1)探究与发现:张华的同桌思考之后,给出了以下思路和证明:过点$A$作$BC$边上的高$AE$,则$S_{△ ADB}=\frac{1}{2}DB· AE$.
……
所以,三角形的中线平分三角形的边,也平分三角形的面积.
如图(1),请你添加张华的同桌所作的辅助线,并将其证明过程补充完整.
(2)运用与实践:请你根据以上发现,解决以下问题.
①如图(2),$AD$是$△ ABC$的中线,$BE$是$△ ABD$的中线,$△ ABC$的面积为$40$,$BD=5$,求$△ ABE$的面积和点$E$到$BC$的距离.
②如图(3),有一块三角形优良品种试验田,现引进四种不同的种子进行对比试验,需要将这块试验田分成面积相等的四块三角形地块.请你设计出四种不同的划分方案.

5.【解】(1) 如图(1)，过点 A 作 BC 边上的高AE.
∵ AD 是△ABC 的边 BC 上的中线，
∴ DB =$\frac{1}{2}BC$，
∴ $S_{△ADB} = \frac{1}{2}DB·AE = \frac{1}{2}×\frac{1}{2}BC·AE = \frac{1}{2}S_{△ABC}$，
∴ 三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积.
(2) ①如图(2)，过点 E 作 EF ⊥ BC 于点 F.
∵ AD 是△ABC 的中线，
∴ $S_{△ADB} = \frac{1}{2}S_{△ABC} = 20$.
∵ BE 是△ABD 的中线，
∴ $S_{△BDE} = \frac{1}{2}S_{△ABD} = 10$，
∴ $\frac{1}{2}BD·EF = 10$，即 $\frac{1}{2}×5EF = 10$，
∴ EF =4，
∴ 点 E 到 BC 的距离为 4.
②如图(3)(取各边中点或中线的中点，画法不唯一).