登录
1.(2025·丽水期末)在$△ ABC$中，$∠ A=50°$，$∠ C=60°$，则$∠ B=$
70°
。答案
1.70°
解析
【分析】
本题是三角形内角求解问题，解题核心是运用三角形内角和定理。首先回忆三角形的三个内角之和为180°，已知△ABC中两个内角的度数，要求第三个角，直接用内角和减去已知两个角的度数即可得到结果。
【解析】
解：根据三角形内角和定理可知，任意三角形的三个内角之和为180°，即在△ABC中：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A=50°$，$∠ C=60°$，代入公式计算可得：
$∠ B = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 50° - 60° = 70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，直接考查三角形内角和定理的应用，计算量小，掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题是三角形内角求解问题，解题核心是运用三角形内角和定理。首先回忆三角形的三个内角之和为180°，已知△ABC中两个内角的度数，要求第三个角，直接用内角和减去已知两个角的度数即可得到结果。
【解析】
解：根据三角形内角和定理可知，任意三角形的三个内角之和为180°，即在△ABC中：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A=50°$，$∠ C=60°$，代入公式计算可得：
$∠ B = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 50° - 60° = 70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，直接考查三角形内角和定理的应用，计算量小，掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠B=50°，DE//BC，则∠1=
80°
.答案
2.80°
解析
【分析】
解题时可以分两步思考：第一步，先利用三角形内角和定理计算出△ABC中∠C的度数，已知三角形三个内角和为180°，题目已经给出∠BAC和∠B的度数，代入就能求出∠C；第二步，根据DE平行BC的条件，利用平行线的性质找到∠1和∠C的等量关系，代入∠C的度数就能得到∠1的结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
∠C = 180° - ∠BAC - ∠B
将∠BAC=50°，∠B=50°代入得：
∠C = 180° - 50° - 50° = 80°
∵DE//BC，两直线平行，内错角相等
∴∠1 = ∠C = 80°
【答案】
80°
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质
【点评】
本题属于基础应用题，核心是结合三角形内角和与平行线的性质求解角度，只要熟练掌握相关定理，准确识别角的位置关系就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时可以分两步思考：第一步，先利用三角形内角和定理计算出△ABC中∠C的度数，已知三角形三个内角和为180°，题目已经给出∠BAC和∠B的度数，代入就能求出∠C；第二步，根据DE平行BC的条件，利用平行线的性质找到∠1和∠C的等量关系，代入∠C的度数就能得到∠1的结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
∠C = 180° - ∠BAC - ∠B
将∠BAC=50°，∠B=50°代入得：
∠C = 180° - 50° - 50° = 80°
∵DE//BC，两直线平行，内错角相等
∴∠1 = ∠C = 80°
【答案】
80°
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质
【点评】
本题属于基础应用题，核心是结合三角形内角和与平行线的性质求解角度，只要熟练掌握相关定理，准确识别角的位置关系就能快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 情境题 教育 为了证明“三角形的内角和是$180°$,王老师给出了下列四种方案.回答下列问题:
课题 证明三角形内角和是$180°$
辅助线示意图 方案一：
方案二：
方案说明 过点C作$EF // AB$ 延长AC到F,过点C作$CE // AB$
辅助线示意图 方案三： 方案四：
方案说明 过点C作$CD // AB$ 过AB上一点D作$DE // BC$,$DF // AC$
(1)方案一、方案二在证明三角形内角和是$180°$的过程中运用的数学思想是 （
A.转化思想 B.整体思想
C.方程思想 D.数形结合思想
(2)请选用方案三或方案四证明三角形的内角和为$180°$.
课题 证明三角形内角和是$180°$
辅助线示意图 方案一：
方案二：方案说明 过点C作$EF // AB$ 延长AC到F,过点C作$CE // AB$
辅助线示意图 方案三： 方案四：
方案说明 过点C作$CD // AB$ 过AB上一点D作$DE // BC$,$DF // AC$
(1)方案一、方案二在证明三角形内角和是$180°$的过程中运用的数学思想是 （
A
）A.转化思想 B.整体思想
C.方程思想 D.数形结合思想
(2)请选用方案三或方案四证明三角形的内角和为$180°$.
答案
3.(1)A （2）选方案三，证明如下：$\because CD// AB,\therefore ∠ A=∠ ACD,∠ B+∠ BCD=180^{\circ }$，$\because ∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD,\therefore ∠ B+∠ ACB+∠ ACD=180^{\circ }$,即$∠ A+∠ B+∠ ACB=180^{\circ }$;选方案四，证明如下：$\because DE// BC,DF// AC,\therefore ∠ B=∠ EDA,∠ A=∠ FDB,∠ C=∠ AED=∠ EDF$,根据平角的定义得$∠ FDB+∠ EDA+∠ EDF=180^{\circ },\therefore ∠ A+∠ B+∠ C=180^{\circ }$
解析
【分析】
(1) 首先明确各数学思想的含义：转化思想是将未知的复杂问题转化为已学的简单问题求解。方案一、二均通过作平行线，把陌生的三角形内角和问题，转化为已经掌握的平行线性质、平角定义的相关问题，因此运用的是转化思想，对应选项A。
(2) 证明三角形内角和为$180°$的核心是通过平行线得到角的等量关系，将三个内角转化为和为$180°$的角（平角或互补的同旁内角）。选方案三时，可利用平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质推导；选方案四时，可利用平行线的同位角、内错角相等的性质，结合平角定义推导。
【解析】
(1) 方案一、二都通过作平行线，把三角形内角和的未知问题转化为已学的平行线性质、平角定义的已知问题，符合转化思想的特征，因此选A。
(2) 选方案三证明：
过点$C$作$CD// AB$，
$\because CD// AB$，
$\therefore ∠ A=∠ ACD$（两直线平行，内错角相等），$∠ B+∠ BCD=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\because ∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD$，
$\therefore ∠ B+∠ ACB+∠ ACD=180°$，
代入$∠ A=∠ ACD$得：$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$。
选方案四证明：
过$AB$上一点$D$作$DE// BC$，$DF// AC$，
$\because DE// BC$，$DF// AC$，
$\therefore ∠ B=∠ EDA$，$∠ A=∠ FDB$，$∠ C=∠ AED=∠ EDF$（两直线平行，同位角/内错角相等），
根据平角的定义得$∠ FDB+∠ EDA+∠ EDF=180°$，
代入等量关系得：$∠ A+∠ B+∠ C=180°$。
【答案】
(1)$\boxed{A}$
(2)选方案三：$\because CD// AB,\therefore ∠ A=∠ ACD,∠ B+∠ BCD=180^{\circ }$，$\because ∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD,\therefore ∠ B+∠ ACB+∠ ACD=180^{\circ }$,即$∠ A+∠ B+∠ ACB=180^{\circ }$；
或选方案四：$\because DE// BC,DF// AC,\therefore ∠ B=∠ EDA,∠ A=∠ FDB,∠ C=∠ AED=∠ EDF$,根据平角的定义得$∠ FDB+∠ EDA+∠ EDF=180^{\circ },\therefore ∠ A+∠ B+∠ C=180^{\circ }$
【知识点】
平行线的性质，平角的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题围绕三角形内角和定理的证明设置问题，既考查了数学思想的识别，也考查了平行线性质的应用，解题关键是合理利用辅助线实现角的等量转化，能帮助学生理解几何证明中辅助线的作用，体会转化思想的应用价值。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确各数学思想的含义：转化思想是将未知的复杂问题转化为已学的简单问题求解。方案一、二均通过作平行线，把陌生的三角形内角和问题，转化为已经掌握的平行线性质、平角定义的相关问题，因此运用的是转化思想，对应选项A。
(2) 证明三角形内角和为$180°$的核心是通过平行线得到角的等量关系，将三个内角转化为和为$180°$的角（平角或互补的同旁内角）。选方案三时，可利用平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质推导；选方案四时，可利用平行线的同位角、内错角相等的性质，结合平角定义推导。
【解析】
(1) 方案一、二都通过作平行线，把三角形内角和的未知问题转化为已学的平行线性质、平角定义的已知问题，符合转化思想的特征，因此选A。
(2) 选方案三证明：
过点$C$作$CD// AB$，
$\because CD// AB$，
$\therefore ∠ A=∠ ACD$（两直线平行，内错角相等），$∠ B+∠ BCD=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\because ∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD$，
$\therefore ∠ B+∠ ACB+∠ ACD=180°$，
代入$∠ A=∠ ACD$得：$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$。
选方案四证明：
过$AB$上一点$D$作$DE// BC$，$DF// AC$，
$\because DE// BC$，$DF// AC$，
$\therefore ∠ B=∠ EDA$，$∠ A=∠ FDB$，$∠ C=∠ AED=∠ EDF$（两直线平行，同位角/内错角相等），
根据平角的定义得$∠ FDB+∠ EDA+∠ EDF=180°$，
代入等量关系得：$∠ A+∠ B+∠ C=180°$。
【答案】
(1)$\boxed{A}$
(2)选方案三：$\because CD// AB,\therefore ∠ A=∠ ACD,∠ B+∠ BCD=180^{\circ }$，$\because ∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD,\therefore ∠ B+∠ ACB+∠ ACD=180^{\circ }$,即$∠ A+∠ B+∠ ACB=180^{\circ }$；
或选方案四：$\because DE// BC,DF// AC,\therefore ∠ B=∠ EDA,∠ A=∠ FDB,∠ C=∠ AED=∠ EDF$,根据平角的定义得$∠ FDB+∠ EDA+∠ EDF=180^{\circ },\therefore ∠ A+∠ B+∠ C=180^{\circ }$
【知识点】
平行线的性质，平角的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题围绕三角形内角和定理的证明设置问题，既考查了数学思想的识别，也考查了平行线性质的应用，解题关键是合理利用辅助线实现角的等量转化，能帮助学生理解几何证明中辅助线的作用，体会转化思想的应用价值。
【难度系数】
0.7
4. 交通 如图是某品牌共享单车放在水平地面上的示意图，其中AB，CD都与地面$ l $平行，$ ∠ BCD = 70° $，$ ∠ BAC = 50° $，当$ ∠ MAC $的度数为
60°
时，AM与CB平行。答案
4.60°
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，由AB、CD都平行于地面l，可得AB//CD，利用平行线的内错角相等的性质求出∠ABC的度数；第二步，在△ABC中，已知∠BAC和∠ABC的度数，根据三角形内角和定理计算出∠ACB的度数；第三步，根据平行线的判定定理，内错角相等两直线平行，要使AM//CB，只需∠MAC与∠ACB这组内错角相等，即可得到∠MAC的度数。
【解析】
解：
∵AB、CD都与地面$l$平行，
∴$AB// CD$，
∴$∠ ABC = ∠ BCD = 70°$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB = 180° - ∠ BAC - ∠ ABC = 180° - 50° - 70° = 60°$。
若$AM// CB$，根据“内错角相等，两直线平行”，当$∠ MAC = ∠ ACB$时，$AM// CB$，
∴$∠ MAC = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；平行线的判定
【点评】
本题结合生活场景出题，综合考查了平行线的性质、判定以及三角形内角和定理的应用，解题的关键是准确识别平行线形成的内错角，熟练运用角度计算规则求解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，由AB、CD都平行于地面l，可得AB//CD，利用平行线的内错角相等的性质求出∠ABC的度数；第二步，在△ABC中，已知∠BAC和∠ABC的度数，根据三角形内角和定理计算出∠ACB的度数；第三步，根据平行线的判定定理，内错角相等两直线平行，要使AM//CB，只需∠MAC与∠ACB这组内错角相等，即可得到∠MAC的度数。
【解析】
解：
∵AB、CD都与地面$l$平行，
∴$AB// CD$，
∴$∠ ABC = ∠ BCD = 70°$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB = 180° - ∠ BAC - ∠ ABC = 180° - 50° - 70° = 60°$。
若$AM// CB$，根据“内错角相等，两直线平行”，当$∠ MAC = ∠ ACB$时，$AM// CB$，
∴$∠ MAC = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；平行线的判定
【点评】
本题结合生活场景出题，综合考查了平行线的性质、判定以及三角形内角和定理的应用，解题的关键是准确识别平行线形成的内错角，熟练运用角度计算规则求解。
【难度系数】
0.7
5.如图，B处在A处的南偏西$42°$的方向，C处在A处的南偏东$16°$的方向，C处在B处的北偏东$72°$的方向，求$∠ C$的度数.
答案
5.由题意，得$∠ BAD=42^{\circ },∠ CAD=16^{\circ },∠ CBE=72^{\circ },\therefore ∠ BAC=58^{\circ },\because AD// BE,\therefore ∠ ABE=∠ BAD=42^{\circ },\therefore ∠ ABC=72^{\circ }-42^{\circ }=30^{\circ },\therefore ∠ ACB=180^{\circ }-30^{\circ }-58^{\circ }=92^{\circ }$
解析
【分析】
解题时首先梳理题目给出的方向角对应角度，首先明确南北方向的两条直线互相平行，可利用平行线的性质得到相等的内错角，依次求出△ABC中∠BAC和∠ABC的度数，最后根据三角形内角和为180°，即可计算出∠C的度数。
【解析】
由题意，得$∠ BAD=42^{\circ },∠ CAD=16^{\circ },∠ CBE=72^{\circ }$
1. 计算$∠ BAC$：$∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=42°+16°=58°$
2. 因为$AD、BE$均为南北方向的直线，因此$AD// BE$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ ABE=∠ BAD=42°$
3. 计算$∠ ABC$：$∠ ABC=∠ CBE-∠ ABE=72°-42°=30°$
4. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ ACB=180°-∠ BAC-∠ ABC=180°-58°-30°=92°$
【答案】
$92°$
【知识点】
方向角识别、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是准确将方向角转化为几何图形中的对应角度，再结合平行线性质和三角形内角和定理逐步推导，只要理清角度关系，就不容易出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理题目给出的方向角对应角度，首先明确南北方向的两条直线互相平行，可利用平行线的性质得到相等的内错角，依次求出△ABC中∠BAC和∠ABC的度数，最后根据三角形内角和为180°，即可计算出∠C的度数。
【解析】
由题意，得$∠ BAD=42^{\circ },∠ CAD=16^{\circ },∠ CBE=72^{\circ }$
1. 计算$∠ BAC$：$∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=42°+16°=58°$
2. 因为$AD、BE$均为南北方向的直线，因此$AD// BE$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ ABE=∠ BAD=42°$
3. 计算$∠ ABC$：$∠ ABC=∠ CBE-∠ ABE=72°-42°=30°$
4. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ ACB=180°-∠ BAC-∠ ABC=180°-58°-30°=92°$
【答案】
$92°$
【知识点】
方向角识别、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是准确将方向角转化为几何图形中的对应角度，再结合平行线性质和三角形内角和定理逐步推导，只要理清角度关系，就不容易出错。
【难度系数】
0.7
