6.(2025·德州期末)已知$△ ABC$的三个内角度数之比为$3:4:5$,则这个三角形是 ()

A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.不能确定

6.A

【分析】
要判断三角形的类型，只需确定其最大内角的类别即可。已知三角形三个内角的度数比，我们可以结合三角形内角和为180°的性质，通过设参数的方法求出三个内角的具体度数，再观察最大角的大小即可得出结论。
【解析】
已知△ABC三个内角度数之比为3:4:5，设三个内角的度数分别为3x、4x、5x。
根据三角形内角和定理：三角形内角和为180°，可列方程：
$3x + 4x + 5x = 180°$
合并同类项得：$12x = 180°$
解得：$x = 15°$
因此三个内角分别为：
$3x = 3×15° = 45°$，$4x = 4×15° = 60°$，$5x = 5×15° = 75°$
该三角形最大内角为75°，属于锐角，因此三个内角均为锐角，这个三角形是锐角三角形。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用题型，解题的关键是根据角度比例设参数求出各内角度数，再通过最大内角的类型判断三角形的类别，属于基础常考题。
【难度系数】
0.9

7.(2025·郑州期末)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，若∠A=60°，则∠D的度数为。

7.120°

【分析】
要求∠D的度数，观察∠D在△DBC中，可利用三角形内角和定理，先求出∠DBC与∠DCB的度数和，再计算∠D。首先结合△ABC的内角和与已知∠A的度数，求出∠ABC+∠ACB的和；再根据角平分线的定义，得到∠DBC、∠DCB分别是∠ABC、∠ACB的一半，进而求出∠DBC+∠DCB的和，最后代入△DBC的内角和公式即可求解。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 60° = 120°$
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB
∴$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ DBC + ∠ DCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×120° = 60°$
在△DBC中，再次利用三角形内角和定理：
$∠ D = 180° - (∠ DBC + ∠ DCB) = 180° - 60° = 120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内角和与角平分线的综合基础题，解题的核心是通过角平分线的性质将待求三角形的底角和与原三角形的底角和建立关联，也可直接记住结论：三角形两个内角平分线的夹角等于90°与第三个角一半的和，能提高同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7

8. 跨学科 物理 光线照射到平面镜会产生反射现象，如图①，当光线经过镜子反射时有∠1=∠2.如图②，一个平面镜斜着放在水平面上，形成∠AOB，∠AOB=50°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线(入射光线)，经平面镜上点D处反射，反射光线DC刚好与OB平行，则∠OED的度数为.

8.80°

【分析】
解题时首先结合平行线的性质，得到反射光线与镜面OA的夹角度数，再根据光的反射定律，得出入射光线与镜面OA的夹角与该角相等，最后利用三角形内角和定理即可求出∠OED的度数。
【解析】
∵ DC//OB，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠ADC = ∠AOB = 50°。
根据光的反射定律，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，因此∠ODE = ∠ADC = 50°。
在△ODE中，由三角形内角和为180°，得：
∠OED = 180° - ∠AOB - ∠ODE = 180° - 50° - 50° = 80°。
【答案】
80°
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，光的反射定律
【点评】
本题是跨学科综合题，将物理的光的反射规律和数学的几何知识结合考查，需要同学们熟练掌握不同学科的基础知识点，并能灵活关联运用，解题的关键是准确找到反射过程中相等的角。
【难度系数】
0.7

9.(方程思想)在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ A + 20°$，$∠ C = ∠ B + 50°$，求$△ ABC$的各内角的度数.

9.$\because ∠ B=∠ A+20^{\circ },∠ C=∠ B+50^{\circ },\therefore ∠ C=∠ A+20^{\circ }+50=∠ A+70^{\circ }$,由三角形内角和定理,得$∠ A+∠ B+∠ C=∠ A+∠ A+20^{\circ }+∠ A+70^{\circ }=180^{\circ }$,解得$∠ A=30^{\circ },\therefore ∠ B=50^{\circ },∠ C=100^{\circ }$

【分析】
本题要求三角形三个内角的度数，首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。已知条件中∠B和∠A有关，∠C和∠B有关，因此我们可以先将∠B、∠C都用含∠A的式子表示，再代入三角形内角和公式，得到只含有∠A的一元一次方程，解方程求出∠A的度数后，就能依次求出∠B和∠C的度数。
【解析】
解：
∵∠B = ∠A + 20°，∠C = ∠B + 50°
∴∠C = ∠A + 20° + 50° = ∠A + 70°
根据三角形内角和定理，得：
∠A + ∠B + ∠C = 180°
将∠B、∠C用∠A表示的式子代入，得：
∠A + (∠A + 20°) + (∠A + 70°) = 180°
整理得：3∠A + 90° = 180°
解得：∠A = 30°
∴∠B = 30° + 20° = 50°
∠C = 50° + 50° = 100°
【答案】
∠A=30°，∠B=50°，∠C=100°
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用题型，解题的核心是将三个内角统一用同一个未知角表示，结合内角和定理建立方程求解，此类方法是求解三角形内角度数的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8

10.【阅读理解】当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”.
(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为$100°$，求这个“特征三角形”的最小内角的度数；
(2)是否存在“特征角”为$120°$的三角形？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由.

10.(1)$\because α =2β ,\therefore$当$α =100^{\circ }$时,$β =50^{\circ }$,第三个内角$\gamma =30^{\circ },\therefore$这个“特征三角形”的最小内角的度数为$30^{\circ }$ （2）不存在.理由如下:$\because α =2β ,\therefore$当$α =120^{\circ }$时,$β =60^{\circ }$,第三个内角$\gamma =0^{\circ }$,此时不能构成三角形,$\therefore$不存在“特征角”为$120^{\circ }$的三角形

【分析】
解题需先准确理解“特征三角形”的定义：三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍时，α为特征角。求解思路如下：
(1) 已知特征角α的度数时，先根据α=2β求出β的度数，再利用三角形内角和为180°计算出第三个内角的度数，最后比较三个内角的大小即可得到最小内角。
(2) 判断是否存在特征角为120°的三角形时，可先按定义求出β的度数，再计算第三个内角，若第三个内角大于0°则存在，反之则不存在。
【解析】
(1) 由“特征三角形”的定义可得$α = 2β$，
当$α=100°$时，$β=\frac{α}{2}=\frac{100°}{2}=50°$，
根据三角形内角和为$180°$，第三个内角$\gamma=180°-α-β=180°-100°-50°=30°$，
$\because 30°＜50°＜100°$，$\therefore$最小内角为$30°$。
(2) 不存在，理由如下：
当特征角$α=120°$时，由$α=2β$得$β=\frac{120°}{2}=60°$，
则第三个内角$\gamma=180°-120°-60°=0°$，
$\because$三角形的每个内角都需大于$0°$，此时无法构成三角形，
$\therefore$不存在“特征角”为$120°$的三角形。
【答案】
(1) $30°$；
(2) 不存在，当特征角为$120°$时，$β=60°$，第三个内角为$0°$，不能构成三角形。
【知识点】
三角形内角和定理；新定义阅读理解；三角形构成条件
【点评】
本题属于新定义类基础题，侧重考查对新定义的理解能力和三角形内角和定理的应用能力，解题关键是紧扣“特征角”的定义计算各内角度数，再结合三角形内角的取值要求判断即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.8

11.(学科内综合)如图,在$△ ABC$中,BD,CD分别是$∠ ABC$,$∠ ACB$的外角平分线,(1)若$∠ ABC=50°$,$∠ ACB=40°$,则$∠ D=$;(2)若$∠ A=α$,求$∠ D$的度数(用含$α$的式子表示).

11.(1)$45^{\circ }$ （2）$∠ ABC+∠ ACB=180^{\circ }-∠ A=180^{\circ }-α ,\therefore ∠ FBC+∠ BCE=180^{\circ }-∠ ABC+180^{\circ }-∠ ACB=360^{\circ }-(∠ ABC+∠ ACB)= 180^{\circ }+α ,\because BD$平分$∠ FBC,CD$平分$∠ BCE,\therefore ∠ 2=\frac {1}{2}∠ FBC,∠ 3=\frac {1}{2}∠ BCE,\therefore ∠ 2+∠ 3=\frac {1}{2}∠ FBC+ \frac {1}{2}∠ BCE=\frac {1}{2}(∠ FBC+ ∠ BCE)=90^{\circ }+\frac {1}{2}α .\therefore ∠ D=180^{\circ }-(∠ 2+∠ 3)=90^{\circ }-\frac {1}{2}α$

【分析】
解题思路如下：1. 先明确已知条件：BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线，要求∠D的度数，需先求出△BCD中另外两个内角∠2和∠3的和。2. 对于(1)问，已知△ABC两个内角的度数，可先求出它们对应的外角度数，结合角平分线定义算出∠2、∠3的度数，再用三角形内角和定理求∠D。3. 对于(2)问，将具体角度替换为∠A=α，先推导∠ABC+∠ACB与α的关系，再推导两个外角和与α的关系，结合角平分线性质得到∠2+∠3与α的关系，最后用三角形内角和定理得到∠D和α的关系式。
【解析】
(1) 已知∠ABC=50°，∠ACB=40°，
根据邻补角的性质，得：
∠FBC=180°-∠ABC=180°-50°=130°，
∠BCE=180°-∠ACB=180°-40°=140°，
∵BD平分∠FBC，CD平分∠BCE，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠FBC=$\frac{1}{2}$×130°=65°，
∠3=$\frac{1}{2}$∠BCE=$\frac{1}{2}$×140°=70°，
在△BCD中，根据三角形内角和定理：
∠D=180°-∠2-∠3=180°-65°-70°=45°。
(2) 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-α，
∴∠FBC+∠BCE=(180°-∠ABC)+(180°-∠ACB)=360°-(∠ABC+∠ACB)=360°-(180°-α)=180°+α，
∵BD平分∠FBC，CD平分∠BCE，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠FBC，∠3=$\frac{1}{2}$∠BCE，
∴∠2+∠3=$\frac{1}{2}$(∠FBC+∠BCE)=$\frac{1}{2}$×(180°+α)=90°+$\frac{1}{2}$α，
在△BCD中，根据三角形内角和定理：
∠D=180°-(∠2+∠3)=180°-(90°+$\frac{1}{2}$α)=90°-$\frac{1}{2}$α。
【答案】
(1) $45^{\circ }$；(2) $∠ D=90^{\circ }-\frac{1}{2}α$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型综合题，核心是梳理清楚三角形内角、外角的数量关系，结合角平分线的性质推导未知角和已知角的联系，掌握该类题的推导逻辑后可以快速解决同类型的角度关系探究问题。
【难度系数】
0.7