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1 教材P94活动一变式 某市计划在公路$l$旁修建一个机场$M$，现有下列四种方案，则机场$M$到$A$，$B$两个城市的距离之和最短的是（
B
）答案
1.B
解析
【分析】
这是直线同侧两点到直线上一点距离和最短的问题，解题思路如下：①我们已知两点之间线段最短，但A、B在公路l同侧，直接连接AB与l的交点不能满足距离和最短；②可以利用轴对称的性质，将其中一个点转化为关于l的对称点，这样直线上任意点到原点点和对称点的距离相等，就把同侧两点的距离和问题转化为异侧两点的距离和问题；③连接对称点和另一个点，与直线l的交点就是所求的点M，此时距离和最短。对比四个选项的作图即可得出答案。
【解析】
要使机场M到A、B两个城市的距离之和最短，步骤如下：
1. 由于A、B在直线l的同侧，先作点A关于直线l的对称点A'，根据轴对称的性质，对直线l上任意点M，都有$MA=MA'$，因此$MA+MB=MA'+MB$。
2. 根据“两点之间，线段最短”，当M位于线段$A'B$与直线l的交点处时，$MA'+MB$的长度最小，即$MA+MB$最短。
观察四个选项，仅选项B的作图符合上述方法，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的基础题型，核心是通过轴对称将同侧两点转化为异侧两点，结合线段的性质确定最短路径，掌握该类题型的固定作图方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是直线同侧两点到直线上一点距离和最短的问题，解题思路如下：①我们已知两点之间线段最短，但A、B在公路l同侧，直接连接AB与l的交点不能满足距离和最短；②可以利用轴对称的性质，将其中一个点转化为关于l的对称点，这样直线上任意点到原点点和对称点的距离相等，就把同侧两点的距离和问题转化为异侧两点的距离和问题；③连接对称点和另一个点，与直线l的交点就是所求的点M，此时距离和最短。对比四个选项的作图即可得出答案。
【解析】
要使机场M到A、B两个城市的距离之和最短，步骤如下：
1. 由于A、B在直线l的同侧，先作点A关于直线l的对称点A'，根据轴对称的性质，对直线l上任意点M，都有$MA=MA'$，因此$MA+MB=MA'+MB$。
2. 根据“两点之间，线段最短”，当M位于线段$A'B$与直线l的交点处时，$MA'+MB$的长度最小，即$MA+MB$最短。
观察四个选项，仅选项B的作图符合上述方法，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的基础题型，核心是通过轴对称将同侧两点转化为异侧两点，结合线段的性质确定最短路径，掌握该类题型的固定作图方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2 如图,在△ABC中,直线m是线段BC的垂直平分线,P是直线m上的一个动点.若AB=7,AC=4,BC=5,则△APC周长的最小值是 (
A.12
B.11
C.9
D.7
B
)A.12
B.11
C.9
D.7
答案
2.B
解析
【分析】
要求△APC的周长最小值，首先明确△APC的周长为AP+PC+AC，其中AC长度固定为4，因此只需让AP+PC的和最小即可。根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，已知直线m是BC的垂直平分线，可得PC=PB，由此可将AP+PC转化为AP+PB。再结合两点之间线段最短的原理，当A、P、B三点共线时，AP+PB的和最小，最小值等于AB的长度，代入计算即可得到△APC的最小周长。
【解析】
解：
∵直线m是线段BC的垂直平分线，点P在直线m上
∴PB = PC
△APC的周长 = AP + PC + AC = AP + PB + AC
∵AC长度固定为4，因此要使△APC周长最小，需使AP+PB的和最小
根据两点之间线段最短，当点P为AB与直线m的交点时，AP+PB取得最小值，最小值等于AB的长度7
∴△APC周长的最小值为：7 + 4 = 11
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；最短路径问题；三角形周长计算
【点评】
本题是最短路径的典型应用题型，核心是通过线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将未知的最小值问题转化为两点之间线段最短的已知结论求解，解题时需注意转化思想的灵活运用。
【难度系数】
0.7
要求△APC的周长最小值，首先明确△APC的周长为AP+PC+AC，其中AC长度固定为4，因此只需让AP+PC的和最小即可。根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，已知直线m是BC的垂直平分线，可得PC=PB，由此可将AP+PC转化为AP+PB。再结合两点之间线段最短的原理，当A、P、B三点共线时，AP+PB的和最小，最小值等于AB的长度，代入计算即可得到△APC的最小周长。
【解析】
解：
∵直线m是线段BC的垂直平分线，点P在直线m上
∴PB = PC
△APC的周长 = AP + PC + AC = AP + PB + AC
∵AC长度固定为4，因此要使△APC周长最小，需使AP+PB的和最小
根据两点之间线段最短，当点P为AB与直线m的交点时，AP+PB取得最小值，最小值等于AB的长度7
∴△APC周长的最小值为：7 + 4 = 11
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；最短路径问题；三角形周长计算
【点评】
本题是最短路径的典型应用题型，核心是通过线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将未知的最小值问题转化为两点之间线段最短的已知结论求解，解题时需注意转化思想的灵活运用。
【难度系数】
0.7
3 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为$(-1,3),(4,2)$,在$x$轴上找一点$P$,使$PA+PB$的值最小,则点$P$的坐标是（
A.$(4,0)$
B.$(2,0)$
C.$(0,0)$
D.$(-1,0)$
B
）A.$(4,0)$
B.$(2,0)$
C.$(0,0)$
D.$(-1,0)$
答案
3.B
解析
【分析】
这是典型的“将军饮马”最短路径问题，解题思路如下：首先，点A、B在x轴同侧，要使x轴上的点P满足PA+PB最小，根据轴对称的性质，可先作其中一个点关于x轴的对称点，将PA转化为对称点到P的距离，此时PA+PB的最小值就转化为对称点与另一个点之间的线段长度（两点之间线段最短）；接着求出连接对称点和另一个点的直线解析式，再求该直线与x轴的交点，即为所求的点P的坐标。
【解析】
作点A关于x轴的对称点A'，根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得A'的坐标为$(-1,-3)$。
由轴对称的性质可知$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB$，当A'、P、B三点共线时，$PA'+PB$的值最小，即为线段A'B的长度，此时点P为直线A'B与x轴的交点。
设直线A'B的解析式为$y=kx+b$，将A'$(-1,-3)$、B$(4,2)$代入解析式得：
$\begin{cases}-k+b=-3\\4k+b=2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$5k=5$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$-k+b=-3$，得$-1+b=-3$，解得$b=-2$。
因此直线A'B的解析式为$y=x-2$。
x轴上点的纵坐标为0，令$y=0$，则$x-2=0$，解得$x=2$，即点P的坐标为$(2,0)$。
【答案】
B
【知识点】
1. 最短路径问题
2. 一次函数解析式求解
3. 轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径的常考题型，核心是利用轴对称将同侧两点的折线和最小值问题转化为两点之间线段最短的问题，结合一次函数求交点坐标即可得到结果，解题关键是掌握将军饮马模型的转化思路。
【难度系数】
0.7
这是典型的“将军饮马”最短路径问题，解题思路如下：首先，点A、B在x轴同侧，要使x轴上的点P满足PA+PB最小，根据轴对称的性质，可先作其中一个点关于x轴的对称点，将PA转化为对称点到P的距离，此时PA+PB的最小值就转化为对称点与另一个点之间的线段长度（两点之间线段最短）；接着求出连接对称点和另一个点的直线解析式，再求该直线与x轴的交点，即为所求的点P的坐标。
【解析】
作点A关于x轴的对称点A'，根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得A'的坐标为$(-1,-3)$。
由轴对称的性质可知$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB$，当A'、P、B三点共线时，$PA'+PB$的值最小，即为线段A'B的长度，此时点P为直线A'B与x轴的交点。
设直线A'B的解析式为$y=kx+b$，将A'$(-1,-3)$、B$(4,2)$代入解析式得：
$\begin{cases}-k+b=-3\\4k+b=2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$5k=5$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$-k+b=-3$，得$-1+b=-3$，解得$b=-2$。
因此直线A'B的解析式为$y=x-2$。
x轴上点的纵坐标为0，令$y=0$，则$x-2=0$，解得$x=2$，即点P的坐标为$(2,0)$。
【答案】
B
【知识点】
1. 最短路径问题
2. 一次函数解析式求解
3. 轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径的常考题型，核心是利用轴对称将同侧两点的折线和最小值问题转化为两点之间线段最短的问题，结合一次函数求交点坐标即可得到结果，解题关键是掌握将军饮马模型的转化思路。
【难度系数】
0.7
4 如图，$△ ABC$为等边三角形，高$AH=10\ \mathrm{cm}$，$P$为$AH$上一动点，$D$为$AB$的中点，则$PD+PB$最小为
10
cm.答案
4.10
解析
【分析】
本题属于轴对称最短路径（将军饮马）问题，解题思路如下：第一步，利用轴对称性质找对称点实现线段转化：等边△ABC中AH是高，因此AH是BC的垂直平分线，点B关于AH的对称点为点C，可得PB=PC，将PD+PB转化为PD+PC；第二步，根据两点之间线段最短，可知PD+PC的最小值为点D到点C的线段长度；第三步，结合等边三角形“三线合一”、各边上高/中线长度相等的性质，得出CD的长度等于高AH的长度，即可求出最小值。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AH是BC边上的高
∴AH垂直平分BC，即点B与点C关于AH对称
∴PB=PC
∴PD+PB=PD+PC
根据两点之间线段最短，当D、P、C三点共线时，PD+PC取得最小值，最小值为线段CD的长度
∵D是AB的中点，
∴CD是等边△ABC中AB边上的中线
∵等边三角形各边上的中线与高长度相等，已知AH=10cm
∴CD=AH=10cm
即PD+PB的最小值为10cm。
【答案】
10
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，轴对称的性质
【点评】
本题核心是利用轴对称将两条线段和的最值问题转化为两点之间线段最短的问题，解题关键是找到对称点完成线段转化，同时需要熟练运用等边三角形三线合一的性质，是最短路径类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
本题属于轴对称最短路径（将军饮马）问题，解题思路如下：第一步，利用轴对称性质找对称点实现线段转化：等边△ABC中AH是高，因此AH是BC的垂直平分线，点B关于AH的对称点为点C，可得PB=PC，将PD+PB转化为PD+PC；第二步，根据两点之间线段最短，可知PD+PC的最小值为点D到点C的线段长度；第三步，结合等边三角形“三线合一”、各边上高/中线长度相等的性质，得出CD的长度等于高AH的长度，即可求出最小值。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AH是BC边上的高
∴AH垂直平分BC，即点B与点C关于AH对称
∴PB=PC
∴PD+PB=PD+PC
根据两点之间线段最短，当D、P、C三点共线时，PD+PC取得最小值，最小值为线段CD的长度
∵D是AB的中点，
∴CD是等边△ABC中AB边上的中线
∵等边三角形各边上的中线与高长度相等，已知AH=10cm
∴CD=AH=10cm
即PD+PB的最小值为10cm。
【答案】
10
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，轴对称的性质
【点评】
本题核心是利用轴对称将两条线段和的最值问题转化为两点之间线段最短的问题，解题关键是找到对称点完成线段转化，同时需要熟练运用等边三角形三线合一的性质，是最短路径类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
5 如图,在四边形 ABCD 中,∠A=∠C=90°,M,N 分别是 BC,AB 边上的动点,∠B=58°,当△DMN 的周长最小时,∠MDN 的度数是 (
A.122°
B.64°
C.62°
D.58°
B
)A.122°
B.64°
C.62°
D.58°
答案
5.B 【解析】如图,延长 DA 到点 E,使 DA=AE,延长 DC到点 F,使 CF=DC,连接 EF 交 AB 于点 N,交 BC 于点 M,此时,△DMN 的周长最小.
∵ ∠DAN=∠DCM=90°,
∴ AN 垂直平分 DE,CM 垂直平分 DF.
∴ DM = FM, DN = EN.
∴ ∠E=∠ADN,∠F=∠CDM.
∵ ∠B=58°,
∴ ∠ADC=122°. 设 ∠MDN = α,
∴ ∠ADN + ∠CDM = 122° - α.
∴ ∠DNM+∠DMN = ∠ADN + ∠E + ∠CDM + ∠F =2(∠ADN+∠CDM)=2(122°−α).
∴ α+2(122°−α)=180°,解得 α=64°.
∴ 此时∠MDN=64°。
解析
【分析】
要解决本题，首先思考△DMN周长最小的构造方法：D是定点，M、N分别在BC、AB上运动，要使DM+MN+DN最小，可利用轴对称性质，分别作点D关于AB的对称点E、关于BC的对称点F，此时DN=EN，DM=FM，周长转化为EN+NM+FM，根据“两点之间线段最短”，当E、N、M、F四点共线时，△DMN的周长最小。接下来利用轴对称得到的等角关系，结合四边形、三角形内角和计算∠MDN的度数即可。
【解析】
解：如图，延长DA到点E，使AE=DA，延长DC到点F，使CF=DC，连接EF分别交AB于点N、交BC于点M，此时△DMN的周长最小。
∵∠A=∠C=90°，
∴AB垂直平分DE，BC垂直平分DF，
∴DN=EN，DM=FM，
∴∠E=∠ADN，∠F=∠CDM。
∵四边形ABCD内角和为360°，∠A=∠C=90°，∠B=58°，
∴∠ADC=360°-90°-90°-58°=122°。
设∠MDN=α，则∠ADN+∠CDM=122°-α，
∵∠DNM是△EDN的外角，∠DMN是△FDM的外角，
∴∠DNM=∠E+∠ADN=2∠ADN，∠DMN=∠F+∠CDM=2∠CDM，
在△DMN中，根据三角形内角和为180°得：
∠MDN + ∠DNM + ∠DMN = 180°，
代入得：α + 2∠ADN + 2∠CDM = 180°，
即α + 2(122° - α) = 180°，
解得α=64°，即∠MDN=64°。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题；垂直平分线的性质；多边形内角和
【点评】
本题是轴对称在最短路径问题中的典型应用，解题核心是通过作对称点将折线段之和的最小值转化为两点之间的线段长度，再结合角的等量关系和内角和定理计算角度，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先思考△DMN周长最小的构造方法：D是定点，M、N分别在BC、AB上运动，要使DM+MN+DN最小，可利用轴对称性质，分别作点D关于AB的对称点E、关于BC的对称点F，此时DN=EN，DM=FM，周长转化为EN+NM+FM，根据“两点之间线段最短”，当E、N、M、F四点共线时，△DMN的周长最小。接下来利用轴对称得到的等角关系，结合四边形、三角形内角和计算∠MDN的度数即可。
【解析】
解：如图，延长DA到点E，使AE=DA，延长DC到点F，使CF=DC，连接EF分别交AB于点N、交BC于点M，此时△DMN的周长最小。
∵∠A=∠C=90°，
∴AB垂直平分DE，BC垂直平分DF，
∴DN=EN，DM=FM，
∴∠E=∠ADN，∠F=∠CDM。
∵四边形ABCD内角和为360°，∠A=∠C=90°，∠B=58°，
∴∠ADC=360°-90°-90°-58°=122°。
设∠MDN=α，则∠ADN+∠CDM=122°-α，
∵∠DNM是△EDN的外角，∠DMN是△FDM的外角，
∴∠DNM=∠E+∠ADN=2∠ADN，∠DMN=∠F+∠CDM=2∠CDM，
在△DMN中，根据三角形内角和为180°得：
∠MDN + ∠DNM + ∠DMN = 180°，
代入得：α + 2∠ADN + 2∠CDM = 180°，
即α + 2(122° - α) = 180°，
解得α=64°，即∠MDN=64°。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题；垂直平分线的性质；多边形内角和
【点评】
本题是轴对称在最短路径问题中的典型应用，解题核心是通过作对称点将折线段之和的最小值转化为两点之间的线段长度，再结合角的等量关系和内角和定理计算角度，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6 如图，在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为(1,4)和(3,0)，Q是y轴上的一个动点，且M，N，Q三点不在同一直线上，当△MNQ的周长最小时，点Q的坐标是
(0,3)
。答案
6.(0,3) 【解析】如图,作点 N 关于 y 轴的对称点 N',连接 MN'交 y 轴于点 Q,则此时△MNQ 的周长最小.
∵ 点 N 的坐标是(3,0),
∴ 点 N'的坐标是(−3,0).过点 M 作 MD⊥x 轴,垂足为 D.
∵ 点 M 的坐标是(1,4),
∴ OD=1,MD=4.
∴ N'D=MD=4.
∴ △MDN'是等腰直角三角形.
∴ ∠MN'D=45°.
∴ 易得 N'O=OQ=3,即点 Q 的坐标是(0,3)。
解析
【分析】
要使△MNQ的周长最小，首先分析周长组成：周长=MQ+NQ+MN，其中MN是固定长度，因此只需让MQ+NQ的和最小即可。这属于典型的“将军饮马”最短路径问题：直线（y轴）同侧有两个定点M、N，求直线上动点Q使MQ+NQ最小，解题思路是作其中一个定点关于y轴的对称点，利用轴对称的性质将两条线段和转化为两点之间的线段长度，再结合平面直角坐标系的坐标特征求解交点Q的坐标。
【解析】
∵△MNQ的周长为MQ+NQ+MN，且MN为定长，
∴要使周长最小，只需MQ+NQ的值最小。
作点N关于y轴的对称点N'，连接MN'交y轴于点Q，此时MQ+NQ=MQ+N'Q=MN'，根据“两点之间线段最短”，此时MQ+NQ最小，即△MNQ的周长最小。
∵点N的坐标是(3,0)，关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，
∴点N'的坐标是(-3,0)。
过点M作MD⊥x轴，垂足为D，
∵点M的坐标是(1,4)，
∴OD=1，MD=4，N'D=1-(-3)=4，即N'D=MD=4，
∴△MDN'是等腰直角三角形，∠MN'D=45°。
在Rt△QON'中，∠QON'=90°，∠QN'O=45°，
∴△QON'是等腰直角三角形，OQ=ON'=3，即点Q的坐标是(0,3)。
【答案】
(0,3)
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是将军饮马模型的常规应用，解题核心是利用轴对称将同侧线段和的最值问题转化为两点间线段最短问题，结合平面直角坐标系的坐标特征和等腰直角三角形的性质即可求解，掌握对称点的坐标变换规律是解题的基础。
【难度系数】
0.7
要使△MNQ的周长最小，首先分析周长组成：周长=MQ+NQ+MN，其中MN是固定长度，因此只需让MQ+NQ的和最小即可。这属于典型的“将军饮马”最短路径问题：直线（y轴）同侧有两个定点M、N，求直线上动点Q使MQ+NQ最小，解题思路是作其中一个定点关于y轴的对称点，利用轴对称的性质将两条线段和转化为两点之间的线段长度，再结合平面直角坐标系的坐标特征求解交点Q的坐标。
【解析】
∵△MNQ的周长为MQ+NQ+MN，且MN为定长，
∴要使周长最小，只需MQ+NQ的值最小。
作点N关于y轴的对称点N'，连接MN'交y轴于点Q，此时MQ+NQ=MQ+N'Q=MN'，根据“两点之间线段最短”，此时MQ+NQ最小，即△MNQ的周长最小。
∵点N的坐标是(3,0)，关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，
∴点N'的坐标是(-3,0)。
过点M作MD⊥x轴，垂足为D，
∵点M的坐标是(1,4)，
∴OD=1，MD=4，N'D=1-(-3)=4，即N'D=MD=4，
∴△MDN'是等腰直角三角形，∠MN'D=45°。
在Rt△QON'中，∠QON'=90°，∠QN'O=45°，
∴△QON'是等腰直角三角形，OQ=ON'=3，即点Q的坐标是(0,3)。
【答案】
(0,3)
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是将军饮马模型的常规应用，解题核心是利用轴对称将同侧线段和的最值问题转化为两点间线段最短问题，结合平面直角坐标系的坐标特征和等腰直角三角形的性质即可求解，掌握对称点的坐标变换规律是解题的基础。
【难度系数】
0.7
7 如图，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成$30°$的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地吃草，然后去河边饮水，最后回到A地。已知$OA=2\ \mathrm{km}$，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程。
答案
7. 如图,分别画出点 A 关于 OM,ON 的对称点 B,C,连接 BC 交 OM,ON 于点 D,E,连接 AD,AE,则线段 AD,DE,EA 即为所求的路径 由题意,易得 OB=OA=OC=2 km,AD=BD,AE=CE,∠BOM=∠AOM,∠AON=∠CON.
∵ ∠MON=30°,
∴ ∠BOC = ∠BOM + ∠AOM + ∠AON + ∠CON =2(∠AOM+∠AON)=2∠MON=60°.
∴ △OBC 为等边三角形.
∴ BC=2 km.
∴ 整个过程所行的路程为 AD+DE+EA=BD+DE+CE=BC=2 km。
解析
【分析】
这是典型的最短路径设计问题，解题核心是利用轴对称性质将折线路径转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解。思考步骤如下：首先要将AD、AE两段折线路径通过对称进行等量替换，因此分别作点A关于OM、ON的对称点，可得AD等于对称点到OM上点的线段长、AE等于另一对称点到ON上点的线段长；此时总路程就转化为两个对称点之间的折线段长度，根据两点之间线段最短，连接两个对称点，与OM、ON的交点就是路径的必经点；最后结合已知角度和OA的长度，利用三角形性质计算总路程即可。
【解析】
1. 作图：分别画出点A关于OM、ON的对称点B、C，连接BC交OM于点D、交ON于点E，连接AD、AE，线段AD、DE、EA即为所求最短路径。
2. 由轴对称的性质可得：$AD=BD$，$AE=CE$，$OB=OA=OC=2\ \mathrm{km}$，$∠ BOM=∠ AOM$，$∠ CON=∠ AON$。
3. 已知$∠ MON=30°$，即$∠ AOM+∠ AON=30°$，因此$∠ BOC = ∠ BOM + ∠ AOM + ∠ AON + ∠ CON =2(∠ AOM+∠ AON)=2∠ MON=60°$。
4. 因为$OB=OC$且$∠ BOC=60°$，所以$△ OBC$为等边三角形，因此$BC=OB=2\ \mathrm{km}$。
5. 总路程$AD+DE+EA=BD+DE+CE=BC=2\ \mathrm{km}$。
【答案】
最短路径为$AD\to DE\to EA$（作图见下图），整个过程所行的路程为$\boldsymbol{2\ \mathrm{km}}$。
【知识点】
1. 最短路径问题
2. 轴对称的性质
3. 等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是轴对称解决实际最短路径问题的经典题型，核心是通过对称转化将折线长度转化为两点间的线段长度，再结合几何图形的性质求解，需要熟练掌握轴对称的性质和两点之间线段最短的原理，体会转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.6
这是典型的最短路径设计问题，解题核心是利用轴对称性质将折线路径转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解。思考步骤如下：首先要将AD、AE两段折线路径通过对称进行等量替换，因此分别作点A关于OM、ON的对称点，可得AD等于对称点到OM上点的线段长、AE等于另一对称点到ON上点的线段长；此时总路程就转化为两个对称点之间的折线段长度，根据两点之间线段最短，连接两个对称点，与OM、ON的交点就是路径的必经点；最后结合已知角度和OA的长度，利用三角形性质计算总路程即可。
【解析】
1. 作图：分别画出点A关于OM、ON的对称点B、C，连接BC交OM于点D、交ON于点E，连接AD、AE，线段AD、DE、EA即为所求最短路径。
2. 由轴对称的性质可得：$AD=BD$，$AE=CE$，$OB=OA=OC=2\ \mathrm{km}$，$∠ BOM=∠ AOM$，$∠ CON=∠ AON$。
3. 已知$∠ MON=30°$，即$∠ AOM+∠ AON=30°$，因此$∠ BOC = ∠ BOM + ∠ AOM + ∠ AON + ∠ CON =2(∠ AOM+∠ AON)=2∠ MON=60°$。
4. 因为$OB=OC$且$∠ BOC=60°$，所以$△ OBC$为等边三角形，因此$BC=OB=2\ \mathrm{km}$。
5. 总路程$AD+DE+EA=BD+DE+CE=BC=2\ \mathrm{km}$。
【答案】
最短路径为$AD\to DE\to EA$（作图见下图），整个过程所行的路程为$\boldsymbol{2\ \mathrm{km}}$。
【知识点】
1. 最短路径问题
2. 轴对称的性质
3. 等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是轴对称解决实际最短路径问题的经典题型，核心是通过对称转化将折线长度转化为两点间的线段长度，再结合几何图形的性质求解，需要熟练掌握轴对称的性质和两点之间线段最短的原理，体会转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.6
8 如图，AB 是$∠ MON$内部的一条线段，在$∠ MON$的两边 OM，ON 上各取一点 C，D，连接 BD，DC，CA，组成四边形 ABDC，如何取点才能使该四边形的周长最小？
答案
8. 如图,作点 A 关于 OM 的对称点 E,再作点 B 关于 ON 的对称点 F,连接 EF 交 OM 于点 C,交 ON 于点 D,则此时四边形 ABDC 的周长最小。
解析
【分析】
要使四边形ABDC的周长最小，首先分析周长的组成：四边形周长=AB+AC+CD+BD，其中线段AB是固定不变的，因此问题可转化为求AC+CD+BD的和最小。结合已学的“两点之间线段最短”的结论，我们可以通过轴对称变换，把OM同侧的线段AC、ON同侧的线段BD转化到路径的异侧，将折线段的和转化为两点之间的线段长度，即可得到最小值对应的点的位置。
【解析】
1. 分析周长构成：四边形ABDC的周长为$AB + AC + CD + BD$，其中AB是长度固定的线段，因此只需让$AC+CD+BD$的和最小，就能使四边形的周长最小。
2. 作对称变换：
① 作点A关于直线OM的对称点E，根据轴对称的性质，直线OM是AE的垂直平分线，因此在OM上任取一点C，都有$AC=EC$；
② 作点B关于直线ON的对称点F，同理，在ON上任取一点D，都有$BD=FD$。
3. 转化线段和求最小值：此时$AC+CD+BD = EC + CD + FD$，根据“两点之间线段最短”的性质，当点C、D都落在线段EF上时，$EC + CD + FD$的和最小，最小值为线段EF的长度。
因此连接EF，EF与OM的交点即为所求的点C，与ON的交点即为所求的点D，此时四边形ABDC的周长最小。
【答案】
如图,作点 A 关于 OM 的对称点 E,再作点 B 关于 ON 的对称点 F,连接 EF 交 OM 于点 C,交 ON 于点 D,则此时四边形 ABDC 的周长最小。
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径问题的典型应用，解题核心是利用轴对称变换将同侧的折线段转化为可直接连线的异侧线段，结合两点之间线段最短的性质求解，掌握对称变换转化路径的思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要使四边形ABDC的周长最小，首先分析周长的组成：四边形周长=AB+AC+CD+BD，其中线段AB是固定不变的，因此问题可转化为求AC+CD+BD的和最小。结合已学的“两点之间线段最短”的结论，我们可以通过轴对称变换，把OM同侧的线段AC、ON同侧的线段BD转化到路径的异侧，将折线段的和转化为两点之间的线段长度，即可得到最小值对应的点的位置。
【解析】
1. 分析周长构成：四边形ABDC的周长为$AB + AC + CD + BD$，其中AB是长度固定的线段，因此只需让$AC+CD+BD$的和最小，就能使四边形的周长最小。
2. 作对称变换：
① 作点A关于直线OM的对称点E，根据轴对称的性质，直线OM是AE的垂直平分线，因此在OM上任取一点C，都有$AC=EC$；
② 作点B关于直线ON的对称点F，同理，在ON上任取一点D，都有$BD=FD$。
3. 转化线段和求最小值：此时$AC+CD+BD = EC + CD + FD$，根据“两点之间线段最短”的性质，当点C、D都落在线段EF上时，$EC + CD + FD$的和最小，最小值为线段EF的长度。
因此连接EF，EF与OM的交点即为所求的点C，与ON的交点即为所求的点D，此时四边形ABDC的周长最小。
【答案】
如图,作点 A 关于 OM 的对称点 E,再作点 B 关于 ON 的对称点 F,连接 EF 交 OM 于点 C,交 ON 于点 D,则此时四边形 ABDC 的周长最小。
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径问题的典型应用，解题核心是利用轴对称变换将同侧的折线段转化为可直接连线的异侧线段，结合两点之间线段最短的性质求解，掌握对称变换转化路径的思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
