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1. 如图，已知$A(-2,3), B(4,3), C(-1,-3)$，则三角形ABC的面积为
18
。答案
18 因为A(-2,3),B(4,3),C(-1,-3),所以AB=4-(-2)=6,点C到边AB的距离为3-(-3)=6(点拨:点A,B的纵坐标相同,故AB//x轴),所以三角形ABC的面积为$\frac{1}{2} × 6 × 6 = 18$.
解析
【分析】
首先观察三个点的坐标特征，发现点A和点B的纵坐标相同，可知线段AB平行于x轴，因此可将AB作为三角形的底，先计算AB的长度；再求AB边上的高，即点C到直线AB的垂直距离，由于AB是水平直线，该距离等于两点纵坐标差的绝对值；最后代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
解：
∵ 点A(-2,3)、B(4,3)的纵坐标相等，
∴ 线段AB平行于x轴，AB的长度为 $4 - (-2) = 6$，
又
∵ 直线AB对应的纵坐标为3，点C的坐标为(-1,-3)，
∴ 点C到AB的垂直距离为 $|3 - (-3)| = 6$，
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2} × 6 × 6 = 18$
【答案】
18
【知识点】
平行于坐标轴的点的坐标特征，坐标系中距离计算，三角形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中三角形面积的求解，解题核心是利用平行于坐标轴的线段的特性，快速确定底和对应高，简化运算，是坐标系图形面积计算的基础常用方法。
【难度系数】
0.7
首先观察三个点的坐标特征，发现点A和点B的纵坐标相同，可知线段AB平行于x轴，因此可将AB作为三角形的底，先计算AB的长度；再求AB边上的高，即点C到直线AB的垂直距离，由于AB是水平直线，该距离等于两点纵坐标差的绝对值；最后代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
解：
∵ 点A(-2,3)、B(4,3)的纵坐标相等，
∴ 线段AB平行于x轴，AB的长度为 $4 - (-2) = 6$，
又
∵ 直线AB对应的纵坐标为3，点C的坐标为(-1,-3)，
∴ 点C到AB的垂直距离为 $|3 - (-3)| = 6$，
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2} × 6 × 6 = 18$
【答案】
18
【知识点】
平行于坐标轴的点的坐标特征，坐标系中距离计算，三角形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中三角形面积的求解，解题核心是利用平行于坐标轴的线段的特性，快速确定底和对应高，简化运算，是坐标系图形面积计算的基础常用方法。
【难度系数】
0.7
2. [2025济南莱芜区期末]如图,平行四边形ABCD的顶点A的坐标为$(-1,1)$,点B,C在x轴上.若平行四边形ABCD的面积为$\frac{3}{2}$,则点D的坐标为
$(\frac{1}{2},1)$
.答案
$(\frac{1}{2},1)$ 因为平行四边形ABCD的面积为$\frac{3}{2}$,点A的坐标为$(-1,1)$,所以$AD × 1 = \frac{3}{2}$,所以$AD = \frac{3}{2}$,所以$D(-1 + \frac{3}{2},1)$,即$(\frac{1}{2},1)$.
解析
【分析】
首先结合已知条件和平行四边形性质分析：平行四边形对边平行，点B、C都在x轴上，所以AD和BC平行，即AD平行于x轴，由此可先确定点D的纵坐标和点A的纵坐标相同，均为1，仅需求出D的横坐标即可。平行四边形面积公式为底×高，此处高就是点A到x轴的距离（即A的纵坐标的绝对值1），底为AD的长度，结合已知面积可算出AD的长度，再结合A的横坐标就能求出D的横坐标。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，
又
∵点B、C在x轴上，
∴$AD// x$轴，即点D的纵坐标与点A的纵坐标相等，为1。
平行四边形的高为点A到x轴的距离，即$h=1$，
设AD的长为$a$，根据平行四边形面积公式$S=a· h$可得：
$\frac{3}{2}=a×1$，解得$a=\frac{3}{2}$，即$AD=\frac{3}{2}$。
∵点A坐标为$(-1,1)$，点D在点A右侧，
∴点D的横坐标为$-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$，
因此点D的坐标为$(\frac{1}{2},1)$。
【答案】
$(\frac{1}{2},1)$
【知识点】
平行四边形的性质，点的坐标特征，平行四边形面积计算
【点评】
本题是坐标系与几何结合的基础题，解题核心是利用平行四边形对边平行的性质确定D的纵坐标，再结合面积公式求出AD的长度，进而得到D的坐标，整体思路清晰，较易得分。
【难度系数】
0.8
首先结合已知条件和平行四边形性质分析：平行四边形对边平行，点B、C都在x轴上，所以AD和BC平行，即AD平行于x轴，由此可先确定点D的纵坐标和点A的纵坐标相同，均为1，仅需求出D的横坐标即可。平行四边形面积公式为底×高，此处高就是点A到x轴的距离（即A的纵坐标的绝对值1），底为AD的长度，结合已知面积可算出AD的长度，再结合A的横坐标就能求出D的横坐标。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，
又
∵点B、C在x轴上，
∴$AD// x$轴，即点D的纵坐标与点A的纵坐标相等，为1。
平行四边形的高为点A到x轴的距离，即$h=1$，
设AD的长为$a$，根据平行四边形面积公式$S=a· h$可得：
$\frac{3}{2}=a×1$，解得$a=\frac{3}{2}$，即$AD=\frac{3}{2}$。
∵点A坐标为$(-1,1)$，点D在点A右侧，
∴点D的横坐标为$-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$，
因此点D的坐标为$(\frac{1}{2},1)$。
【答案】
$(\frac{1}{2},1)$
【知识点】
平行四边形的性质，点的坐标特征，平行四边形面积计算
【点评】
本题是坐标系与几何结合的基础题，解题核心是利用平行四边形对边平行的性质确定D的纵坐标，再结合面积公式求出AD的长度，进而得到D的坐标，整体思路清晰，较易得分。
【难度系数】
0.8
3. ▶一题多解 四边形CDHE在平面直角坐标系中的位置如图所示，求四边形CDHE的面积.
答案
解:如图1,设DH交y轴于点G,过点E作EF⊥DH于点F,
则$S_{\mathrm{四边形}CDHE} = S_{\mathrm{三角形}CDG} + S_{\mathrm{梯形}CGFE} + S_{\mathrm{三角形}EFH} = \frac{1}{2} × 4 × 5 + \frac{1}{2} × (3 + 5) × 3 + \frac{1}{2} × 1 × 3 = 23.5$.
另解 如图2,分别过点D,H作y轴的平行线,与过点C的x轴的平行线相交于点A,B,过点E作EM//x轴,交BH于点M,则$S_{\mathrm{四边形}CDHE} = S_{\mathrm{长方形}ABHD} - S_{\mathrm{三角形}ACD} - S_{\mathrm{三角形}EMH} - S_{\mathrm{梯形}EMBC} = 8 × 5 - \frac{1}{2} × 4 × 5 - \frac{1}{2} × 1 × 3 - \frac{1}{2} × (1 + 4) × 2 = 23.5$.
解析
【分析】
本题需要求解平面直角坐标系中不规则四边形的面积，常用割补法解题：一是分割法，将四边形拆分为三角形、梯形等我们熟悉的规则图形，分别计算各部分面积后求和；二是补形法，将四边形补成大的规则图形，用大图形面积减去周围多余小图形的面积。解题时可根据各点坐标求出对应线段的长度，再代入面积公式计算即可。
【解析】
方法1（分割法）：
如图1，设DH交y轴于点G，过点E作EF⊥DH于点F。
由各点坐标可知：DG的长度为4，CG的长度为$3-(-2)=5$，GF长度为3，EF长度为$1-(-2)=3$，FH长度为$4-3=1$。
则$S_{\mathrm{四边形}CDHE} = S_{\mathrm{三角形}CDG} + S_{\mathrm{梯形}CGFE} + S_{\mathrm{三角形}EFH}$
$=\frac{1}{2} × 4 × 5 + \frac{1}{2} × (3 + 5) × 3 + \frac{1}{2} × 1 × 3$
$=10+12+1.5=23.5$。
方法2（补形法）：
如图2，分别过点D、H作y轴的平行线，与过点C的x轴的平行线相交于点A、B，过点E作EM//x轴，交BH于点M。
由各点坐标可知：长方形ABHD的长为$4-(-4)=8$，宽为$3-(-2)=5$。
$S_{\mathrm{三角形}ACD}=\frac{1}{2}×4×5=10$，$S_{\mathrm{三角形}EMH}=\frac{1}{2}×1×3=1.5$，$S_{\mathrm{梯形}EMBC}=\frac{1}{2}×(1+4)×2=5$。
则$S_{\mathrm{四边形}CDHE} = S_{\mathrm{长方形}ABHD} - S_{\mathrm{三角形}ACD} - S_{\mathrm{三角形}EMH} - S_{\mathrm{梯形}EMBC}$
$=8×5-10-1.5-5=23.5$。
【答案】
四边形CDHE的面积为23.5。
解:如图1,设DH交y轴于点G,过点E作EF⊥DH于点F,
则$S_{\mathrm{四边形}CDHE} = S_{\mathrm{三角形}CDG} + S_{\mathrm{梯形}CGFE} + S_{\mathrm{三角形}EFH} = \frac{1}{2} × 4 × 5 + \frac{1}{2} × (3 + 5) × 3 + \frac{1}{2} × 1 × 3 = 23.5$.
另解 如图2,分别过点D,H作y轴的平行线,与过点C的x轴的平行线相交于点A,B,过点E作EM//x轴,交BH于点M,则$S_{\mathrm{四边形}CDHE} = S_{\mathrm{长方形}ABHD} - S_{\mathrm{三角形}ACD} - S_{\mathrm{三角形}EMH} - S_{\mathrm{梯形}EMBC} = 8 × 5 - \frac{1}{2} × 4 × 5 - \frac{1}{2} × 1 × 3 - \frac{1}{2} × (1 + 4) × 2 = 23.5$.
【知识点】
割补法求面积，规则图形面积计算，坐标系线段长度计算
【点评】
本题是坐标系中不规则图形面积求解的典型习题，两种解法均体现了转化的数学思想，通过割补将不规则图形转化为规则图形计算面积，解题时需注意结合点坐标准确计算各线段长度，再代入对应公式即可求解。
【难度系数】
0.7
本题需要求解平面直角坐标系中不规则四边形的面积，常用割补法解题：一是分割法，将四边形拆分为三角形、梯形等我们熟悉的规则图形，分别计算各部分面积后求和；二是补形法，将四边形补成大的规则图形，用大图形面积减去周围多余小图形的面积。解题时可根据各点坐标求出对应线段的长度，再代入面积公式计算即可。
【解析】
方法1（分割法）：
如图1，设DH交y轴于点G，过点E作EF⊥DH于点F。
由各点坐标可知：DG的长度为4，CG的长度为$3-(-2)=5$，GF长度为3，EF长度为$1-(-2)=3$，FH长度为$4-3=1$。
则$S_{\mathrm{四边形}CDHE} = S_{\mathrm{三角形}CDG} + S_{\mathrm{梯形}CGFE} + S_{\mathrm{三角形}EFH}$
$=\frac{1}{2} × 4 × 5 + \frac{1}{2} × (3 + 5) × 3 + \frac{1}{2} × 1 × 3$
$=10+12+1.5=23.5$。
方法2（补形法）：
如图2，分别过点D、H作y轴的平行线，与过点C的x轴的平行线相交于点A、B，过点E作EM//x轴，交BH于点M。
由各点坐标可知：长方形ABHD的长为$4-(-4)=8$，宽为$3-(-2)=5$。
$S_{\mathrm{三角形}ACD}=\frac{1}{2}×4×5=10$，$S_{\mathrm{三角形}EMH}=\frac{1}{2}×1×3=1.5$，$S_{\mathrm{梯形}EMBC}=\frac{1}{2}×(1+4)×2=5$。
则$S_{\mathrm{四边形}CDHE} = S_{\mathrm{长方形}ABHD} - S_{\mathrm{三角形}ACD} - S_{\mathrm{三角形}EMH} - S_{\mathrm{梯形}EMBC}$
$=8×5-10-1.5-5=23.5$。
【答案】
四边形CDHE的面积为23.5。
解:如图1,设DH交y轴于点G,过点E作EF⊥DH于点F,
则$S_{\mathrm{四边形}CDHE} = S_{\mathrm{三角形}CDG} + S_{\mathrm{梯形}CGFE} + S_{\mathrm{三角形}EFH} = \frac{1}{2} × 4 × 5 + \frac{1}{2} × (3 + 5) × 3 + \frac{1}{2} × 1 × 3 = 23.5$.
另解 如图2,分别过点D,H作y轴的平行线,与过点C的x轴的平行线相交于点A,B,过点E作EM//x轴,交BH于点M,则$S_{\mathrm{四边形}CDHE} = S_{\mathrm{长方形}ABHD} - S_{\mathrm{三角形}ACD} - S_{\mathrm{三角形}EMH} - S_{\mathrm{梯形}EMBC} = 8 × 5 - \frac{1}{2} × 4 × 5 - \frac{1}{2} × 1 × 3 - \frac{1}{2} × (1 + 4) × 2 = 23.5$.
【知识点】
割补法求面积，规则图形面积计算，坐标系线段长度计算
【点评】
本题是坐标系中不规则图形面积求解的典型习题，两种解法均体现了转化的数学思想，通过割补将不规则图形转化为规则图形计算面积，解题时需注意结合点坐标准确计算各线段长度，再代入对应公式即可求解。
【难度系数】
0.7
4. [2025北京西城区期中]如图,在平面直角坐标系xOy中,三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(4,2),B(1,0),C(5,-3),三角形ABC中任意一点P(x₀,y₀),经平移后对应点为P'(x₀−6,y₀+2),将三角形ABC作同样的平移得到三角形A'B'C',点A,B,C的对应点分别为A',B',C'.
(1)点A'的坐标为
(2)①画出三角形A'B'C';
②求出三角形A'B'C'的面积.
(3)过点A'作A'D//y轴,交B'C'于点D,求点D的坐标.
(1)点A'的坐标为
(-2,4)
,点B'的坐标为(-5,2)
,点C'的坐标为(-1,-1)
.(2)①画出三角形A'B'C';
②求出三角形A'B'C'的面积.
(3)过点A'作A'D//y轴,交B'C'于点D,求点D的坐标.
答案
(1) $(-2,4)$ $(-5,2)$ $(-1,-1)$
由$P(x_0,y_0)$的对应点$P'(x_0 - 6,y_0 + 2)$可知,三角形ABC向左平移6个单位长度,向上平移2个单位长度.因为三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(4,2),B(1,0),C(5,-3),所以点$A'(-2,4)$、点$B'(-5,2)$、点$C'(-1,-1)$.
(2)①三角形A'B'C'如图所示.
②如图, $S_{\mathrm{三角形}A'B'C'} = S_{\mathrm{长方形}GEC'F} - S_{\mathrm{三角形}A'GB'} - S_{\mathrm{三角形}B'EC'} - S_{\mathrm{三角形}A'C'F} = 5 × 4 - \frac{1}{2} × 3 × 2 - \frac{1}{2} × 4 × 3 - \frac{1}{2} × 5 × 1 = \frac{17}{2}$.
(3)因为$S_{\mathrm{三角形}A'B'C'} = \frac{1}{2} × A'D × 4 = \frac{17}{2}$,所以$A'D = \frac{17}{4}$.
因为点$A'(-2,4)$,$A'D // y$轴,且点D在点$A'$的下方,
所以点D的横坐标为-2,纵坐标为$4 - \frac{17}{4} = -\frac{1}{4}$,
即点$D(-2,-\frac{1}{4})$.
解析
【分析】
(1) 先明确平移规则：点$P(x_0,y_0)$平移后对应点$P'(x_0-6,y_0+2)$，即横坐标减6（向左平移6个单位），纵坐标加2（向上平移2个单位），将A、B、C三点坐标分别代入该规则，即可求出对应点坐标。
(2) ① 描出平移后得到的$A'$、$B'$、$C'$三点，依次连接即可得到平移后的三角形；② 网格内求三角形面积常用割补法，将三角形放入一个外接长方形中，用长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到所求三角形面积，且平移前后图形面积不变，也可直接计算原三角形面积。
(3) 因$A'D// y$轴，故点D横坐标与$A'$横坐标相同；可先求出直线$B'C'$的解析式，代入横坐标即可得到D点纵坐标；也可利用三角形面积公式，以$A'D$为公共底，B'、C'到直线$A'D$的水平距离之和为高，结合已求面积算出$A'D$的长度，再推导D点纵坐标。
【解析】
(1) 根据平移规则：平移后点的横坐标为原横坐标减6，纵坐标为原纵坐标加2。
已知$A(4,2)$，则$A'$的坐标为$(4-6,2+2)=(-2,4)$；
$B(1,0)$，则$B'$的坐标为$(1-6,0+2)=(-5,2)$；
$C(5,-3)$，则$C'$的坐标为$(5-6,-3+2)=(-1,-1)$。
(2) ① 在平面直角坐标系中描出$A'(-2,4)$、$B'(-5,2)$、$C'(-1,-1)$三点，依次连接$A'B'$、$B'C'$、$C'A'$，得到$△ A'B'C'$，如图所示：
② 作外接长方形$GEC'F$，其中$G(-5,4)$、$E(-5,-1)$、$F(-1,4)$，则长方形长为$|-1-(-5)|=4$，宽为$|4-(-1)|=5$，面积为$4×5=20$。
周围三个直角三角形面积分别为：
$S_{△ A'GB'}=\frac{1}{2}×3×2=3$，$S_{△ B'EC'}=\frac{1}{2}×4×3=6$，$S_{△ A'C'F}=\frac{1}{2}×5×1=\frac{5}{2}$；
因此$S_{△ A'B'C'}=20-3-6-\frac{5}{2}=\frac{17}{2}$。
(3) 设直线$B'C'$的解析式为$y=kx+b$，将$B'(-5,2)$、$C'(-1,-1)$代入得：
$\begin{cases}-5k+b=2 \\ -k+b=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4} \\ b=-\frac{7}{4}\end{cases}$，即直线$B'C'$解析式为$y=-\frac{3}{4}x-\frac{7}{4}$。
因为$A'D// y$轴，所以D点横坐标与$A'$相同为$-2$，将$x=-2$代入解析式得$y=-\frac{3}{4}×(-2)-\frac{7}{4}=-\frac{1}{4}$，即$D(-2,-\frac{1}{4})$。
【答案】
(1) $(-2,4)$；$(-5,2)$；$(-1,-1)$
(2) ① 三角形A'B'C'如图所示：
② $\frac{17}{2}$
(3) $(-2,-\frac{1}{4})$
【知识点】
坐标与平移变换，割补法求面积，一次函数的应用
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的平移规律、网格图形面积计算以及直线上点的坐标求解，其中割补法是计算坐标系内不规则图形面积的常用方法，平移前后图形全等的性质也可简化计算步骤，侧重对基础方法灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 先明确平移规则：点$P(x_0,y_0)$平移后对应点$P'(x_0-6,y_0+2)$，即横坐标减6（向左平移6个单位），纵坐标加2（向上平移2个单位），将A、B、C三点坐标分别代入该规则，即可求出对应点坐标。
(2) ① 描出平移后得到的$A'$、$B'$、$C'$三点，依次连接即可得到平移后的三角形；② 网格内求三角形面积常用割补法，将三角形放入一个外接长方形中，用长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到所求三角形面积，且平移前后图形面积不变，也可直接计算原三角形面积。
(3) 因$A'D// y$轴，故点D横坐标与$A'$横坐标相同；可先求出直线$B'C'$的解析式，代入横坐标即可得到D点纵坐标；也可利用三角形面积公式，以$A'D$为公共底，B'、C'到直线$A'D$的水平距离之和为高，结合已求面积算出$A'D$的长度，再推导D点纵坐标。
【解析】
(1) 根据平移规则：平移后点的横坐标为原横坐标减6，纵坐标为原纵坐标加2。
已知$A(4,2)$，则$A'$的坐标为$(4-6,2+2)=(-2,4)$；
$B(1,0)$，则$B'$的坐标为$(1-6,0+2)=(-5,2)$；
$C(5,-3)$，则$C'$的坐标为$(5-6,-3+2)=(-1,-1)$。
(2) ① 在平面直角坐标系中描出$A'(-2,4)$、$B'(-5,2)$、$C'(-1,-1)$三点，依次连接$A'B'$、$B'C'$、$C'A'$，得到$△ A'B'C'$，如图所示：
② 作外接长方形$GEC'F$，其中$G(-5,4)$、$E(-5,-1)$、$F(-1,4)$，则长方形长为$|-1-(-5)|=4$，宽为$|4-(-1)|=5$，面积为$4×5=20$。
周围三个直角三角形面积分别为：
$S_{△ A'GB'}=\frac{1}{2}×3×2=3$，$S_{△ B'EC'}=\frac{1}{2}×4×3=6$，$S_{△ A'C'F}=\frac{1}{2}×5×1=\frac{5}{2}$；
因此$S_{△ A'B'C'}=20-3-6-\frac{5}{2}=\frac{17}{2}$。
(3) 设直线$B'C'$的解析式为$y=kx+b$，将$B'(-5,2)$、$C'(-1,-1)$代入得：
$\begin{cases}-5k+b=2 \\ -k+b=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4} \\ b=-\frac{7}{4}\end{cases}$，即直线$B'C'$解析式为$y=-\frac{3}{4}x-\frac{7}{4}$。
因为$A'D// y$轴，所以D点横坐标与$A'$相同为$-2$，将$x=-2$代入解析式得$y=-\frac{3}{4}×(-2)-\frac{7}{4}=-\frac{1}{4}$，即$D(-2,-\frac{1}{4})$。
【答案】
(1) $(-2,4)$；$(-5,2)$；$(-1,-1)$
(2) ① 三角形A'B'C'如图所示：
② $\frac{17}{2}$
(3) $(-2,-\frac{1}{4})$
【知识点】
坐标与平移变换，割补法求面积，一次函数的应用
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的平移规律、网格图形面积计算以及直线上点的坐标求解，其中割补法是计算坐标系内不规则图形面积的常用方法，平移前后图形全等的性质也可简化计算步骤，侧重对基础方法灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
