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9. [2025合肥期末]如果将平面直角坐标系中的点$P(a-3,b+2)$平移到点$(a,b)$的位置，那么下列平移方法中正确的是（
A.向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
B.向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度
C.向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
D.向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度
C
）A.向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
B.向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度
C.向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
D.向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度
答案
9. C 由$(a - 3 + 3,b + 2 - 2)$可得$(a,b)$,结合点的坐标的平移规律可知,平移方法为向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度.
解析
【分析】
解决本题首先要掌握平面直角坐标系中点的平移规律：横坐标遵循“左减右加”（向左平移横坐标减小，向右平移横坐标增大），纵坐标遵循“上加下减”（向上平移纵坐标增大，向下平移纵坐标减小）。我们只需分别计算平移前后点的横坐标、纵坐标的变化量，再对应平移规律就能判断出正确的平移方法。
【解析】
已知平移前点的坐标为$\boldsymbol{(a-3,b+2)}$，平移后点的坐标为$\boldsymbol{(a,b)}$：
1. 计算横坐标变化：$a-(a-3)=3$，说明横坐标增加了3，对应向右平移3个单位长度；
2. 计算纵坐标变化：$b-(b+2)=-2$，说明纵坐标减少了2，对应向下平移2个单位长度。
综上，平移方法为向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
点的坐标平移规律
【点评】
本题是坐标系平移的基础题，核心考查平移规则的应用，只要牢记“左减右加、上加下减”的规律，分别对比横纵坐标的变化即可快速解题，需注意不要混淆纵坐标变化对应的上下平移方向。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要掌握平面直角坐标系中点的平移规律：横坐标遵循“左减右加”（向左平移横坐标减小，向右平移横坐标增大），纵坐标遵循“上加下减”（向上平移纵坐标增大，向下平移纵坐标减小）。我们只需分别计算平移前后点的横坐标、纵坐标的变化量，再对应平移规律就能判断出正确的平移方法。
【解析】
已知平移前点的坐标为$\boldsymbol{(a-3,b+2)}$，平移后点的坐标为$\boldsymbol{(a,b)}$：
1. 计算横坐标变化：$a-(a-3)=3$，说明横坐标增加了3，对应向右平移3个单位长度；
2. 计算纵坐标变化：$b-(b+2)=-2$，说明纵坐标减少了2，对应向下平移2个单位长度。
综上，平移方法为向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
点的坐标平移规律
【点评】
本题是坐标系平移的基础题，核心考查平移规则的应用，只要牢记“左减右加、上加下减”的规律，分别对比横纵坐标的变化即可快速解题，需注意不要混淆纵坐标变化对应的上下平移方向。
【难度系数】
0.8
10. [2026大庆龙凤区期中] 在平面直角坐标系中，将点$ P(-x,1-x) $先向右平移3个单位长度得点$ P_1 $，再将点$ P_1 $向下平移3个单位长度得点$ P_2 $，若点$ P_2 $落在第四象限，则$ x $的取值范围是（
A.$ x＞3 $
B.$ -2＜x＜3 $
C.$ x＜-2 $
D.$ x＜-2 $或$ x＞3 $
B
）A.$ x＞3 $
B.$ -2＜x＜3 $
C.$ x＜-2 $
D.$ x＜-2 $或$ x＞3 $
答案
10. B 点$ P(-x,1-x) $先向右平移3个单位长度,再向下平移3个单位长度得到点$ P_2(-x+3,1-x-3) $. 因为点$ P_2 $位于第四象限,所以$\begin{cases} -x + 3 ＞ 0, \\ 1 - x - 3 ＜ 0, \end{cases}$解得$-2 ＜ x ＜ 3$.
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中点的平移规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减。首先根据平移规则计算出点$P_2$的坐标，再结合第四象限内点的坐标特征（横坐标为正，纵坐标为负）列出关于$x$的一元一次不等式组，最后解不等式组即可得到$x$的取值范围。
【解析】
1. 计算平移后点$P_2$的坐标：
点$P(-x,1-x)$向右平移3个单位长度，横坐标加3，纵坐标不变，得到$P_1(-x+3, 1-x)$；
再将$P_1$向下平移3个单位长度，纵坐标减3，横坐标不变，因此$P_2$的坐标为$(-x+3, 1-x-3)$，即$(-x+3, -x-2)$。
2. 根据第四象限点的坐标特征列不等式组：
第四象限内的点横坐标＞0，纵坐标＜0，因此可得：
$\begin{cases} -x + 3 ＞ 0 \quad ① \\ -x - 2 ＜ 0 \quad ② \end{cases}$
解不等式①：移项得$-x ＞ -3$，两边同时乘$-1$（不等号方向改变），得$x ＜ 3$；
解不等式②：移项得$-x ＜ 2$，两边同时乘$-1$（不等号方向改变），得$x ＞ -2$；
取两个解集的公共部分，得$-2 ＜ x ＜ 3$。
【答案】
B
【知识点】
点的平移规律、象限内点的坐标特征、解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础综合题，将坐标平移、象限坐标性质与不等式组的解法结合考察，难度不大，熟练掌握平移规则和各象限内点的坐标符号特点是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平面直角坐标系中点的平移规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减。首先根据平移规则计算出点$P_2$的坐标，再结合第四象限内点的坐标特征（横坐标为正，纵坐标为负）列出关于$x$的一元一次不等式组，最后解不等式组即可得到$x$的取值范围。
【解析】
1. 计算平移后点$P_2$的坐标：
点$P(-x,1-x)$向右平移3个单位长度，横坐标加3，纵坐标不变，得到$P_1(-x+3, 1-x)$；
再将$P_1$向下平移3个单位长度，纵坐标减3，横坐标不变，因此$P_2$的坐标为$(-x+3, 1-x-3)$，即$(-x+3, -x-2)$。
2. 根据第四象限点的坐标特征列不等式组：
第四象限内的点横坐标＞0，纵坐标＜0，因此可得：
$\begin{cases} -x + 3 ＞ 0 \quad ① \\ -x - 2 ＜ 0 \quad ② \end{cases}$
解不等式①：移项得$-x ＞ -3$，两边同时乘$-1$（不等号方向改变），得$x ＜ 3$；
解不等式②：移项得$-x ＜ 2$，两边同时乘$-1$（不等号方向改变），得$x ＞ -2$；
取两个解集的公共部分，得$-2 ＜ x ＜ 3$。
【答案】
B
【知识点】
点的平移规律、象限内点的坐标特征、解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础综合题，将坐标平移、象限坐标性质与不等式组的解法结合考察，难度不大，熟练掌握平移规则和各象限内点的坐标符号特点是解题的关键。
【难度系数】
0.7
11. ▶易错题 已知点$A(3,4),B(-1,-2)$,将线段AB平移得到线段CD,点A,B的对应点分别为点C,D,若点C,D恰好都在坐标轴上,则点C的坐标为
(4,0)或(0,6)
答案
11. (4,0)或(0,6) 如图,将线段$AB$先向右平移1个单位长度,再向下平移4个单位长度或先向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度,点$C,D$都在坐标轴上,所以点$C$的坐标为$(4,0)$或$(0,6)$.
解析
【分析】
解决本题首先要利用平移的性质：线段平移时，线段上所有点的横坐标变化量、纵坐标变化量均相同。我们可以先设出平移的横、纵坐标变化量，再根据“点C、D都在坐标轴上”的条件分类讨论：因为A、B两点的横、纵坐标均不相等，所以平移后C、D不可能同时在x轴或同时在y轴，因此只有两种情况：①C在y轴、D在x轴；②C在x轴、D在y轴，结合坐标轴上点的坐标特征（x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0）列方程求解即可。
【解析】
设线段AB平移时，所有点的横坐标增加$a$，纵坐标增加$b$，根据平移的坐标变化规律可得：
点$A(3,4)$平移后对应点$C$的坐标为$(3+a, 4+b)$，点$B(-1,-2)$平移后对应点$D$的坐标为$(-1+a, -2+b)$。
由于$C$、$D$都在坐标轴上，且不可能同时在x轴或同时在y轴（若同时在x轴则$4+b=0$且$-2+b=0$，矛盾；若同时在y轴则$3+a=0$且$-1+a=0$，矛盾），因此分两种情况讨论：
情况1：$C$在y轴上（横坐标为0），$D$在x轴上（纵坐标为0），可得方程组：
$\begin{cases}3+a=0 \\ -2+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-3 \\ b=2\end{cases}$
此时点$C$的坐标为$(3-3, 4+2)$，即$(0,6)$；
情况2：$C$在x轴上（纵坐标为0），$D$在y轴上（横坐标为0），可得方程组：
$\begin{cases}4+b=0 \\ -1+a=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1 \\ b=-4\end{cases}$
此时点$C$的坐标为$(3+1, 4-4)$，即$(4,0)$。
综上，点$C$的坐标为$(4,0)$或$(0,6)$。
也可通过平移操作验证：将线段$AB$先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，或先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，点$C,D$都在坐标轴上。
【答案】
(4,0)或(0,6)
【知识点】
坐标平移规律，坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题是易错题，解题关键是掌握平移时坐标的变化规律，易错点是忽略分类讨论，只算出其中一个点的坐标，导致漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要利用平移的性质：线段平移时，线段上所有点的横坐标变化量、纵坐标变化量均相同。我们可以先设出平移的横、纵坐标变化量，再根据“点C、D都在坐标轴上”的条件分类讨论：因为A、B两点的横、纵坐标均不相等，所以平移后C、D不可能同时在x轴或同时在y轴，因此只有两种情况：①C在y轴、D在x轴；②C在x轴、D在y轴，结合坐标轴上点的坐标特征（x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0）列方程求解即可。
【解析】
设线段AB平移时，所有点的横坐标增加$a$，纵坐标增加$b$，根据平移的坐标变化规律可得：
点$A(3,4)$平移后对应点$C$的坐标为$(3+a, 4+b)$，点$B(-1,-2)$平移后对应点$D$的坐标为$(-1+a, -2+b)$。
由于$C$、$D$都在坐标轴上，且不可能同时在x轴或同时在y轴（若同时在x轴则$4+b=0$且$-2+b=0$，矛盾；若同时在y轴则$3+a=0$且$-1+a=0$，矛盾），因此分两种情况讨论：
情况1：$C$在y轴上（横坐标为0），$D$在x轴上（纵坐标为0），可得方程组：
$\begin{cases}3+a=0 \\ -2+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-3 \\ b=2\end{cases}$
此时点$C$的坐标为$(3-3, 4+2)$，即$(0,6)$；
情况2：$C$在x轴上（纵坐标为0），$D$在y轴上（横坐标为0），可得方程组：
$\begin{cases}4+b=0 \\ -1+a=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1 \\ b=-4\end{cases}$
此时点$C$的坐标为$(3+1, 4-4)$，即$(4,0)$。
综上，点$C$的坐标为$(4,0)$或$(0,6)$。
也可通过平移操作验证：将线段$AB$先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，或先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，点$C,D$都在坐标轴上。
【答案】
(4,0)或(0,6)
【知识点】
坐标平移规律，坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题是易错题，解题关键是掌握平移时坐标的变化规律，易错点是忽略分类讨论，只算出其中一个点的坐标，导致漏解。
【难度系数】
0.6
12. 如图是一组密码的一部分,为了保密,许多情况下会采用不同的“密钥”,请你运用所学知识找到破译的“密钥”.目前已破译出“守初心”的对应口令是“担使命”.根据你发现的“密钥”,破译出“找差距”的对应口令是
抓落实
.答案
12. 抓落实 因为“守初心”的对应口令是“担使命”,“守”所对应的字为“担”,是从“守”字开始先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后得到的,其他各个字的对应字也是这样平移得到的,所以“找差距”的对应口令是“抓落实”.
解析
【分析】
我们可以把每个字看作平面直角坐标系中的点，横坐标对应列数（向右为正方向），纵坐标对应行数（向上为正方向）。首先通过已知的“守初心”对应“担使命”的关系，分别找出两组对应字的坐标，对比坐标变化规律就能得到破译的密钥，再将“找差距”三个字的坐标按照该规律变换，找到对应位置的字即可得到答案。
【解析】
设每个字对应平面直角坐标系中的坐标为$(x,y)$，其中x向右为正，y向上为正：
1. 推导平移密钥
查找对应字的坐标：“守”坐标为$(4,5)$，对应“担”坐标为$(3,7)$；“初”坐标为$(2,3)$，对应“使”坐标为$(1,5)$；“心”坐标为$(7,4)$，对应“命”坐标为$(6,6)$。
对比坐标可得平移规律：对应点横坐标减1（向左平移1个单位），纵坐标加2（向上平移2个单位），即$(x,y)\to(x-1,y+2)$。
2. 计算“找差距”的对应口令
“找”坐标为$(2,1)$，平移后坐标为$(2-1,1+2)=(1,3)$，对应字为“抓”；
“差”坐标为$(2,5)$，平移后坐标为$(2-1,5+2)=(1,7)$，对应字为“落”；
“距”坐标为$(7,3)$，平移后坐标为$(7-1,3+2)=(6,5)$，对应字为“实”。
【答案】
抓落实
【知识点】
坐标平移规律，图形的平移
【点评】
本题结合趣味密码场景考查平移的相关知识，解题核心是通过已知对应关系归纳出平移规则，再迁移规则求解问题，既考查了平移知识点的掌握程度，也锻炼了观察归纳的能力。
【难度系数】
0.7
我们可以把每个字看作平面直角坐标系中的点，横坐标对应列数（向右为正方向），纵坐标对应行数（向上为正方向）。首先通过已知的“守初心”对应“担使命”的关系，分别找出两组对应字的坐标，对比坐标变化规律就能得到破译的密钥，再将“找差距”三个字的坐标按照该规律变换，找到对应位置的字即可得到答案。
【解析】
设每个字对应平面直角坐标系中的坐标为$(x,y)$，其中x向右为正，y向上为正：
1. 推导平移密钥
查找对应字的坐标：“守”坐标为$(4,5)$，对应“担”坐标为$(3,7)$；“初”坐标为$(2,3)$，对应“使”坐标为$(1,5)$；“心”坐标为$(7,4)$，对应“命”坐标为$(6,6)$。
对比坐标可得平移规律：对应点横坐标减1（向左平移1个单位），纵坐标加2（向上平移2个单位），即$(x,y)\to(x-1,y+2)$。
2. 计算“找差距”的对应口令
“找”坐标为$(2,1)$，平移后坐标为$(2-1,1+2)=(1,3)$，对应字为“抓”；
“差”坐标为$(2,5)$，平移后坐标为$(2-1,5+2)=(1,7)$，对应字为“落”；
“距”坐标为$(7,3)$，平移后坐标为$(7-1,3+2)=(6,5)$，对应字为“实”。
【答案】
抓落实
【知识点】
坐标平移规律，图形的平移
【点评】
本题结合趣味密码场景考查平移的相关知识，解题核心是通过已知对应关系归纳出平移规则，再迁移规则求解问题，既考查了平移知识点的掌握程度，也锻炼了观察归纳的能力。
【难度系数】
0.7
13. [2026信阳羊山中学段考]在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，现将三角形ABC平移，使得点A移至图中点A'的位置.
(1)平移后所得三角形A'B'C'的顶点B'的坐标为
(2)求平移过程中AB扫过的面积.
(1)平移后所得三角形A'B'C'的顶点B'的坐标为
(5,3)
,C'的坐标为(8,4)
(点B',C'分别为点B,C的对应点);(2)求平移过程中AB扫过的面积.
答案
13. 解:(1)$(5,3)$ $(8,4)$
如图,三角形$A'B'C'$为平移后的三角形,则$B'(5,3),C'(8,4)$.
(2)如图,平移过程中$AB$扫过的面积为$S_{四边形ABB'A'} = S_{长方形DEFG} - S_{三角形ABD} - S_{三角形AEA'} - S_{三角形A'FB'} - S_{三角形BGB'} = 6 × 3 - \frac{1}{2} × 1 × 2 - \frac{1}{2} × 2 × 4 - \frac{1}{2} × 1 × 2 - \frac{1}{2} × 2 × 4 = 8$.
解析
【分析】
(1)要得到平移后B'、C'的坐标，首先需要确定平移的规律：先找到平移前点A的坐标和平移后对应点A'的坐标，计算两点横、纵坐标的差值，即可得到整体平移的坐标变化规则，再将点B、C的坐标按该规则计算，就能得到B'、C'的坐标。
(2)平移过程中线段AB扫过的图形是平行四边形ABB'A'，直接计算该平行四边形面积不够直观，可采用割补法：将平行四边形放在一个覆盖它的长方形中，用长方形的面积减去周围四个多余的直角三角形的面积，即可得到AB扫过的面积。
【解析】
(1)首先确定各点初始坐标：点A坐标为$(3,0)$，点B坐标为$(1,1)$，点C坐标为$(4,2)$，平移后点A'坐标为$(7,2)$。
可得平移规律为：横坐标向右平移$7-3=4$个单位，纵坐标向上平移$2-0=2$个单位，即平移后点的坐标为（原横坐标+4，原纵坐标+2）。
因此点B'的坐标为$(1+4,1+2)=(5,3)$，点C'的坐标为$(4+4,2+2)=(8,4)$。
(2)平移过程中AB扫过的图形为平行四边形$ABB'A'$，使用割补法计算面积：
构造覆盖该平行四边形的长方形$DEFG$，长为6，宽为3，四个角多余的部分均为直角三角形。
$S_{四边形ABB'A'} = S_{长方形DEFG} - S_{△ABD} - S_{△AEA'} - S_{△A'FB'} - S_{△BGB'}$
代入数值计算：
$= 6 × 3 - \frac{1}{2} × 1 × 2 - \frac{1}{2} × 2 × 4 - \frac{1}{2} × 1 × 2 - \frac{1}{2} × 2 × 4$
$=18 -1 -4 -1 -4$
$=8$
【答案】
(1)$(5,3)$；$(8,4)$
(2)$8$
【知识点】
平面直角坐标系中点的平移规律，割补法求不规则图形面积，平移的性质
【点评】
本题考查图形在坐标系中的平移相关知识，解题核心是先根据对应点的坐标变化确定平移规则，再结合割补法求解平移扫过区域的面积，是平移章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1)要得到平移后B'、C'的坐标，首先需要确定平移的规律：先找到平移前点A的坐标和平移后对应点A'的坐标，计算两点横、纵坐标的差值，即可得到整体平移的坐标变化规则，再将点B、C的坐标按该规则计算，就能得到B'、C'的坐标。
(2)平移过程中线段AB扫过的图形是平行四边形ABB'A'，直接计算该平行四边形面积不够直观，可采用割补法：将平行四边形放在一个覆盖它的长方形中，用长方形的面积减去周围四个多余的直角三角形的面积，即可得到AB扫过的面积。
【解析】
(1)首先确定各点初始坐标：点A坐标为$(3,0)$，点B坐标为$(1,1)$，点C坐标为$(4,2)$，平移后点A'坐标为$(7,2)$。
可得平移规律为：横坐标向右平移$7-3=4$个单位，纵坐标向上平移$2-0=2$个单位，即平移后点的坐标为（原横坐标+4，原纵坐标+2）。
因此点B'的坐标为$(1+4,1+2)=(5,3)$，点C'的坐标为$(4+4,2+2)=(8,4)$。
(2)平移过程中AB扫过的图形为平行四边形$ABB'A'$，使用割补法计算面积：
构造覆盖该平行四边形的长方形$DEFG$，长为6，宽为3，四个角多余的部分均为直角三角形。
$S_{四边形ABB'A'} = S_{长方形DEFG} - S_{△ABD} - S_{△AEA'} - S_{△A'FB'} - S_{△BGB'}$
代入数值计算：
$= 6 × 3 - \frac{1}{2} × 1 × 2 - \frac{1}{2} × 2 × 4 - \frac{1}{2} × 1 × 2 - \frac{1}{2} × 2 × 4$
$=18 -1 -4 -1 -4$
$=8$
【答案】
(1)$(5,3)$；$(8,4)$
(2)$8$
【知识点】
平面直角坐标系中点的平移规律，割补法求不规则图形面积，平移的性质
【点评】
本题考查图形在坐标系中的平移相关知识，解题核心是先根据对应点的坐标变化确定平移规则，再结合割补法求解平移扫过区域的面积，是平移章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
14. 推理能力 [2024河北中考] 在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”。将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度。
例:“和点”P(2,1)按上述规则连续平移3次后，到达点$P_3(2,2)$，其平移过程如下：$P(2,1)\xrightarrow[余0]{右} P_1(3,1)\xrightarrow[余1]{上} P_2(3,2)\xrightarrow[余2]{左} P_3(2,2)$。
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点$Q_{16}(-1,9)$，则点Q的坐标为（
A.$(6,1)$或$(7,1)$
B.$(15,-7)$或$(8,0)$
C.$(6,0)$或$(8,0)$
D.$(5,1)$或$(7,1)$
例:“和点”P(2,1)按上述规则连续平移3次后，到达点$P_3(2,2)$，其平移过程如下：$P(2,1)\xrightarrow[余0]{右} P_1(3,1)\xrightarrow[余1]{上} P_2(3,2)\xrightarrow[余2]{左} P_3(2,2)$。
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点$Q_{16}(-1,9)$，则点Q的坐标为（
D
）A.$(6,1)$或$(7,1)$
B.$(15,-7)$或$(8,0)$
C.$(6,0)$或$(8,0)$
D.$(5,1)$或$(7,1)$
答案
14. D 当点$Q$的余数(“余数”指“横、纵坐标之和除以3所得的余数”)分别为0,1,2时,平移规律如下：
由上可知,当点$Q$的余数为0时,连续平移16次后的余数为2;当点$Q$的余数为1时,连续平移16次后的余数为1;当点$Q$的余数为2时,连续平移16次后的余数为2. 设$Q(m,n)$. 因为点$Q_{16}$的余数为2,所以分两种情况讨论. ①当点$Q$的余数为0时,点$Q$向右平移1个单位长度后,得到点$Q_1(m+1,n)$,结合平移规律知点$Q_{16}$的坐标为$(m+1-7,n+8)$,即$(m-6,n+8)$,所以$m-6=-1,n+8=9$,解得$m=5,n=1$,所以$Q(5,1)$. ②当点$Q$的余数为2时,点$Q_{16}$的坐标为$(m-8,n+8)$,所以$m-8=-1,n+8=9$,解得$m=7,n=1$,所以$Q(7,1)$. 综上,点$Q$的坐标为$(5,1)$或$(7,1)$,故选D.
解析
【分析】
解题时首先明确平移规则：每次平移方向由当前点横、纵坐标之和除以3的余数决定，余0向右移1个单位，余1向上移1个单位，余2向左移1个单位。已知平移16次后的终点坐标，我们通过分类讨论初始点横纵坐标之和除以3的余数情况，分别计算每种情况下平移16次后横、纵坐标的总变化量，再结合终点坐标列方程求解，同时结合终点的余数排除不符合的情况即可得到初始点坐标。
【解析】
首先计算终点$Q_{16}(-1,9)$的横、纵坐标之和：$-1+9=8$，$8÷3=2······2$，即$Q_{16}$的余数为2。
设点$Q$的坐标为$(m,n)$，按$Q$的余数分三类讨论：
① 当$Q$的余数为0时：
第1次向右平移1个单位得$Q_1(m+1,n)$，之后平移按“向上、向左”2次一循环，剩余$16-1=15$次平移，包含7个完整循环（14次）和1次额外向上平移。7个循环中横坐标共减7、纵坐标共加7，额外1次向上平移纵坐标再加1，因此16次平移总变化为：横坐标$+1-7=-6$，纵坐标$+7+1=+8$。
列方程得：$\begin{cases}m-6=-1\\n+8=9\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=5\\n=1\end{cases}$，验证$5+1=6$，除以3余0，符合条件，即$Q(5,1)$。
② 当$Q$的余数为1时：
平移16次后的余数为1，与$Q_{16}$余数为2矛盾，该情况舍去。
③ 当$Q$的余数为2时：
平移按“向左、向上”2次一循环，16次共8个完整循环，横坐标共减8，纵坐标共加8。
列方程得：$\begin{cases}m-8=-1\\n+8=9\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=7\\n=1\end{cases}$，验证$7+1=8$，除以3余2，符合条件，即$Q(7,1)$。
综上，点$Q$的坐标为$(5,1)$或$(7,1)$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
坐标平移，周期规律探究，分类讨论
【点评】
本题结合新定义和坐标系平移规则，考查规律探究能力与逻辑推理能力，解题关键是按初始余数分类分析平移的坐标变化规律，同时结合终点的余数特征排除无效情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确平移规则：每次平移方向由当前点横、纵坐标之和除以3的余数决定，余0向右移1个单位，余1向上移1个单位，余2向左移1个单位。已知平移16次后的终点坐标，我们通过分类讨论初始点横纵坐标之和除以3的余数情况，分别计算每种情况下平移16次后横、纵坐标的总变化量，再结合终点坐标列方程求解，同时结合终点的余数排除不符合的情况即可得到初始点坐标。
【解析】
首先计算终点$Q_{16}(-1,9)$的横、纵坐标之和：$-1+9=8$，$8÷3=2······2$，即$Q_{16}$的余数为2。
设点$Q$的坐标为$(m,n)$，按$Q$的余数分三类讨论：
① 当$Q$的余数为0时：
第1次向右平移1个单位得$Q_1(m+1,n)$，之后平移按“向上、向左”2次一循环，剩余$16-1=15$次平移，包含7个完整循环（14次）和1次额外向上平移。7个循环中横坐标共减7、纵坐标共加7，额外1次向上平移纵坐标再加1，因此16次平移总变化为：横坐标$+1-7=-6$，纵坐标$+7+1=+8$。
列方程得：$\begin{cases}m-6=-1\\n+8=9\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=5\\n=1\end{cases}$，验证$5+1=6$，除以3余0，符合条件，即$Q(5,1)$。
② 当$Q$的余数为1时：
平移16次后的余数为1，与$Q_{16}$余数为2矛盾，该情况舍去。
③ 当$Q$的余数为2时：
平移按“向左、向上”2次一循环，16次共8个完整循环，横坐标共减8，纵坐标共加8。
列方程得：$\begin{cases}m-8=-1\\n+8=9\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=7\\n=1\end{cases}$，验证$7+1=8$，除以3余2，符合条件，即$Q(7,1)$。
综上，点$Q$的坐标为$(5,1)$或$(7,1)$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
坐标平移，周期规律探究，分类讨论
【点评】
本题结合新定义和坐标系平移规则，考查规律探究能力与逻辑推理能力，解题关键是按初始余数分类分析平移的坐标变化规律，同时结合终点的余数特征排除无效情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
