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8.【分类讨论的思想】如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AC$边上的中线把三角形的周长分为24 cm和30 cm的两部分，求三角形各边的长.
答案
8.设$AB=AC=2x\ \mathrm{cm}$，$BC=y\ \mathrm{cm}$，$∵$点$D$是$AC$的中点，$∴AD=CD=\frac{1}{2}AC=x\ \mathrm{cm}$，$∵AC$边上的中线把三角形的周长分为24 cm和30 cm的两部分，$∴$ ① $\begin{cases}2x+x=24,\\x+y=30,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=8,\\y=22,\end{cases}$ $∴AB=AC=2x=16\ \mathrm{cm}$，$BC=22\ \mathrm{cm}$，能构成三角形；②$\begin{cases}2x+x=30,\\x+y=24,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=10,\\y=14,\end{cases}$ $∴AB=AC=2x=20\ \mathrm{cm}$，$BC=14\ \mathrm{cm}$，能构成三角形，答：三角形的各边的长是16 cm，16 cm，22 cm或20 cm，20 cm，14 cm
解析
【分析】
本题是等腰三角形中与中线相关的周长计算问题，解题思路如下：1. 结合等腰三角形两腰相等的性质、中线的定义设未知数简化计算，因为D是AC中点，可设$AB=AC=2x$，$AD=CD=x$，另设$BC=y$；2. 中线将周长分成的两部分为$AB+AD$和$BC+CD$，题中未说明两部分分别对应哪个数值，因此需要分两种情况分类讨论列方程组；3. 解出未知数后，必须用三角形三边关系验证所得边长能否构成三角形，排除不符合的情况。
【解析】
设$AB=AC=2x\ \mathrm{cm}$，$BC=y\ \mathrm{cm}$，
∵点$D$是$AC$的中点，
∴$AD=CD=\frac{1}{2}AC=x\ \mathrm{cm}$。
∵$AC$边上的中线把三角形的周长分为24 cm和30 cm的两部分，分两种情况讨论：
① 当$AB+AD=24\ \mathrm{cm}$，$BC+CD=30\ \mathrm{cm}$时，列方程组：
$\begin{cases}2x+x=24\\x+y=30\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=8\\y=22\end{cases}$
此时$AB=AC=2x=16\ \mathrm{cm}$，$BC=22\ \mathrm{cm}$，验证三边关系：$16+16＞22$，能构成三角形；
② 当$AB+AD=30\ \mathrm{cm}$，$BC+CD=24\ \mathrm{cm}$时，列方程组：
$\begin{cases}2x+x=30\\x+y=24\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=10\\y=14\end{cases}$
此时$AB=AC=2x=20\ \mathrm{cm}$，$BC=14\ \mathrm{cm}$，验证三边关系：$20+20＞14$，能构成三角形。
【答案】
三角形的各边的长是16 cm，16 cm，22 cm或20 cm，20 cm，14 cm
【知识点】
1. 等腰三角形性质 2. 三角形中线定义 3. 三角形三边关系
【点评】
本题易错点有两个：一是容易忽略分类讨论，默认其中一种情况导致漏解；二是解出边长后忘记验证是否满足三角形三边关系，出现不符合实际的结果。解题时要注意题中没有明确两部分周长的对应情况，必须分情况讨论，最后做好验证。
【难度系数】
0.6
本题是等腰三角形中与中线相关的周长计算问题，解题思路如下：1. 结合等腰三角形两腰相等的性质、中线的定义设未知数简化计算，因为D是AC中点，可设$AB=AC=2x$，$AD=CD=x$，另设$BC=y$；2. 中线将周长分成的两部分为$AB+AD$和$BC+CD$，题中未说明两部分分别对应哪个数值，因此需要分两种情况分类讨论列方程组；3. 解出未知数后，必须用三角形三边关系验证所得边长能否构成三角形，排除不符合的情况。
【解析】
设$AB=AC=2x\ \mathrm{cm}$，$BC=y\ \mathrm{cm}$，
∵点$D$是$AC$的中点，
∴$AD=CD=\frac{1}{2}AC=x\ \mathrm{cm}$。
∵$AC$边上的中线把三角形的周长分为24 cm和30 cm的两部分，分两种情况讨论：
① 当$AB+AD=24\ \mathrm{cm}$，$BC+CD=30\ \mathrm{cm}$时，列方程组：
$\begin{cases}2x+x=24\\x+y=30\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=8\\y=22\end{cases}$
此时$AB=AC=2x=16\ \mathrm{cm}$，$BC=22\ \mathrm{cm}$，验证三边关系：$16+16＞22$，能构成三角形；
② 当$AB+AD=30\ \mathrm{cm}$，$BC+CD=24\ \mathrm{cm}$时，列方程组：
$\begin{cases}2x+x=30\\x+y=24\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=10\\y=14\end{cases}$
此时$AB=AC=2x=20\ \mathrm{cm}$，$BC=14\ \mathrm{cm}$，验证三边关系：$20+20＞14$，能构成三角形。
【答案】
三角形的各边的长是16 cm，16 cm，22 cm或20 cm，20 cm，14 cm
【知识点】
1. 等腰三角形性质 2. 三角形中线定义 3. 三角形三边关系
【点评】
本题易错点有两个：一是容易忽略分类讨论，默认其中一种情况导致漏解；二是解出边长后忘记验证是否满足三角形三边关系，出现不符合实际的结果。解题时要注意题中没有明确两部分周长的对应情况，必须分情况讨论，最后做好验证。
【难度系数】
0.6
9.(教材 P10 习题 T7 变式)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$是$AB$边上的高,$AB=13$,$BC=12$,$AC=5$.
(1)求$△ ABC$的面积;
(2)求$CD$的长.
(1)求$△ ABC$的面积;
(2)求$CD$的长.
答案
9.(1)$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=30$
(2)$∵S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD$，$∴CD=\frac{2S_{△ABC}}{AB}=\frac{60}{13}$
(2)$∵S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD$，$∴CD=\frac{2S_{△ABC}}{AB}=\frac{60}{13}$
解析
【分析】
(1) 要求△ABC的面积，观察可知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，已知两条直角边AC=5、BC=12，直接代入直角三角形面积公式即可求解；
(2) CD是AB边上的高，同一个三角形的面积是定值，因此△ABC的面积既可以用两条直角边计算，也可以用底AB和高CD计算，结合第一问求出的面积，列出等式即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 已知∠ACB=90°，即AC和BC是Rt△ABC的两条直角边，根据直角三角形面积公式：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC$
代入AC=5，BC=12，得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×5×12=30$
(2) 因为CD是AB边上的高，因此△ABC的面积还可以表示为：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD$
将$S_{△ABC}=30$，AB=13代入上式，得：
$30=\frac{1}{2}×13×CD$
解得：$CD=\frac{2×30}{13}=\frac{60}{13}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{30}$；(2) $\boldsymbol{\frac{60}{13}}$
【知识点】
直角三角形面积计算，等积法求线段长，三角形的高
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用同一个三角形面积的两种不同表示方法建立等量关系，也就是等积法，这是求解三角形高的常用方法，熟练掌握该技巧可以快速解决这类题型。
【难度系数】
0.8
(1) 要求△ABC的面积，观察可知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，已知两条直角边AC=5、BC=12，直接代入直角三角形面积公式即可求解；
(2) CD是AB边上的高，同一个三角形的面积是定值，因此△ABC的面积既可以用两条直角边计算，也可以用底AB和高CD计算，结合第一问求出的面积，列出等式即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 已知∠ACB=90°，即AC和BC是Rt△ABC的两条直角边，根据直角三角形面积公式：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC$
代入AC=5，BC=12，得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×5×12=30$
(2) 因为CD是AB边上的高，因此△ABC的面积还可以表示为：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD$
将$S_{△ABC}=30$，AB=13代入上式，得：
$30=\frac{1}{2}×13×CD$
解得：$CD=\frac{2×30}{13}=\frac{60}{13}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{30}$；(2) $\boldsymbol{\frac{60}{13}}$
【知识点】
直角三角形面积计算，等积法求线段长，三角形的高
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用同一个三角形面积的两种不同表示方法建立等量关系，也就是等积法，这是求解三角形高的常用方法，熟练掌握该技巧可以快速解决这类题型。
【难度系数】
0.8
10.(创新思维)如图,在$△ ABC$中,已知点$D$,$E$,$F$分别为边$BC$,$AD$,$CE$的中点,且$S_{△ ABC}=8\ \mathrm{cm}^2$,求阴影部分的面积.
答案
10.$∵D$是$BC$的中点，$∴S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$.$∵E$是$AD$的中点，$∴S_{△BED}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=2\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△DCE}=\frac{1}{2}S_{△ACD}=2\ \mathrm{cm}^2$，$∴S_{△BCE}=S_{△BED}+S_{△DCE}=4\ \mathrm{cm}^2$.$∵F$是$CE$的中点，$∴S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}S_{△BCE}=2\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题需利用三角形中线的性质：三角形的中线可将三角形分为两个面积相等的小三角形（依据是等底同高的三角形面积相等），逐步推导各部分面积。首先根据D是BC中点，先求出△ABD和△ACD的面积；再结合E是AD中点，求出△BED和△DCE的面积，相加得到△BCE的面积；最后根据F是CE中点，即可求出阴影部分的面积。
【解析】
∵D是BC的中点，
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}^2$。
∵E是AD的中点，
∴$S_{△BED}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△DCE}=\frac{1}{2}S_{△ACD}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△BCE}=S_{△BED}+S_{△DCE}=2+2=4\ \mathrm{cm}^2$。
∵F是CE的中点，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}S_{△BCE}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\boxed{2\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
三角形中线性质；等积变换
【点评】
本题属于三角形面积的基础计算题，核心是掌握三角形中线平分三角形面积的规律，多次运用该性质梳理各三角形的面积关系即可求解，解题时注意不要混淆各三角形的从属关系。
【难度系数】
0.7
解题需利用三角形中线的性质：三角形的中线可将三角形分为两个面积相等的小三角形（依据是等底同高的三角形面积相等），逐步推导各部分面积。首先根据D是BC中点，先求出△ABD和△ACD的面积；再结合E是AD中点，求出△BED和△DCE的面积，相加得到△BCE的面积；最后根据F是CE中点，即可求出阴影部分的面积。
【解析】
∵D是BC的中点，
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}^2$。
∵E是AD的中点，
∴$S_{△BED}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△DCE}=\frac{1}{2}S_{△ACD}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△BCE}=S_{△BED}+S_{△DCE}=2+2=4\ \mathrm{cm}^2$。
∵F是CE的中点，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}S_{△BCE}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\boxed{2\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
三角形中线性质；等积变换
【点评】
本题属于三角形面积的基础计算题，核心是掌握三角形中线平分三角形面积的规律，多次运用该性质梳理各三角形的面积关系即可求解，解题时注意不要混淆各三角形的从属关系。
【难度系数】
0.7
11.如图，在$△ ABC$中，$AD$为中线，$DE$和$DF$分别为$△ ADB$和$△ ADC$的高.若$AB=3$，$AC=4$，$DF=1.5$，求$DE$的长.
答案
11.$∵AD$为中线，$∴BD=DC$，$∴S_{△ABD}=S_{△ADC}$，$∴\frac{1}{2}AB·DE=\frac{1}{2}AC·DF$，$∴\frac{1}{2}×3DE=\frac{1}{2}×4×1.5$，$∴DE=2$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“AD为中线”入手，回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。接下来△ADB的面积可以用AB为底、DE为高计算，△ADC的面积可以用AC为底、DF为高计算，结合两个三角形面积相等的关系，代入已知数值即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=DC，△ABD和△ACD等底同高，即$S_{△ABD}=S_{△ADC}$。
∵DE是△ADB的高，DF是△ADC的高，
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ADC}=\frac{1}{2}AC·DF$，
∴$\frac{1}{2}AB·DE=\frac{1}{2}AC·DF$。
将AB=3，AC=4，DF=1.5代入得：
$\frac{1}{2}×3×DE=\frac{1}{2}×4×1.5$，
化简计算得：$DE=2$。
【答案】
$DE=2$
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积公式，等积法计算
【点评】
本题是基础的几何计算类题目，核心是利用三角形中线平分三角形面积的性质，结合面积公式建立等量关系求解，解题的关键是熟练掌握三角形中线的相关性质。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件“AD为中线”入手，回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。接下来△ADB的面积可以用AB为底、DE为高计算，△ADC的面积可以用AC为底、DF为高计算，结合两个三角形面积相等的关系，代入已知数值即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=DC，△ABD和△ACD等底同高，即$S_{△ABD}=S_{△ADC}$。
∵DE是△ADB的高，DF是△ADC的高，
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ADC}=\frac{1}{2}AC·DF$，
∴$\frac{1}{2}AB·DE=\frac{1}{2}AC·DF$。
将AB=3，AC=4，DF=1.5代入得：
$\frac{1}{2}×3×DE=\frac{1}{2}×4×1.5$，
化简计算得：$DE=2$。
【答案】
$DE=2$
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积公式，等积法计算
【点评】
本题是基础的几何计算类题目，核心是利用三角形中线平分三角形面积的性质，结合面积公式建立等量关系求解，解题的关键是熟练掌握三角形中线的相关性质。
【难度系数】
0.8
