1.在平面直角坐标系中,对于点$P(x,y)$,我们把点$P'(y-1,-x-1)$叫作点$P$的“友好点”.已知点$A_1$的“友好点”为点$A_2$,点$A_2$的“友好点”为点$A_3$,点$A_3$的“友好点”为点$A_4$……以此类推.当点$A_1$的坐标为$(2,1)$时,点$A_{99}$的坐标为（）

A.$(2,1)$
B.$(0,-3)$
C.$(-4,-1)$
D.$(-2,3)$

1.C

【分析】
本题是结合新定义的点坐标规律探究题，解题思路如下：①先准确理解“友好点”的变换规则：已知点$P(x,y)$，其友好点为$(y-1, -x-1)$；②从已知的$A_1$坐标出发，依次计算出$A_2$、$A_3$、$A_4$、$A_5$…的坐标，找到坐标的循环周期；③用99除以周期，根据余数判断$A_{99}$对应周期中的第几个点，即可得到其坐标。
【解析】
已知点$A_1$的坐标为$(2,1)$，根据“友好点”的定义依次计算：
1. 求$A_2$的坐标：将$A_1$的$x=2$，$y=1$代入变换规则，得$A_2(1-1, -2-1)$，即$A_2(0,-3)$；
2. 求$A_3$的坐标：将$A_2$的$x=0$，$y=-3$代入变换规则，得$A_3(-3-1, -0-1)$，即$A_3(-4,-1)$；
3. 求$A_4$的坐标：将$A_3$的$x=-4$，$y=-1$代入变换规则，得$A_4(-1-1, -(-4)-1)$，即$A_4(-2,3)$；
4. 求$A_5$的坐标：将$A_4$的$x=-2$，$y=3$代入变换规则，得$A_5(3-1, -(-2)-1)$，即$A_5(2,1)$，发现$A_5$与$A_1$坐标相同，可知坐标的变化周期为4，每4个点为一个循环组依次循环。
接下来计算99除以周期4的余数：$99÷4=24······3$，即经过24个完整循环后，第99个点对应循环组中的第3个点，也就是$A_3$的坐标$(-4,-1)$。
【答案】
C
【知识点】
1. 新定义点坐标变换
2. 点坐标规律探究
3. 周期规律应用
【点评】
本题属于新定义类的规律探究题，核心是准确理解变换规则，通过计算前若干个点的坐标找到循环周期，再利用余数定位所求点的坐标，是平面直角坐标系规律类题的典型考法。
【难度系数】
0.7

2.[2026·合肥高新区期中改编]在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断爬行，每次爬行1个单位长度，其爬行路线如图所示，则$A_{2026}$的坐标为（）


A.(1012,0)
B.(1012,1)
C.(1013,0)
D.(1013,1)

2.D

【分析】首先观察蚂蚁的爬行顺序，发现它每4次移动为一个循环周期，每个周期内移动方向依次为向上、向右、向下、向右，每个周期结束后整体向右平移2个单位，纵坐标回到0。解题时先计算2026除以4的商和余数，根据余数确定$A_{2026}$在周期内的位置，再结合周期规律推导其坐标即可。
【解析】先写出前几组点的坐标找规律：
$A_1(0,1)$，$A_2(1,1)$，$A_3(1,0)$，$A_4(2,0)$，
$A_5(2,1)$，$A_6(3,1)$，$A_7(3,0)$，$A_8(4,0)$，
……
观察可得规律：每4个点为1个循环周期，设$k$为非负整数：
当点的序号为$4k+1$时，坐标为$(2k,1)$；
当点的序号为$4k+2$时，坐标为$(2k+1,1)$；
当点的序号为$4k+3$时，坐标为$(2k+1,0)$；
当点的序号为$4k+4$时，坐标为$(2k+2,0)$。
计算$2026÷4=506······2$，即2026对应$4×506 +2$，符合$4k+2$的形式，其中$k=506$。
代入对应坐标公式：
横坐标：$2×506 +1=1013$，纵坐标：$1$，
因此$A_{2026}$的坐标为$(1013,1)$。
【答案】D
【知识点】平面直角坐标系点坐标规律，周期规律探究
【点评】本题是规律探究类题型，解题核心是通过观察前几个点的坐标归纳出周期变化规律，再结合除法运算确定所求点的位置，考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】0.7

3.如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中“→”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),(4,0),…根据这个规律,第120个点的坐标为 ()


A.(16,0)
B.(15,14)
C.(15,0)
D.(14,13)

3.C

【分析】
首先观察点的排列规律：1. 横坐标为k的点共有k个，即横坐标为1有1个点，横坐标为2有2个点，…，横坐标为n有n个点，所有横坐标不超过n的点的总个数为前n个正整数的和，即$S_n = 1+2+…+n = \frac{n(n+1)}{2}$；2. 横坐标k为奇数时，对应点的纵坐标从k-1向下递减到0；横坐标k为偶数时，对应点的纵坐标从0向上递增到k-1。接下来先计算接近120的前n项和，确定第120个点的横坐标，再根据奇偶横坐标的纵坐标排列规律计算纵坐标即可。
【解析】
第一步：计算前n个横坐标对应的总点数，由等差数列求和公式得：
$S_n = 1+2+3+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}$
第二步：定位第120个点的横坐标：
当n=14时，$S_{14}=\frac{14×15}{2}=105$，即前14个横坐标共有105个点，第105个点是横坐标为14的最后一个点，横坐标14为偶数，对应最后一个点的纵坐标为$14-1=13$，即第105个点坐标为$(14,13)$。
第三步：计算第120个点的坐标：
第106到120个点的横坐标为15，15是奇数，对应点的纵坐标从14向下依次递减：
第120个点与第105个点相差$120-105=15$个位置，横坐标为15的点共15个，第15个（即总第120个）点的纵坐标为$14-(15-1)=0$，因此第120个点的坐标为$(15,0)$。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系点的规律、等差数列求和
【点评】
本题属于规律探究类典型题型，解题核心是先总结横坐标与对应点数量的关系，再区分奇偶横坐标下纵坐标的排列方向，结合求和公式快速定位目标点的位置，能有效考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.6

4.如图,在平面直角坐标系中,长方形ABCD的顶点坐标分别为$A(-1,2),B(-1,-1),C(1,-1),D(1,2)$,点P从点A出发,沿长方形的边按顺时针方向运动,速度为每秒2个单位长度,点Q从点A出发,沿长方形的边按逆时针方向运动,速度为每秒3个单位长度,记点P,Q第1次相遇处的点为$M_1$,第2次相遇处的点为$M_2$,第3次相遇处的点为$M_3$……则点$M_{2026}$的坐标为 ()

A.$(1,0)$
B.$(1,2)$
C.$(-1,2)$
D.$(0,-1)$

4.A

【分析】
解题思路如下：1. 首先计算长方形的周长，明确环形反向运动时，每次相遇两人的总路程和为周长的整数倍；2. 结合两人速度求出每次相遇的时间，计算对应点P走过的路程，依次求出前几次相遇点的坐标，找到循环周期；3. 用2026除以周期，根据余数确定$M_{2026}$对应的坐标。
【解析】
第一步：计算长方形周长
由顶点坐标可知，长方形的长$AD=1-(-1)=2$，宽$AB=2-(-1)=3$，因此周长为$2×(2+3)=10$个单位长度。
第二步：分析相遇规律
点P、Q反向运动，速度和为$2+3=5$单位/秒，因此每次相遇时两人路程和为周长的n倍（n为相遇次数），第n次相遇的时间$t_n=\frac{10n}{5}=2n$秒，此时点P走过的总路程为$2×2n=4n$个单位长度。
第三步：寻找相遇点的周期规律
按顺时针方向从A出发，依次计算前几次相遇点坐标：
n=1时，路程为$4×1=4$：沿AD走2单位到$D(1,2)$，剩余2单位沿DC向下走，得$M_1(1,0)$；
n=2时，路程为$4×2=8$：走完AD、DC共5单位，再走CB的2单位到B，剩余1单位沿BA向上走，得$M_2(-1,0)$；
n=3时，路程为$4×3=12$，$12\mod10=2$，刚好走完AD到D，得$M_3(1,2)$；
n=4时，路程为$4×4=16$，$16\mod10=6$：走完AD、DC共5单位，剩余1单位沿CB向左走，得$M_4(0,-1)$；
n=5时，路程为$4×5=20$，$20\mod10=0$，回到起点A，得$M_5(-1,2)$；
n=6时，路程为$4×6=24$，$24\mod10=4$，与n=1位置相同，即$M_6=M_1$，可知相遇点周期为5。
第四步：计算$M_{2026}$的坐标
$2026÷5=405······1$，余数为1，对应周期内第1个相遇点$M_1$的坐标，即$(1,0)$。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系、环形相遇问题、周期规律探究
【点评】
本题将平面直角坐标系与行程相遇问题结合，解题的核心是先推导相遇点的循环周期，再通过余数定位对应坐标，能很好地考查学生的规律探究能力和综合分析能力。
【难度系数】
0.6

5.如图,在平面直角坐标系中,每个小方格的边长均为1个单位长度,点$P_1,P_2,P_3,\dots$均在格点上,其顺序按图中“→”方向排列,如:$P_1(0,0),P_2(0,1),P_3(1,1),P_4(1,-1),P_5(-1,-1),P_6(-1,2),\dots$.根据这个规律,点$P_{201}$的坐标为.

5.$(-50,-50)$

【分析】
首先观察已知点的坐标和对应下标，发现当下标除以4余1时，点位于第三象限的角平分线上（包含原点）：$P_1(0,0)$对应下标$1=4×0+1$，$P_5(-1,-1)$对应下标$5=4×1+1$，$P_9(-2,-2)$对应下标$9=4×2+1$，可总结此类点的坐标规律：若下标$n=4k+1$（$k$为非负整数），则点坐标为$(-k,-k)$。接下来判断201是否满足该形式，计算得到$k$值即可求出$P_{201}$的坐标。
【解析】
1. 列举特殊点的下标与坐标对应关系：
$P_1(0,0)$，下标$1=4×0+1$；
$P_5(-1,-1)$，下标$5=4×1+1$；
$P_9(-2,-2)$，下标$9=4×2+1$；
$P_{13}(-3,-3)$，下标$13=4×3+1$；
……
2. 归纳规律：当下标$n=4k+1$（$k$为非负整数）时，点$P_n$的坐标为$(-k,-k)$。
3. 计算201对应的$k$值：
令$4k+1=201$，解得$k=(201-1)÷4=50$。
4. 代入规律得$P_{201}$的坐标为$(-50,-50)$。
【答案】
$(-50,-50)$
【知识点】
点坐标规律探究、归纳推理
【点评】
本题是平面直角坐标系中的规律探究题，解题核心是通过观察找到特殊下标点的坐标共性，再将所求下标代入规律计算，侧重考查学生的观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.6

6.如图,已知点$A(-1,2)$,将长方形$ABOC$沿$x$轴正方向连续翻转35次,点$A$依次落在点$A_1,A_2,A_3,\dots,A_{35}$的位置,则点$A_{35}$的坐标是。

6.$(51,0)$

【分析】首先根据点A的初始坐标确定长方形ABOC的长和宽：OB=1，AB=2。接下来通过列举前几次翻转后点A对应点的坐标，总结坐标变化的周期规律：观察可知每4次翻转为一个循环周期，每个周期横坐标增加6，纵坐标按2、1、0、0的顺序循环，余数为2或3时点落在x轴上，纵坐标为0。最后计算35次翻转对应的周期余数，结合规律即可求出A₃₅的坐标。
【解析】已知点A(-1,2)，则长方形ABOC的水平边长OB=1，竖直边长AB=2。
列举前几次翻转后点的坐标寻找规律：
翻转0次（初始）：A(-1,2)
翻转1次：A₁(2,1)
翻转2次：A₂(3,0)
翻转3次：A₃(3,0)
翻转4次：A₄(5,2)
翻转5次：A₅(8,1)
翻转6次：A₆(9,0)
翻转7次：A₇(9,0)
……
规律总结：每4次翻转为一个周期，每个周期横坐标增加6，纵坐标循环规律为：
① 当翻转次数除以4余0时，纵坐标为2；
② 当翻转次数除以4余1时，纵坐标为1；
③ 当翻转次数除以4余2或3时，纵坐标为0。
计算35÷4=8……3，即翻转35次时余数为3，对应纵坐标为0。
横坐标计算：翻转3次时横坐标为3，每经过1个周期横坐标增加6，经过8个周期后横坐标为3 + 8×6=51。
因此点A₃₅的坐标为(51,0)。
【答案】(51,0)
【知识点】平面直角坐标系规律探究，图形的翻转，周期问题
【点评】本题是坐标系中的规律探究类题型，解题核心是先通过前几次的坐标变化总结周期规律，再利用规律推导所求点的坐标，需要注意翻转后重合点的坐标特征，避免计算错误。
【难度系数】0.65