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1.已知$ a,b,c $是$△ ABC$的三边长，且$ a,b $满足$|a - 4| + (a - b + 1)^2 = 0$，则第三边$ c $的取值范围为________。
答案
1.$1＜c＜9$
解析
【分析】
首先观察已知条件是绝对值与平方的和为0，根据非负数的性质，绝对值和偶次平方都是非负的，两个非负数相加和为0时，每个非负数都等于0，因此可以先列等式求出a、b的值；接下来根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，代入a、b的值即可求出第三边c的取值范围。
【解析】
解：
∵ 绝对值和平方数都具有非负性，即$|a - 4| ≥ 0$，$(a - b + 1)^2 ≥ 0$，且$|a - 4| + (a - b + 1)^2 = 0$
∴ 可列等式：
$\begin{cases}a - 4 = 0 \\a - b + 1 = 0\end{cases}$
解第一个等式得：$a = 4$
将$a = 4$代入第二个等式：$4 - b + 1 = 0$，解得$b = 5$
根据三角形三边关系，第三边$c$满足：$b - a ＜ c ＜ a + b$
代入$a=4$，$b=5$得：$5 - 4 ＜ c ＜ 4 + 5$
即$1 ＜ c ＜ 9$
【答案】
$1＜c＜9$
【知识点】
非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是基础常考题，解题的核心是先利用非负数的性质求出三角形两条边的长度，再结合三角形三边关系求出第三边的取值范围，需要注意第三边要同时满足大于两边之差、小于两边之和两个条件。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件是绝对值与平方的和为0，根据非负数的性质，绝对值和偶次平方都是非负的，两个非负数相加和为0时，每个非负数都等于0，因此可以先列等式求出a、b的值；接下来根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，代入a、b的值即可求出第三边c的取值范围。
【解析】
解：
∵ 绝对值和平方数都具有非负性，即$|a - 4| ≥ 0$，$(a - b + 1)^2 ≥ 0$，且$|a - 4| + (a - b + 1)^2 = 0$
∴ 可列等式：
$\begin{cases}a - 4 = 0 \\a - b + 1 = 0\end{cases}$
解第一个等式得：$a = 4$
将$a = 4$代入第二个等式：$4 - b + 1 = 0$，解得$b = 5$
根据三角形三边关系，第三边$c$满足：$b - a ＜ c ＜ a + b$
代入$a=4$，$b=5$得：$5 - 4 ＜ c ＜ 4 + 5$
即$1 ＜ c ＜ 9$
【答案】
$1＜c＜9$
【知识点】
非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是基础常考题，解题的核心是先利用非负数的性质求出三角形两条边的长度，再结合三角形三边关系求出第三边的取值范围，需要注意第三边要同时满足大于两边之差、小于两边之和两个条件。
【难度系数】
0.8
2.已知三条线段的长分别是3,5,m,若它们能构成三角形,则整数m的最大值是
7
.答案
2.7
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确三条线段能构成三角形的判定条件：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。首先根据该条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围，再结合m是整数的限定，在范围内找出最大的整数即可。
【解析】
根据三角形三边关系可得：
$5-3 ＜ m ＜ 5+3$
即$2 ＜ m ＜ 8$
∵m为整数
∴m的可取整数值为3、4、5、6、7，其中最大的整数是7。
【答案】
7
【知识点】
三角形三边关系；不等式整数解
【点评】
本题属于三角形三边关系的基础应用题型，解题关键是准确根据三边关系求出第三边的取值范围，再结合限定条件求解，易错点是容易忽略“两边之和大于第三边”的严格要求，误将边界值8当成答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确三条线段能构成三角形的判定条件：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。首先根据该条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围，再结合m是整数的限定，在范围内找出最大的整数即可。
【解析】
根据三角形三边关系可得：
$5-3 ＜ m ＜ 5+3$
即$2 ＜ m ＜ 8$
∵m为整数
∴m的可取整数值为3、4、5、6、7，其中最大的整数是7。
【答案】
7
【知识点】
三角形三边关系；不等式整数解
【点评】
本题属于三角形三边关系的基础应用题型，解题关键是准确根据三边关系求出第三边的取值范围，再结合限定条件求解，易错点是容易忽略“两边之和大于第三边”的严格要求，误将边界值8当成答案。
【难度系数】
0.8
3.已知三角形的三边长为4,x,10,化简:$|x-5|+|x-15|=$
10
.答案
3.10
解析
【分析】
要化简含绝对值的式子，首先需要判断绝对值内代数式的正负性，因此第一步要利用三角形三边关系求出x的取值范围。根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可确定x的范围，再依据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，最后合并同类项得到结果。
【解析】
解：
∵三角形的三边长为4，x，10
根据三角形三边关系可得：
$10-4 ＜ x ＜ 10+4$
即$6 ＜ x ＜ 14$
∴$x-5 ＞ 6-5=1＞0$，$x-15 ＜ 14-15=-1＜0$
∴$|x-5|=x-5$，$|x-15|=15-x$
则原式$=(x-5)+(15-x)=x-5+15-x=10$
【答案】
10
【知识点】
三角形三边关系，绝对值化简
【点评】
本题是三角形与绝对值运算的综合基础题，解题核心是先通过三角形三边关系确定未知数的取值范围，再结合绝对值的性质计算，掌握基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.75
要化简含绝对值的式子，首先需要判断绝对值内代数式的正负性，因此第一步要利用三角形三边关系求出x的取值范围。根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可确定x的范围，再依据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，最后合并同类项得到结果。
【解析】
解：
∵三角形的三边长为4，x，10
根据三角形三边关系可得：
$10-4 ＜ x ＜ 10+4$
即$6 ＜ x ＜ 14$
∴$x-5 ＞ 6-5=1＞0$，$x-15 ＜ 14-15=-1＜0$
∴$|x-5|=x-5$，$|x-15|=15-x$
则原式$=(x-5)+(15-x)=x-5+15-x=10$
【答案】
10
【知识点】
三角形三边关系，绝对值化简
【点评】
本题是三角形与绝对值运算的综合基础题，解题核心是先通过三角形三边关系确定未知数的取值范围，再结合绝对值的性质计算，掌握基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.75
4.设a，b，c是△ABC的三边长，化简：|a−b + c|−|b−c−a| =
0
答案
4.0
解析
【分析】
要化简含绝对值的式子，首先需要判断绝对值内代数式的正负性，再根据绝对值的性质去绝对值符号计算。本题可先利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，分别判断两个绝对值内式子的正负，再去绝对值后合并同类项即可得到结果。
【解析】
∵a，b，c是△ABC的三边长，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”可得：
$a + c ＞ b$
∴$a - b + c = (a + c) - b ＞ 0$
$b - c - a = b - (a + c) ＜ 0$
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，对原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(a - b + c) - [-(b - c - a)]\\&=a - b + c + b - c - a\\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简
【点评】
本题是三角形三边关系与绝对值运算的综合题，解题的核心是先利用三角形三边关系判断绝对值内表达式的正负，再正确去绝对值进行整式的加减运算，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
要化简含绝对值的式子，首先需要判断绝对值内代数式的正负性，再根据绝对值的性质去绝对值符号计算。本题可先利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，分别判断两个绝对值内式子的正负，再去绝对值后合并同类项即可得到结果。
【解析】
∵a，b，c是△ABC的三边长，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”可得：
$a + c ＞ b$
∴$a - b + c = (a + c) - b ＞ 0$
$b - c - a = b - (a + c) ＜ 0$
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，对原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(a - b + c) - [-(b - c - a)]\\&=a - b + c + b - c - a\\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简
【点评】
本题是三角形三边关系与绝对值运算的综合题，解题的核心是先利用三角形三边关系判断绝对值内表达式的正负，再正确去绝对值进行整式的加减运算，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
5.若$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，化简：$|a - b - c| - |c - a + b| + |b - a - c|$.
答案
5.$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长，$\therefore a-b-c＜0, c-a+b＞0,b-a-c＜0$,$\therefore$原式$=-(a-b-c)-(c-a+b)-(b-a-c) = a-b+c$
解析
【分析】
要化简含绝对值的代数式，首先需判断每个绝对值内式子的正负性。本题已知a、b、c是三角形的三边长，可先利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）分别判断三个绝对值内表达式的正负，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
∵a，b，c是△ABC的三边长，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”可得：
$b+c＞a$，因此$a-b-c=a-(b+c)＜0$；
$b+c＞a$，因此$c-a+b=(b+c)-a＞0$；
$a+c＞b$，因此$b-a-c=b-(a+c)＜0$。
∴原式$=-(a-b-c)-(c-a+b)-(b-a-c)$
$=-a+b+c-c+a-b-b+a+c$
合并同类项得：$a-b+c$
【答案】
$a-b+c$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简；整式的加减
【点评】
本题是三角形三边关系与绝对值化简结合的基础题型，解题核心是利用三角形三边关系准确判断绝对值内代数式的正负，再按绝对值的性质去符号后合并同类项，属于三角形章节的常考题型，需熟练掌握解题逻辑。
【难度系数】
0.8
要化简含绝对值的代数式，首先需判断每个绝对值内式子的正负性。本题已知a、b、c是三角形的三边长，可先利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）分别判断三个绝对值内表达式的正负，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
∵a，b，c是△ABC的三边长，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”可得：
$b+c＞a$，因此$a-b-c=a-(b+c)＜0$；
$b+c＞a$，因此$c-a+b=(b+c)-a＞0$；
$a+c＞b$，因此$b-a-c=b-(a+c)＜0$。
∴原式$=-(a-b-c)-(c-a+b)-(b-a-c)$
$=-a+b+c-c+a-b-b+a+c$
合并同类项得：$a-b+c$
【答案】
$a-b+c$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简；整式的加减
【点评】
本题是三角形三边关系与绝对值化简结合的基础题型，解题核心是利用三角形三边关系准确判断绝对值内代数式的正负，再按绝对值的性质去符号后合并同类项，属于三角形章节的常考题型，需熟练掌握解题逻辑。
【难度系数】
0.8
6.(模型观念)如图,在△ABC中,点D为BC上一点,连接AD,P为AD的中点,若△ABC的面积为10 cm²,求△PBC的面积.
答案
6.$\because P$为$AD$的中点，$\therefore S_{△ PBD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD},S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$,$\therefore S_{△ PBC}=S_{△ PBD}+S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}+\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=5\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的部分（等底同高的三角形面积相等）。已知P是AD的中点，因此BP是△ABD的中线，CP是△ACD的中线，可分别得到△PBD与△ABD的面积关系、△PCD与△ACD的面积关系。再观察△PBC的构成，它是由△PBD和△PCD组成的，将两个面积关系相加，结合△ABD与△ACD的面积和等于△ABC的面积，即可求出△PBC的面积。
【解析】
∵ P为AD的中点，
∴ BP是△ABD的中线，CP是△ACD的中线，
根据三角形中线平分三角形面积的性质，可得：
$S_{△ PBD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，$S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$，
又
∵ $S_{△ PBC}=S_{△ PBD}+S_{△ PCD}$，
代入得：
$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}+\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})$，
而$S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=S_{△ ABC}=10\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$5\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 三角形中线的面积性质 2. 面积和差计算
【点评】
本题是三角形面积计算的典型基础题，核心是利用三角形中线平分三角形面积的性质，通过拆分所求三角形、整体代换的方法简化计算，无需单独求解各小三角形的面积即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的部分（等底同高的三角形面积相等）。已知P是AD的中点，因此BP是△ABD的中线，CP是△ACD的中线，可分别得到△PBD与△ABD的面积关系、△PCD与△ACD的面积关系。再观察△PBC的构成，它是由△PBD和△PCD组成的，将两个面积关系相加，结合△ABD与△ACD的面积和等于△ABC的面积，即可求出△PBC的面积。
【解析】
∵ P为AD的中点，
∴ BP是△ABD的中线，CP是△ACD的中线，
根据三角形中线平分三角形面积的性质，可得：
$S_{△ PBD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，$S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$，
又
∵ $S_{△ PBC}=S_{△ PBD}+S_{△ PCD}$，
代入得：
$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}+\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})$，
而$S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=S_{△ ABC}=10\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$5\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 三角形中线的面积性质 2. 面积和差计算
【点评】
本题是三角形面积计算的典型基础题，核心是利用三角形中线平分三角形面积的性质，通过拆分所求三角形、整体代换的方法简化计算，无需单独求解各小三角形的面积即可得到结果。
【难度系数】
0.8
7.(创新思维)如图,把△ABC的三边BA,CB和AC分别向外延长一倍,将得到的点A',B',C',顺次连接成△A'B'C',若△ABC的面积是3,则△A'B'C'的面积是
21
.答案
7.21
解析
【分析】
解题核心是利用“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”这一性质，通过添加辅助线，先求出原三角形外围三个三角形的面积，再与原三角形面积相加即可得到△A'B'C'的面积。思考时首先明确“向外延长一倍”即延长后得到的线段与原边长度相等，对应中点关系，进而结合中线的面积性质推导外围三角形的面积，最终求和得到结果。
【解析】
我们通过添加辅助线结合三角形中线的面积性质求解：
1. 连接AB'：
因为CB向外延长一倍到B'，所以BB'=CB，即B是B'C的中点，AB是△AB'C的中线，因此$ S_{△ ABB'} = S_{△ ABC} = 3 $。
又因为BA向外延长一倍到A'，所以AA'=BA，即A是A'B的中点，AB'是△A'B'B的中线，因此$ S_{△ A'AB'} = S_{△ ABB'} = 3 $。
可得$ S_{△ A'BB'} = S_{△ A'AB'} + S_{△ ABB'} = 3 + 3 = 6 $。
2. 同理，连接BC'可推出$ S_{△ B'CC'} = 6 $，连接CA'可推出$ S_{△ C'AA'} = 6 $。
3. 因此$ S_{△ A'B'C'} = S_{△ A'BB'} + S_{△ B'CC'} + S_{△ C'AA'} + S_{△ ABC} = 6 + 6 + 6 + 3 = 21 $。
【答案】
21
【知识点】
三角形中线的性质、等底等高三角形面积相等
【点评】
本题属于创新类的面积计算题，需要学生灵活运用三角形中线平分面积的性质，通过合理添加辅助线建立外围三角形与原三角形的面积关联，能有效锻炼学生的图形分析能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.5
解题核心是利用“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”这一性质，通过添加辅助线，先求出原三角形外围三个三角形的面积，再与原三角形面积相加即可得到△A'B'C'的面积。思考时首先明确“向外延长一倍”即延长后得到的线段与原边长度相等，对应中点关系，进而结合中线的面积性质推导外围三角形的面积，最终求和得到结果。
【解析】
我们通过添加辅助线结合三角形中线的面积性质求解：
1. 连接AB'：
因为CB向外延长一倍到B'，所以BB'=CB，即B是B'C的中点，AB是△AB'C的中线，因此$ S_{△ ABB'} = S_{△ ABC} = 3 $。
又因为BA向外延长一倍到A'，所以AA'=BA，即A是A'B的中点，AB'是△A'B'B的中线，因此$ S_{△ A'AB'} = S_{△ ABB'} = 3 $。
可得$ S_{△ A'BB'} = S_{△ A'AB'} + S_{△ ABB'} = 3 + 3 = 6 $。
2. 同理，连接BC'可推出$ S_{△ B'CC'} = 6 $，连接CA'可推出$ S_{△ C'AA'} = 6 $。
3. 因此$ S_{△ A'B'C'} = S_{△ A'BB'} + S_{△ B'CC'} + S_{△ C'AA'} + S_{△ ABC} = 6 + 6 + 6 + 3 = 21 $。
【答案】
21
【知识点】
三角形中线的性质、等底等高三角形面积相等
【点评】
本题属于创新类的面积计算题，需要学生灵活运用三角形中线平分面积的性质，通过合理添加辅助线建立外围三角形与原三角形的面积关联，能有效锻炼学生的图形分析能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.5
8.如图，在$△ ABC$中，AD是高，AE是中线，AD＝4，$S_{△ ABC}=12$，则BE的长为
3
.答案
8.3
解析
【分析】
要求BE的长度，首先观察AE是△ABC的中线，根据中线的性质可知BE等于BC的一半，因此只需先求出BC的长度即可。已知AD是△ABC的高，同时给出了△ABC的面积和AD的长度，利用三角形面积公式即可求出底边BC的长度，再结合中线性质就能算出BE的长。
【解析】
∵AD是△ABC的高，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD$，
将AD=4，$S_{△ ABC}=12$代入得：
$12=\frac{1}{2} × BC × 4$，
解得$BC=6$。
又
∵AE是△ABC的中线，
∴E为BC的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 6=3$。
【答案】
3
【知识点】
三角形面积公式，三角形中线的性质，三角形高的定义
【点评】
本题是基础题型，主要考查三角形高、中线的相关性质以及面积公式的应用，解题关键是先通过面积公式求出底边长度，再结合中线性质得到所求线段的长度。
【难度系数】
0.8
要求BE的长度，首先观察AE是△ABC的中线，根据中线的性质可知BE等于BC的一半，因此只需先求出BC的长度即可。已知AD是△ABC的高，同时给出了△ABC的面积和AD的长度，利用三角形面积公式即可求出底边BC的长度，再结合中线性质就能算出BE的长。
【解析】
∵AD是△ABC的高，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD$，
将AD=4，$S_{△ ABC}=12$代入得：
$12=\frac{1}{2} × BC × 4$，
解得$BC=6$。
又
∵AE是△ABC的中线，
∴E为BC的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 6=3$。
【答案】
3
【知识点】
三角形面积公式，三角形中线的性质，三角形高的定义
【点评】
本题是基础题型，主要考查三角形高、中线的相关性质以及面积公式的应用，解题关键是先通过面积公式求出底边长度，再结合中线性质得到所求线段的长度。
【难度系数】
0.8
9.如图，AD为$△ ABC$的中线，BE为$△ ABD$的中线，BF为$△ ABE$中AE边上的高，若$△ ABC$的面积为24，$AE=3$，则BF的长为
4
.答案
9.4
解析
【分析】
解题思路：利用三角形中线的性质逐步推导小三角形的面积，再结合三角形面积公式反向求解高的长度。第一步：根据AD是△ABC的中线，可得△ABD的面积是△ABC面积的一半；第二步：根据BE是△ABD的中线，可得△ABE的面积是△ABD面积的一半，求出△ABE的面积；第三步：已知△ABE的底AE的长度，结合面积公式即可求出AE边上的高BF的长度。
【解析】
解：
∵AD为△ABC的中线，中线将三角形分为面积相等的两部分
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$
∵$S_{△ ABC}=24$
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×24=12$
又
∵BE为△ABD的中线
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×12=6$
∵BF是△ABE中AE边上的高，$AE=3$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AE× BF$
代入数值：$6=\frac{1}{2}×3× BF$
解得：$BF=4$
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积公式，三角形高的定义
【点评】
本题属于基础常考题，核心是掌握三角形中线等分三角形面积的性质，结合面积公式即可快速求解对应线段长度，难度较低。
【难度系数】
0.7
解题思路：利用三角形中线的性质逐步推导小三角形的面积，再结合三角形面积公式反向求解高的长度。第一步：根据AD是△ABC的中线，可得△ABD的面积是△ABC面积的一半；第二步：根据BE是△ABD的中线，可得△ABE的面积是△ABD面积的一半，求出△ABE的面积；第三步：已知△ABE的底AE的长度，结合面积公式即可求出AE边上的高BF的长度。
【解析】
解：
∵AD为△ABC的中线，中线将三角形分为面积相等的两部分
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$
∵$S_{△ ABC}=24$
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×24=12$
又
∵BE为△ABD的中线
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×12=6$
∵BF是△ABE中AE边上的高，$AE=3$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AE× BF$
代入数值：$6=\frac{1}{2}×3× BF$
解得：$BF=4$
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积公式，三角形高的定义
【点评】
本题属于基础常考题，核心是掌握三角形中线等分三角形面积的性质，结合面积公式即可快速求解对应线段长度，难度较低。
【难度系数】
0.7
10.已知点 P 是$△ ABC$内任意一点.
(1)如图①,求证:$AB+AC＞PB+PC$;
(2)如图②,连接$PA$,求证:$PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+AC+BC)$.
(1)如图①,求证:$AB+AC＞PB+PC$;
(2)如图②,连接$PA$,求证:$PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+AC+BC)$.
答案
10.(1)延长$BP$交$AC$于点$D$,根据三角形两边之和大于第三边,得$AB+AD＞BD,CD+PD＞PC$,$\therefore AB+AD+CD+PD＞BD+PC$,$\therefore AB+AC+PD＞PB+PD+PC$,$\therefore AB+AC＞PB+PC$
(2)根据三角形两边之和大于第三边,得$PA+PB＞AB,PB+PC＞BC,PC+PA＞AC$,$\therefore 2(PA+PB+PC)＞AB+AC+BC$,$\therefore PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+AC+BC)$
(2)根据三角形两边之和大于第三边,得$PA+PB＞AB,PB+PC＞BC,PC+PA＞AC$,$\therefore 2(PA+PB+PC)＞AB+AC+BC$,$\therefore PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+AC+BC)$
解析
【分析】
（1）要证明$AB+AC＞PB+PC$，现有图形无法直接运用三角形三边关系，因此考虑作辅助线构造新三角形：延长$BP$交$AC$于点$D$，分别在$△ ABD$和$△ CDP$中运用“三角形两边之和大于第三边”得到两个不等式，再将两个不等式相加，消去公共线段$PD$即可推导结论。
（2）要证明$PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+AC+BC)$，观察可知$PA、PB、PC$分别是$△ PAB、△ PBC、△ PCA$的边，分别在这三个三角形中运用三边关系得到三个不等式，将三个不等式左右两边分别相加，整理后两边同除以2即可得到结论。
【解析】
(1) 证明：延长$BP$交$AC$于点$D$，
根据三角形两边之和大于第三边，得：
在$△ ABD$中，$AB + AD ＞ BD$，
在$△ CDP$中，$CD + PD ＞ PC$，
将两个不等式左右两边分别相加，得：
$AB + AD + CD + PD ＞ BD + PC$，
∵ $AD + CD = AC$，$BD = PB + PD$，代入上式得：
$AB + AC + PD ＞ PB + PD + PC$，
两边同时减去$PD$，可得：$AB + AC ＞ PB + PC$。
(2) 证明：根据三角形两边之和大于第三边，
在$△ PAB$中，$PA + PB ＞ AB$，
在$△ PBC$中，$PB + PC ＞ BC$，
在$△ PCA$中，$PC + PA ＞ AC$，
将三个不等式左右两边分别相加，得：
$2(PA + PB + PC) ＞ AB + AC + BC$，
两边同时除以2，可得：
$PA + PB + PC ＞ \frac{1}{2}(AB + AC + BC)$。
【答案】
(1) $AB+AC＞PB+PC$，得证；
(2) $PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+AC+BC)$，得证。
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题型，解题核心是合理利用已有三角形或通过作辅助线构造新三角形，得到对应不等关系，再通过不等式的叠加、变形消去多余项得到待证结论，能有效锻炼逻辑推理能力和代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$AB+AC＞PB+PC$，现有图形无法直接运用三角形三边关系，因此考虑作辅助线构造新三角形：延长$BP$交$AC$于点$D$，分别在$△ ABD$和$△ CDP$中运用“三角形两边之和大于第三边”得到两个不等式，再将两个不等式相加，消去公共线段$PD$即可推导结论。
（2）要证明$PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+AC+BC)$，观察可知$PA、PB、PC$分别是$△ PAB、△ PBC、△ PCA$的边，分别在这三个三角形中运用三边关系得到三个不等式，将三个不等式左右两边分别相加，整理后两边同除以2即可得到结论。
【解析】
(1) 证明：延长$BP$交$AC$于点$D$，
根据三角形两边之和大于第三边，得：
在$△ ABD$中，$AB + AD ＞ BD$，
在$△ CDP$中，$CD + PD ＞ PC$，
将两个不等式左右两边分别相加，得：
$AB + AD + CD + PD ＞ BD + PC$，
∵ $AD + CD = AC$，$BD = PB + PD$，代入上式得：
$AB + AC + PD ＞ PB + PD + PC$，
两边同时减去$PD$，可得：$AB + AC ＞ PB + PC$。
(2) 证明：根据三角形两边之和大于第三边，
在$△ PAB$中，$PA + PB ＞ AB$，
在$△ PBC$中，$PB + PC ＞ BC$，
在$△ PCA$中，$PC + PA ＞ AC$，
将三个不等式左右两边分别相加，得：
$2(PA + PB + PC) ＞ AB + AC + BC$，
两边同时除以2，可得：
$PA + PB + PC ＞ \frac{1}{2}(AB + AC + BC)$。
【答案】
(1) $AB+AC＞PB+PC$，得证；
(2) $PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+AC+BC)$，得证。
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题型，解题核心是合理利用已有三角形或通过作辅助线构造新三角形，得到对应不等关系，再通过不等式的叠加、变形消去多余项得到待证结论，能有效锻炼逻辑推理能力和代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
