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1. [2026深圳市承翰学校月考]如图所示,在平面直角坐标系中,点A(-1,1),B(-1,-2),C(3,-2),D(3,1),一只瓢虫从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→D→A循环爬行,则第2026秒瓢虫所在位置的坐标为 (
A.(-1,-1)
B.(-1,-2)
C.(-1,0)
D.(2,-2)
D
)A.(-1,-1)
B.(-1,-2)
C.(-1,0)
D.(2,-2)
答案
1 D 解题思路:根据点A,B,C,D的坐标可得长方形的长和宽,从而求出长方形ABCD的周长,进而求出瓢虫爬行一周所需要的时间,再进行计算即可解答.
因为点A(-1,1),B(-1,-2),C(3,-2),D(3,1),所以AB=CD=3,AD=BC=4,所以长方形ABCD的周长为2(AB+AD)=14.因为14÷2=7(秒),所以瓢虫爬行一周需要7秒.又因为2026÷7=289……3,即瓢虫在第2023秒爬到点A,然后又沿A→B→C方向爬行了3秒,所以第2026秒瓢虫所在位置的坐标为(2,-2).
因为点A(-1,1),B(-1,-2),C(3,-2),D(3,1),所以AB=CD=3,AD=BC=4,所以长方形ABCD的周长为2(AB+AD)=14.因为14÷2=7(秒),所以瓢虫爬行一周需要7秒.又因为2026÷7=289……3,即瓢虫在第2023秒爬到点A,然后又沿A→B→C方向爬行了3秒,所以第2026秒瓢虫所在位置的坐标为(2,-2).
解析
【分析】
这是一道结合平面直角坐标系的周期运动规律题，解题思路分为三步：首先根据四个顶点的坐标求出矩形各边长度，进一步得到矩形周长，结合爬行速度算出瓢虫运动一周的时间（即周期）；再用总时间除以周期，得到余数，明确瓢虫在一个周期内的运动时长；最后根据剩余时长对应的爬行路程，结合坐标变化规律确定最终位置。
【解析】
1. 计算矩形边长与周长
已知点$A(-1,1)$，$B(-1,-2)$，横坐标相同，因此$AB$的长度为$1-(-2)=3$；
点$B(-1,-2)$，$C(3,-2)$，纵坐标相同，因此$BC$的长度为$3-(-1)=4$；
同理得$CD=3$，$AD=4$，矩形$ABCD$的周长为$2×(3+4)=14$。
2. 计算运动周期
瓢虫速度为每秒2个单位长度，爬行一周的时间为$14÷2=7$秒，即运动周期为7秒。
3. 求总时间对应的周期余数
$2026÷7=289······3$，说明2026秒时瓢虫爬完289个完整周期后，又从A点出发爬行了3秒。
4. 确定最终位置
3秒瓢虫爬行的总路程为$3×2=6$个单位：
从A到B路程为3，耗时$3÷2=1.5$秒，到达$B(-1,-2)$；
剩余$3-1.5=1.5$秒，爬行路程为$1.5×2=3$个单位，沿BC向x轴正方向爬行，横坐标变为$-1+3=2$，纵坐标保持-2不变，对应坐标为$(2,-2)$。
【答案】
D
【知识点】
点的坐标计算，矩形周长，周期规律探究
【点评】
本题将坐标系坐标性质和周期运动规律结合考查，解题核心是准确求出运动周期，再结合剩余运动时长推导最终位置，是规律探究类的典型习题，能有效锻炼学生分析运动过程的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道结合平面直角坐标系的周期运动规律题，解题思路分为三步：首先根据四个顶点的坐标求出矩形各边长度，进一步得到矩形周长，结合爬行速度算出瓢虫运动一周的时间（即周期）；再用总时间除以周期，得到余数，明确瓢虫在一个周期内的运动时长；最后根据剩余时长对应的爬行路程，结合坐标变化规律确定最终位置。
【解析】
1. 计算矩形边长与周长
已知点$A(-1,1)$，$B(-1,-2)$，横坐标相同，因此$AB$的长度为$1-(-2)=3$；
点$B(-1,-2)$，$C(3,-2)$，纵坐标相同，因此$BC$的长度为$3-(-1)=4$；
同理得$CD=3$，$AD=4$，矩形$ABCD$的周长为$2×(3+4)=14$。
2. 计算运动周期
瓢虫速度为每秒2个单位长度，爬行一周的时间为$14÷2=7$秒，即运动周期为7秒。
3. 求总时间对应的周期余数
$2026÷7=289······3$，说明2026秒时瓢虫爬完289个完整周期后，又从A点出发爬行了3秒。
4. 确定最终位置
3秒瓢虫爬行的总路程为$3×2=6$个单位：
从A到B路程为3，耗时$3÷2=1.5$秒，到达$B(-1,-2)$；
剩余$3-1.5=1.5$秒，爬行路程为$1.5×2=3$个单位，沿BC向x轴正方向爬行，横坐标变为$-1+3=2$，纵坐标保持-2不变，对应坐标为$(2,-2)$。
【答案】
D
【知识点】
点的坐标计算，矩形周长，周期规律探究
【点评】
本题将坐标系坐标性质和周期运动规律结合考查，解题核心是准确求出运动周期，再结合剩余运动时长推导最终位置，是规律探究类的典型习题，能有效锻炼学生分析运动过程的能力。
【难度系数】
0.7
2. [2026安庆期中]如图,一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动,在第一分钟,它从原点运动到点(1,0),第二分钟,它从点(1,0)运动到点(1,1),而后它接着按图中箭头所示的方向运动,且每分钟运动1个单位长度,那么在第2026分钟时,这个粒子所在位置的坐标是 (
A.(45,3)
B.(45,2)
C.(45,1)
D.(45,0)
C
)A.(45,3)
B.(45,2)
C.(45,1)
D.(45,0)
答案
2 C 由题意知,到(1,1)处时粒子运动了1×2=2(分),将向左运动;到(2,2)处时粒子运动了2×3=6(分),将向下运动;到(3,3)处时粒子运动了3×4=12(分),将向左运动……由此可知到(45,45)处时粒子运动了45×46=2070(分),此时粒子将会向左运动,之前是向上运动.因为2070-2026=44,所以在第2026分钟时,粒子所在位置的坐标为(45,1).
解析
【分析】
解决本题的核心是先总结粒子运动到对角点(n,n)的时间规律和对应运动方向：首先观察前几个特殊对角点的运动时长，归纳出通用的时间公式，再找到最接近2026分钟的对角点对应的时间，结合该点的运动方向和时间差值，即可推导出2026分钟时粒子的坐标。
【解析】
观察粒子运动特征可总结规律：
1. 粒子到达点$(n,n)$时，总运动时间为$n(n+1)$分钟；
2. 当$n$为奇数时，到达点$(n,n)$前粒子的运动方向为向上，到达后将向左运动；当$n$为偶数时，到达点$(n,n)$前粒子运动方向为向右，到达后将向下运动。
计算得：当$n=45$时，粒子到达$(45,45)$的总时间为$45×46=2070$分钟，45为奇数，因此到达$(45,45)$前粒子沿$x=45$向上运动。
时间差值为$2070-2026=44$，说明第2026分钟时，粒子还需要向上运动44分钟才能到达$(45,45)$，此时粒子纵坐标为$45-44=1$，横坐标为45，对应坐标为$(45,1)$。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系，坐标规律探究，归纳推理
【点评】
本题是典型的坐标系动点规律探究题，需要学生从特殊的运动节点中总结通用规律，再结合运动方向和时间差推导目标位置，能有效考察学生的观察归纳能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是先总结粒子运动到对角点(n,n)的时间规律和对应运动方向：首先观察前几个特殊对角点的运动时长，归纳出通用的时间公式，再找到最接近2026分钟的对角点对应的时间，结合该点的运动方向和时间差值，即可推导出2026分钟时粒子的坐标。
【解析】
观察粒子运动特征可总结规律：
1. 粒子到达点$(n,n)$时，总运动时间为$n(n+1)$分钟；
2. 当$n$为奇数时，到达点$(n,n)$前粒子的运动方向为向上，到达后将向左运动；当$n$为偶数时，到达点$(n,n)$前粒子运动方向为向右，到达后将向下运动。
计算得：当$n=45$时，粒子到达$(45,45)$的总时间为$45×46=2070$分钟，45为奇数，因此到达$(45,45)$前粒子沿$x=45$向上运动。
时间差值为$2070-2026=44$，说明第2026分钟时，粒子还需要向上运动44分钟才能到达$(45,45)$，此时粒子纵坐标为$45-44=1$，横坐标为45，对应坐标为$(45,1)$。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系，坐标规律探究，归纳推理
【点评】
本题是典型的坐标系动点规律探究题，需要学生从特殊的运动节点中总结通用规律，再结合运动方向和时间差推导目标位置，能有效考察学生的观察归纳能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
3. 如图,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆$O_1,O_2,O_3,\dots$组成一条平滑的曲线,点$P$从原点$O$出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒$\frac{π}{2}$个单位长度,则第2026秒时,点$P$的坐标是 (
A.$(2024, -1)$
B.$(2024,0)$
C.$(2026, -1)$
D.$(2026,0)$
D
)A.$(2024, -1)$
B.$(2024,0)$
C.$(2026, -1)$
D.$(2026,0)$
答案
3 D 因为半圆的半径均为1,所以半圆弧的长均为π.由题意,得第2026秒时,点P运动的路径长为$\frac{π}{2}$×2026=1013π.因为1013π÷π=1013,所以点P位于第1013个半圆的末尾处,所以此时点P的横坐标为1013×2=2026,纵坐标为0,即P(2026,0).
解析
【分析】
解题时按以下思路逐步推导：第一步，先计算单个半圆弧的长度，已知半圆半径为1，根据半圆弧长公式可求出单段半圆弧长为π；第二步，结合点P的运动速度和运动时间，计算2026秒时点P运动的总路程；第三步，用总路程除以单个半圆弧长，得到点P走过的完整半圆个数；第四步，结合半圆的排列规律，观察每个半圆的终点坐标特征，即可得出对应位置的点坐标。
【解析】
解：已知所有半圆的半径均为1个单位长度，
则单个半圆弧的长度为：$π × 1 = π$。
点P的运动速度为每秒$\frac{π}{2}$个单位长度，运动时间为2026秒，
则总运动路程为：$\frac{π}{2} × 2026 = 1013π$。
点P走过的完整半圆个数为：$1013π ÷ π = 1013$。
观察曲线规律可知：每个完整半圆的终点都在x轴上，横坐标为走过的半圆个数×2，纵坐标为0，
因此第1013个半圆的终点横坐标为$1013 × 2 = 2026$，纵坐标为0，即点P坐标为$(2026,0)$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
弧长计算、坐标规律探究、行程问题
【点评】
本题将弧长计算、行程问题与坐标规律相结合，需要学生准确梳理运动路径的特征，找到坐标变化的规律，既考查基础计算能力，也考查规律归纳能力。
【难度系数】
0.7
解题时按以下思路逐步推导：第一步，先计算单个半圆弧的长度，已知半圆半径为1，根据半圆弧长公式可求出单段半圆弧长为π；第二步，结合点P的运动速度和运动时间，计算2026秒时点P运动的总路程；第三步，用总路程除以单个半圆弧长，得到点P走过的完整半圆个数；第四步，结合半圆的排列规律，观察每个半圆的终点坐标特征，即可得出对应位置的点坐标。
【解析】
解：已知所有半圆的半径均为1个单位长度，
则单个半圆弧的长度为：$π × 1 = π$。
点P的运动速度为每秒$\frac{π}{2}$个单位长度，运动时间为2026秒，
则总运动路程为：$\frac{π}{2} × 2026 = 1013π$。
点P走过的完整半圆个数为：$1013π ÷ π = 1013$。
观察曲线规律可知：每个完整半圆的终点都在x轴上，横坐标为走过的半圆个数×2，纵坐标为0，
因此第1013个半圆的终点横坐标为$1013 × 2 = 2026$，纵坐标为0，即点P坐标为$(2026,0)$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
弧长计算、坐标规律探究、行程问题
【点评】
本题将弧长计算、行程问题与坐标规律相结合，需要学生准确梳理运动路径的特征，找到坐标变化的规律，既考查基础计算能力，也考查规律归纳能力。
【难度系数】
0.7
4. [2024 绥化中考] 如图,已知点$A_1(1,-\sqrt{3})$,$A_2(3,-\sqrt{3})$,$A_3(4,0)$,$A_4(6,0)$,$A_5(7,\sqrt{3})$,$A_6(9,\sqrt{3})$,$A_7(10,0)$,$A_8(11,-\sqrt{3})$,$···$,依此规律,则点$A_{2024}$的坐标为
(2 891, -√3)
.答案
4 (2 891, -√3) 由题知,$A_1(1,-\sqrt{3})$,$A_2(3,-\sqrt{3})$,$A_3(4,0)$,$A_4(6,0)$,$A_5(7,\sqrt{3})$,$A_6(9,\sqrt{3})$,$A_7(10,0)$,$A_8(11,-\sqrt{3})$,$A_9(13,-\sqrt{3})$,$A_{10}(14,0)$,$A_{11}(16,0)$,$A_{12}(17,\sqrt{3})$,$A_{13}(19,\sqrt{3})$,$A_{14}(20,0)$,…,由此可见,每七个点一组,点$A_n$的横坐标对应增加10,且纵坐标按$-\sqrt{3},-\sqrt{3},0,0,\sqrt{3},\sqrt{3},0$循环出现.又因为2024÷7=289……1,所以$A_{2024}$为第290组的第一个点,所以点$A_{2024}$的横坐标为1+289×10=2 891,纵坐标为$-\sqrt{3}$,则点$A_{2024}$的坐标为(2 891, -√3).
解析
【分析】
解决点的坐标规律类问题，通常将横坐标、纵坐标分开研究变化规律：第一步先观察已知点的纵坐标，可发现纵坐标是按固定顺序循环出现的，先确定循环周期；第二步观察每经过一个完整的循环周期，横坐标的总增量；第三步计算2024除以周期数得到商和余数，根据余数确定点$A_{2024}$对应循环节中的位置，即可得到纵坐标，再结合初始横坐标、商和每周期横坐标增量计算出横坐标，最终得到所求点的坐标。
【解析】
观察给出的点的坐标：
$A_1(1,-\sqrt{3})$,$A_2(3,-\sqrt{3})$,$A_3(4,0)$,$A_4(6,0)$,$A_5(7,\sqrt{3})$,$A_6(9,\sqrt{3})$,$A_7(10,0)$,$A_8(11,-\sqrt{3})$……
可得规律：每7个点为一个循环周期，纵坐标的循环节为$-\sqrt{3},-\sqrt{3},0,0,\sqrt{3},\sqrt{3},0$，且每经过一个周期，横坐标总增量为10。
计算$2024÷7=289······1$，余数为1，说明$A_{2024}$是第290个循环周期的第1个点，因此纵坐标与每个周期第1个点的纵坐标相同，为$-\sqrt{3}$。
横坐标计算：初始第1个点横坐标为1，经过289个完整周期，横坐标总增量为$289×10$，因此横坐标为$1+289×10=2891$。
综上，点$A_{2024}$的坐标为$(2891,-\sqrt{3})$。
【答案】
$\boxed{(2891, -\sqrt{3})}$
【知识点】
点的坐标规律探究，周期循环问题，有理数运算
【点评】
本题属于规律探究类题型，核心解题思路是拆分横、纵坐标分别找规律，重点考查学生的观察能力、归纳总结能力和运算能力，掌握周期类规律题的通用解法即可快速求解。
【难度系数】
0.6
解决点的坐标规律类问题，通常将横坐标、纵坐标分开研究变化规律：第一步先观察已知点的纵坐标，可发现纵坐标是按固定顺序循环出现的，先确定循环周期；第二步观察每经过一个完整的循环周期，横坐标的总增量；第三步计算2024除以周期数得到商和余数，根据余数确定点$A_{2024}$对应循环节中的位置，即可得到纵坐标，再结合初始横坐标、商和每周期横坐标增量计算出横坐标，最终得到所求点的坐标。
【解析】
观察给出的点的坐标：
$A_1(1,-\sqrt{3})$,$A_2(3,-\sqrt{3})$,$A_3(4,0)$,$A_4(6,0)$,$A_5(7,\sqrt{3})$,$A_6(9,\sqrt{3})$,$A_7(10,0)$,$A_8(11,-\sqrt{3})$……
可得规律：每7个点为一个循环周期，纵坐标的循环节为$-\sqrt{3},-\sqrt{3},0,0,\sqrt{3},\sqrt{3},0$，且每经过一个周期，横坐标总增量为10。
计算$2024÷7=289······1$，余数为1，说明$A_{2024}$是第290个循环周期的第1个点，因此纵坐标与每个周期第1个点的纵坐标相同，为$-\sqrt{3}$。
横坐标计算：初始第1个点横坐标为1，经过289个完整周期，横坐标总增量为$289×10$，因此横坐标为$1+289×10=2891$。
综上，点$A_{2024}$的坐标为$(2891,-\sqrt{3})$。
【答案】
$\boxed{(2891, -\sqrt{3})}$
【知识点】
点的坐标规律探究，周期循环问题，有理数运算
【点评】
本题属于规律探究类题型，核心解题思路是拆分横、纵坐标分别找规律，重点考查学生的观察能力、归纳总结能力和运算能力，掌握周期类规律题的通用解法即可快速求解。
【难度系数】
0.6
5. [2025西安高陵区期中]在平面直角坐标系中，对于点$P(x,y)$，我们把$P_1(y-1, -x-1)$叫作点$P$的友好点.已知点$A_1$的友好点为$A_2$，点$A_2$的友好点为$A_3$，点$A_3$的友好点为$A_4$，这样依次得到各点.若点$A_{2024}$的坐标为$(-4,3)$，设$A_1(a,b)$，则$a+b$的值是（
A.$-1$
B.$1$
C.$5$
D.$-5$
C
）A.$-1$
B.$1$
C.$5$
D.$-5$
答案
5 C 由题意可得,点$A_2(b-1, -a-1)$,$A_3(-a-2, -b)$,$A_4(-b-1,a+1)$,$A_5(a,b)$,…,依次类推,每4个点为一个循环.又因为2024÷4=506,所以点$A_{2024}$的坐标和点$A_4$的坐标相同,所以$-b-1=-4$,$a+1=3$,所以$a=2$,$b=3$,所以$a+b=5$.
解析
【分析】
首先要准确理解“友好点”的新定义，按照定义依次推导前几个点的坐标，寻找坐标的循环规律；再通过计算2024除以循环周期的结果，确定A₂₀₂₄对应循环组内的位置，得到它和Aₙ的坐标对应关系；最后根据坐标相等列方程求解a、b的值，即可算出a+b的结果。
【解析】
根据友好点的定义，已知$A_1(a,b)$，依次推导各点坐标：
$A_2$的坐标为$(b-1, -a-1)$，
$A_3$的坐标为$(-a-1-1, -(b-1)-1)=(-a-2, -b)$，
$A_4$的坐标为$(-b-1, -(-a-2)-1)=(-b-1, a+1)$，
$A_5$的坐标为$(a+1-1, -(-b-1)-1)=(a,b)$，
由此可得每4个点为一个循环周期，坐标依次重复。
因为$2024÷4=506$，没有余数，所以$A_{2024}$的坐标与$A_4$的坐标相同。
已知$A_{2024}(-4,3)$，可列方程：
$\begin{cases}-b-1=-4\\a+1=3\end{cases}$
解得$a=2$，$b=3$，因此$a+b=2+3=5$，故选C。
【答案】C
【知识点】
新定义坐标变换，周期规律探究，一元一次方程求解
【点评】
本题是新定义结合坐标规律的常规题型，解题关键是先推导前几个点的坐标找到循环周期，再利用周期将大序号点转化为循环内的对应点，进而通过坐标相等列方程求解，对规律探究能力和基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
首先要准确理解“友好点”的新定义，按照定义依次推导前几个点的坐标，寻找坐标的循环规律；再通过计算2024除以循环周期的结果，确定A₂₀₂₄对应循环组内的位置，得到它和Aₙ的坐标对应关系；最后根据坐标相等列方程求解a、b的值，即可算出a+b的结果。
【解析】
根据友好点的定义，已知$A_1(a,b)$，依次推导各点坐标：
$A_2$的坐标为$(b-1, -a-1)$，
$A_3$的坐标为$(-a-1-1, -(b-1)-1)=(-a-2, -b)$，
$A_4$的坐标为$(-b-1, -(-a-2)-1)=(-b-1, a+1)$，
$A_5$的坐标为$(a+1-1, -(-b-1)-1)=(a,b)$，
由此可得每4个点为一个循环周期，坐标依次重复。
因为$2024÷4=506$，没有余数，所以$A_{2024}$的坐标与$A_4$的坐标相同。
已知$A_{2024}(-4,3)$，可列方程：
$\begin{cases}-b-1=-4\\a+1=3\end{cases}$
解得$a=2$，$b=3$，因此$a+b=2+3=5$，故选C。
【答案】C
【知识点】
新定义坐标变换，周期规律探究，一元一次方程求解
【点评】
本题是新定义结合坐标规律的常规题型，解题关键是先推导前几个点的坐标找到循环周期，再利用周期将大序号点转化为循环内的对应点，进而通过坐标相等列方程求解，对规律探究能力和基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
