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1[2025 山西大同期中,中]在等腰三角形ABC中,AB=AC,若中线BD将该三角形的周长分为5和3两个部分,则该等腰三角形的底边长为 (
A.$\dfrac{4}{3}$
B.$4$
C.$\dfrac{4}{3}$或$4$
D.$\dfrac{5}{3}$或$4$
A
)A.$\dfrac{4}{3}$
B.$4$
C.$\dfrac{4}{3}$或$4$
D.$\dfrac{5}{3}$或$4$
答案
【解析】设腰长$AB=AC=x$,底边长$BC=y$.$\because BD$ 是中线,$\therefore AD=CD=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}x$.$\because$ 中线$BD$ 将该三角形的周长分为 5 和 3 两个部分,
$\therefore \begin{cases} AB+AD=5,\\ BC+CD=3 \end{cases}$或$\begin{cases} AB+AD=3,\\ BC+CD=5, \end{cases}$$\therefore \begin{cases} x+\dfrac{1}{2}x=5,\\ y+\dfrac{1}{2}x=3 \end{cases}$
或$\begin{cases} x+\dfrac{1}{2}x=3,\\ y+\dfrac{1}{2}x=5, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=\dfrac{10}{3},\\ y=\dfrac{4}{3} \end{cases}$或$\begin{cases} x=2,\\ y=4. \end{cases}$当等腰三角形$ABC$ 腰长为$\dfrac{10}{3}$,底边长为$\dfrac{4}{3}$时,$\dfrac{10}{3}+\dfrac{4}{3}＞\dfrac{10}{3}$,可以组成三角形;当等腰三角形$ABC$ 腰长为 2,底边长为 4 时,$2+2=4$,不可以组成三角形,$\therefore$ 该等腰三角形的底边长为$\dfrac{4}{3}$,故选 A.
$\therefore \begin{cases} AB+AD=5,\\ BC+CD=3 \end{cases}$或$\begin{cases} AB+AD=3,\\ BC+CD=5, \end{cases}$$\therefore \begin{cases} x+\dfrac{1}{2}x=5,\\ y+\dfrac{1}{2}x=3 \end{cases}$
或$\begin{cases} x+\dfrac{1}{2}x=3,\\ y+\dfrac{1}{2}x=5, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=\dfrac{10}{3},\\ y=\dfrac{4}{3} \end{cases}$或$\begin{cases} x=2,\\ y=4. \end{cases}$当等腰三角形$ABC$ 腰长为$\dfrac{10}{3}$,底边长为$\dfrac{4}{3}$时,$\dfrac{10}{3}+\dfrac{4}{3}＞\dfrac{10}{3}$,可以组成三角形;当等腰三角形$ABC$ 腰长为 2,底边长为 4 时,$2+2=4$,不可以组成三角形,$\therefore$ 该等腰三角形的底边长为$\dfrac{4}{3}$,故选 A.
2[2026辽宁大连期末,中]如图,CD是△ABC的中线,BC=a,AC=b,a＞b,则△BCD的周长比△ACD的周长长
(第2题图)
(第3题图)
$a-b$
(用含a,b的代数式表示).(第2题图)
(第3题图)
答案
【解析】$\because CD$ 是$△ ABC$ 的中线,$\therefore BD=AD$,则$△ BCD$ 的周长$- △ ACD$ 的周长$=(BC+CD+BD)-(AC+CD+AD)=BC-AC=a-b$,$\therefore △ BCD$ 的周长比$△ ACD$ 的周长长 $a-b$,故答案为 $a-b$.
3[2025山东东营期中,中]如图,D,E,F分别是边BC,AD,AC的中点,若阴影部分的面积为6,则△ABC的面积是 (
A.12
B.14
C.15
D.16
D
)A.12
B.14
C.15
D.16
答案
【解析】$\because D,E,F$ 分别是边 $BC,AD,AC$ 的中点, $\therefore S_{△ ABD}=S_{△ ADC}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}$,$S_{△ BDE}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABD}$,$S_{△ ADF}=\dfrac{1}{2}S_{△ ADC}$,$S_{△ DEF}=\dfrac{1}{2}S_{△ ADF}$,
$\therefore S_{△ BDE}=\dfrac{1}{4}S_{△ ABC}$,$S_{△ DEF}=\dfrac{1}{8}S_{△ ABC}$,$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{△ BDE}+S_{△ DEF}=\dfrac{1}{4}S_{△ ABC}+\dfrac{1}{8}S_{△ ABC}=\dfrac{3}{8}S_{△ ABC}$,
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{8}{3}S_{\mathrm{阴影部分}}=\dfrac{8}{3}×6=16$,故选 D.
$\therefore S_{△ BDE}=\dfrac{1}{4}S_{△ ABC}$,$S_{△ DEF}=\dfrac{1}{8}S_{△ ABC}$,$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{△ BDE}+S_{△ DEF}=\dfrac{1}{4}S_{△ ABC}+\dfrac{1}{8}S_{△ ABC}=\dfrac{3}{8}S_{△ ABC}$,
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{8}{3}S_{\mathrm{阴影部分}}=\dfrac{8}{3}×6=16$,故选 D.
4[2025辽宁鞍山质检,中]如图,已知$△ ABC$的面积为1,分别倍长(延长一倍)边$AB$,$BC$,$CA$得到$△ A_1B_1C_1$,再分别倍长边$A_1B_1$,$B_1C_1$,$C_1A_1$得到$△ A_2B_2C_2$,$···$,按此规律,倍长2024次后得到的$△ A_{2024}B_{2024}C_{2024}$的面积为 (
A.$7^{2024}$
B.$5^{2024}$
C.$6^{2023}$
D.$4^{2023}$
(第4题图)
(第5题图)
A
)A.$7^{2024}$
B.$5^{2024}$
C.$6^{2023}$
D.$4^{2023}$
(第4题图)
(第5题图)
答案
【解析】如图,连接$AB_1,BC_1,CA_1$,根据等底同高的三角形面积相等, 可得 $△ A_1BC$,$△ A_1B_1C,△ AB_1C,△ AB_1C_1$,$△ ABC_1,△ A_1BC_1,△ ABC$ 的面 积 都 相 等,
$\therefore S_{△ A_1B_1C_1}=7S_{△ ABC}$, 同 理 可 得 $S_{△ A_2B_2C_2}=7S_{△ A_1B_1C_1}=7^2S_{△ ABC}$, $···$, 则 $S_{△ A_{2024}B_{2024}C_{2024}}=7^{2024}S_{△ ABC}$.$\because S_{△ ABC}=1$,$\therefore △ A_{2024}B_{2024}C_{2024}$ 的面积为 $7^{2024}$. 故选 A.
5[2026宁夏银川期末,中]如图,F为$△ ABC$的重心,延长AF,BF交BC,AC于点D,E,FH⊥BC,垂足为H.若$S_{△ ABC}=15,BC=6$,则FH的长为
$\dfrac{5}{3}$
.答案
【解析】连接 $FC$,如图所示. $\because F$ 为 $△ ABC$ 的重心,$\therefore AD,BE$ 是 $△ ABC$ 的中线.
$\because S_{△ ABC}=15$,$\therefore S_{△ BEC}=S_{△ ABE}=S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}=\dfrac{15}{2}$,$\therefore S_{△ ABF}+S_{△ AEF}=S_{△ ABF}+S_{△ BDF}$,$\therefore S_{△ AEF}=S_{△ BDF}$.$\because S_{△ CEF}=S_{△ AEF}$,$S_{△ DBF}=S_{△ CDF}$,$\therefore S_{△ CEF}=S_{△ DBF}=S_{△ CDF}$,$\therefore S_{△ BCF}=\dfrac{2}{3}S_{△ BEC}=5$.
又$\because S_{△ BCF}=\dfrac{1}{2}BC· FH=\dfrac{1}{2}×6FH$,$\therefore FH=\dfrac{5}{3}$.
6[2025广西南宁期中,中]我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决求线段长度的有关问题，这种方法称为等积法.
(1)如图(1),$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$是$AB$边上的高,则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=$
(2)在(1)的条件下,若$AC=3$,$BC=4$,$AB=5$,用等积法求$CD$的长.
(3)如图(2),在等腰三角形$ABC$中,$AB=AC=13$,$BC=10$,过$A$作$AH⊥ BC$于点$H$,且$AH=12$,$P$为底边$BC$上的任意一点,过点$P$作$PM⊥ AB$,$PN⊥ AC$,垂足分别为$M$,$N$,连接$AP$,利用$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP}$,求$PM+PN$的值.
(1)如图(1),$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$是$AB$边上的高,则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=$
$\dfrac{1}{2}AB·CD$
.(2)在(1)的条件下,若$AC=3$,$BC=4$,$AB=5$,用等积法求$CD$的长.
(3)如图(2),在等腰三角形$ABC$中,$AB=AC=13$,$BC=10$,过$A$作$AH⊥ BC$于点$H$,且$AH=12$,$P$为底边$BC$上的任意一点,过点$P$作$PM⊥ AB$,$PN⊥ AC$,垂足分别为$M$,$N$,连接$AP$,利用$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP}$,求$PM+PN$的值.
答案
(1) 故答案为$\dfrac{1}{2}AB· CD$.
(2)由(1)可得 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AC· BC=\dfrac{1}{2}AB· CD$,则$\dfrac{1}{2}×3×4=\dfrac{1}{2}×5× CD$,解得 $CD=\dfrac{12}{5}$.
(3) $\because AH ⊥ BC$,$PM ⊥ AB$,$PN ⊥ AC$,$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP}$,$\therefore \dfrac{1}{2}BC· AH=\dfrac{1}{2}AB· PM+\dfrac{1}{2}AC· PN$,$\therefore \dfrac{1}{2}×10×12=\dfrac{1}{2}×13PM+\dfrac{1}{2}×13PN=\dfrac{1}{2}×13(PM+PN)$,$\therefore PM+PN=\dfrac{120}{13}$.
(2)由(1)可得 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AC· BC=\dfrac{1}{2}AB· CD$,则$\dfrac{1}{2}×3×4=\dfrac{1}{2}×5× CD$,解得 $CD=\dfrac{12}{5}$.
(3) $\because AH ⊥ BC$,$PM ⊥ AB$,$PN ⊥ AC$,$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP}$,$\therefore \dfrac{1}{2}BC· AH=\dfrac{1}{2}AB· PM+\dfrac{1}{2}AC· PN$,$\therefore \dfrac{1}{2}×10×12=\dfrac{1}{2}×13PM+\dfrac{1}{2}×13PN=\dfrac{1}{2}×13(PM+PN)$,$\therefore PM+PN=\dfrac{120}{13}$.
7[2025吉林松原质检,中]已知△ABC的面积为24,AD是BC边上的高(点D不与点B重合),若AD=4,CD=5,则BD的长为 (
A.1
B.1或11
C.7
D.7或17
D
)A.1
B.1或11
C.7
D.7或17
答案
【解析】当 $AD$ 在 $△ ABC$ 内部时,如图(1).$\because △ ABC$ 的面积为 24,$AD$ 是 $BC$ 边上的高,$AD=4$,$CD=5$,$\therefore \dfrac{1}{2}BC· AD=\dfrac{1}{2}(BD+CD)· AD=\dfrac{1}{2}(BD+5)×4=24$,$\therefore BD=7$.
当 $AD$ 在 $△ ABC$ 外部时,如图(2).$\because △ ABC$ 的面积为 24,$AD$ 是 $BC$ 边上的高,$AD=4$,$CD=5$,$\therefore \dfrac{1}{2}BC· AD=\dfrac{1}{2}BC×4=24$,$\therefore BC=12$,$\therefore BD=BC+CD=12+5=17$. 综上所述,$BD$ 的长为 7 或 17,故选 D.
