1. [人文历史]《左传》记载：“先王之制：大都不过叁国之一，中五之一，小九之一。”意思是在春秋时期，城邑的大小是有规定的：大城邑的面积不得超过国都的$\frac{1}{3}$，中城邑不得超过国都的$\frac{1}{5}$，小城邑不得超过国都的$\frac{1}{9}$。假设国都的面积是9 km²，大、中、小城邑分别按国都面积的$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{5}$、$\frac{1}{9}$计算。
（1）大城邑的面积比国都小()km²。
（2）中城邑的面积比小城邑大()km²。

1.(1)6 提示:把国都的面积看作单位“1”,则大城邑的面积比国都的面积小$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$,所以大城邑的面积比国都小$9×\frac{2}{3}=6(\mathrm{km}^2)$。
(2)$\frac{4}{5}$ 提示:把国都的面积看作单位“1”,中城邑的面积比小城邑大$9×(\frac{1}{5}-\frac{1}{9})=\frac{4}{5}(\mathrm{km}^2)$。

2. [新兴社会] AI技术的发展在某些领域可替代人力。某市有无人驾驶清扫车和无人驾驶出租车共72辆,其中无人驾驶清扫车占总量的$\frac{5}{8}$,因市场反馈好,又增加了一些无人驾驶出租车,现在无人驾驶出租车的数量比无人驾驶清扫车多$\frac{1}{3}$。新增加了多少辆无人驾驶出租车?

$72×\frac{5}{8}=45$(辆) $45×(1+\frac{1}{3})=60$(辆)
$72-45=27$(辆) $60-27=33$(辆) 提示:根据题意,已知总量是72辆,其中无人驾驶清扫车占总量的$\frac{5}{8}$,据此可求出无人驾驶清扫车的数量。把无人驾驶清扫车的数量看作单位“1”,则增加后的无人驾驶出租车的数量是无人驾驶清扫车的$(1+\frac{1}{3})$,据此求出增加后的无人驾驶出租车的数量。用原来两种车的总量减去无人驾驶清扫车的数量,就是原来的无人驾驶出租车的数量,最后用增加后的无人驾驶出租车的数量减去原来的无人驾驶出租车的数量,即可求出新增加了多少辆无人驾驶出租车。

3. 算理理解 一起来梳理我们学过的整数乘法、小数乘法和分数乘法吧！
$20×30=(2×10)×(3×10)=(2×3)×(10×10)=6×100=600$
$0.2×0.3=(2×0.1)×(3×0.1)=(2×3)×(0.1×0.1)=6×0.01=0.06$
(1)根据上面两个式子,用同样的方法算一算$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$。
$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=$
(2)下面说法错误的是()。
A. 以上的运算中,“计数单位个数×计数单位个数”得到的是新的计数单位的个数
B. 以上的运算中,“计数单位×计数单位”得到的是新的计数单位
C. 以上的运算方式并不适用于计数单位不同的乘法算式

3.(1)$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=(2×\frac{1}{5})×(3×\frac{1}{5})=(2×3)×(\frac{1}{5}×\frac{1}{5})=6×\frac{1}{25}=\frac{6}{25}$ 提示:根据题干中两个式子的计算过程,将两个分数拆分成“计数单位个数×计数单位”的形式,再用“计数单位个数×计数单位个数”得到新的计数单位的总个数,“计数单位×计数单位”得到新的计数单位,依次相乘得到最后的积。
(2)C 提示:当计数单位不同时,规律仍然适用,如:$20×0.3=(2×10)×(3×0.1)=(2×3)×(10×0.1)=6×1=6$。

4. [结构补充] 桂花的花期是30天，，。紫荆花的花期是多少天？如果列式为$30×(1-\dfrac{1}{3})×\dfrac{3}{4}$，那么横线上的信息分别是()和()。(填序号)
① 杜鹃的花期比桂花长$\dfrac{1}{3}$
② 桂花的花期比杜鹃长$\dfrac{1}{3}$
③ 杜鹃的花期比桂花短$\dfrac{1}{3}$
④ 杜鹃的花期是紫荆花的$\dfrac{3}{4}$
⑤ 紫荆花的花期是杜鹃的$\dfrac{3}{4}$
⑥ 紫荆花的花期比杜鹃短$\dfrac{3}{4}$

4. ③ ⑤ 提示:已知桂花的花期是30天,根据算式“$30×(1-\frac{1}{3})×\frac{3}{4}$”,先把桂花的花期看作单位“1”,$(1-\frac{1}{3})$表示比30天少$\frac{1}{3}$,再把$30×(1-\frac{1}{3})$天看作单位“1”,求单位“1”的$\frac{3}{4}$是多少,与算式匹配的条件为③和⑤。