1. 一个斜坡的坡角为$30°$,则这个斜坡的坡度为
$( )$

A.$1:2$
B.$\sqrt{3}:2$
C.$1:\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}:1$

1.C

【分析】
首先明确坡度的基本概念：坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比值，它和坡角的关系为：坡度等于坡角的正切值。解题时先利用坡度与坡角的关系列出表达式，再代入30°的正切值计算，最后将结果转化为比的形式匹配选项即可。
【解析】
解：根据坡度的定义可知，坡度$i=\frac{\mathrm{铅直高度}}{\mathrm{水平宽度}}=\tanα$（$α$为坡角）。
已知坡角$α=30°$，代入得：
$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即坡度为$1:\sqrt{3}$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
坡度的定义、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查坡度和坡角的对应关系，牢记坡度等于坡角的正切值就能快速解题。
【难度系数】
0.8

2.某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡AB的坡比是1：3，坝高BC=10 m，则AC的长是（）

A.10 m
B.$10\sqrt{10}$ m
C.$20\sqrt{2}$ m
D.30 m
（第2题图）
（第3题图）

2.D

【分析】
解题首先要明确坡比的定义：坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值。本题中迎水坡AB的坡比就是坝高BC（垂直高度）与水平距离AC（水平宽度）的比值，已知坡比和BC的长度，代入比例关系即可直接求出AC的长度。
【解析】
根据坡比的定义可得：迎水坡AB的坡比$i=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，
已知坝高$BC=10\ \mathrm{m}$，将其代入上述比例式得：
$\frac{10}{AC}=\frac{1}{3}$，
解得$AC=10×3=30\ \mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
坡比的定义；解直角三角形的应用
【点评】
本题属于基础题，主要考查坡比概念的直接应用，只要牢记坡比是垂直高度与水平宽度的比值，就能快速计算得到结果。
【难度系数】
0.85

3. 如图,滑雪场有一坡角为$18°$的滑雪道,滑雪道AC的长为150 m,则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB为 ()

A.$150\tan 18°$ m
B.$150\sin 18°$ m
C.$\dfrac{150}{\cos 18°}$ m
D.$\dfrac{150}{\tan 18°}$ m

3.B

【分析】
首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠B=90°，坡角∠C=18°，已知斜边AC的长度为150m，要求的竖直高度AB是∠C的对边。我们可以根据锐角三角函数中正弦的定义，即锐角的正弦等于对边与斜边的比值，建立等式求解AB的长度。
【解析】
由题意得，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=18°，AC=150m。
根据正弦函数的定义：$\sin C=\frac{∠C的对边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$，
将已知数值代入得：$AB=AC·\sin18°=150\sin18°\ \mathrm{m}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正弦函数的定义，解直角三角形的应用，坡角的概念
【点评】
本题是坡角问题的基础题型，解题关键是明确直角三角形中已知边和未知边的位置关系，结合对应的锐角三角函数定义列式计算即可。
【难度系数】
0.8

4.如图,一个小球由地面A处沿着坡度$i=1:2$的坡面向上前进了$2\sqrt{5}$ m到达点B处,此时小球距离地面的高度BC为多少米?

4.解:由题意可知AB=2√5 m,tan A=BC/AC=1/2.
∴设BC=x m,AC=2x m.由勾股定理,得AB²=AC²+BC²,即(2√5)²=(2x)²+x²,解得x=2(负值已舍去).
∴此时小球距离地面的高度BC为2 m.

【分析】解题时首先回忆坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值，本题中坡度i=1:2，即BC:AC=1:2。观察图形可知△ABC为直角三角形，∠C=90°，已知坡面长AB=2√5 m，两条直角边存在比例关系，因此可以通过设未知数的方式，将BC设为x，AC表示为2x，再结合勾股定理列方程，求解即可得到BC的高度，注意要舍去不符合实际意义的负根。
【解析】由题意可知AB=2√5 m，tan A=BC/AC=1/2。
设BC=x m，则AC=2x m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB²=AC²+BC²，即(2√5)²=(2x)²+x²，
整理得20=5x²，解得x=2（负值不符合实际，已舍去）。
【答案】2 m
【知识点】坡度的定义；勾股定理；解直角三角形
【点评】本题属于坡度相关的基础题型，解题核心是准确理解坡度的含义，结合直角三角形的勾股定理建立方程求解，注重对基础概念和公式的应用。
【难度系数】0.75

5.某幼儿园准备建造的一款滑滑梯的截面图如图所示，AB为扶梯，BC为连廊，CD为滑梯.已知$BC// AD$，$∠ A=60°$，滑梯CD的坡度$i=1:2$，扶梯$AB=1.6\ \mathrm{m}$，连廊$BC=1.5\ \mathrm{m}$，求建成后的滑滑梯的底部AD的长.（结果精确到0.1 m，参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$，$\sqrt{3}\approx1.73$）

5.解:过点B,C分别作AD的垂线,垂足为E,F,则四边形BCFE是矩形,
∴BE=CF,EF=BC=1.5 m.在Rt△ABE中,AE=AB·cos A=0.8 m,CF=BE=AB·sin A=4√3/5 m.
∵滑梯CD的坡度i=1:2,
∴FD=2CF=8√3/5 m.
∴AD=AE+EF+FD=0.8+1.5+8√3/5≈5.1(m).答:建成后的滑滑梯的底部AD的长约为5.1 m.

【分析】
要求滑滑梯底部AD的长，可通过作辅助线将梯形ABCD分割为直角三角形和矩形求解。首先过点B、C分别作AD的垂线，垂足为E、F，可得矩形BCFE，此时AD被分为AE、EF、FD三段，EF长度等于BC的长度；再在Rt△ABE中利用三角函数求出AE、BE的长度，BE即为CF的长度；接下来根据坡度的定义，由CF的长度求出FD的长度；最后将三段长度相加即可得到AD的长。
【解析】
过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F。
∵BC//AD，BE⊥AD，CF⊥AD，
∴四边形BCFE是矩形，
∴EF=BC=1.5 m，BE=CF。
在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=1.6 m，
∴AE=AB·cosA=1.6×cos60°=1.6×0.5=0.8 m，
BE=AB·sinA=1.6×sin60°=1.6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$ m，
∴CF=BE=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$ m。
∵滑梯CD的坡度i=1:2，即$\frac{CF}{FD}=\frac{1}{2}$，
∴FD=2CF=2×$\frac{4\sqrt{3}}{5}$=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$ m。
∴AD=AE+EF+FD=0.8+1.5+$\frac{8\sqrt{3}}{5}$≈2.3+$\frac{8×1.73}{5}$≈2.3+2.77≈5.1(m)。
【答案】
建成后的滑滑梯的底部AD的长约为5.1 m。
【知识点】
解直角三角形的应用；坡度的概念；矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题的核心是通过作高将梯形转化为熟悉的直角三角形和矩形，再结合三角函数、坡度的定义计算对应线段长度，能有效考查学生对几何知识的综合运用能力和实际问题转化能力。
【难度系数】
0.7

6.直线$y=x$与$x$轴正方向所夹的锐角的度数是（）

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$

6.B

【分析】
解题思路：要确定直线$y=x$与x轴正方向所夹锐角的度数，可通过两种符合学段要求的思路求解：①在直线上取除原点外的任意一点，向x轴作垂线构造直角三角形，通过三角形的边角关系求角度；②利用一次函数斜率$k$的几何意义（$k$等于直线与x轴正方向夹角的正切值），结合特殊角的三角函数值直接求解，其中取点构造直角三角形的方法更直观易理解。
【解析】
方法1：取点构造直角三角形求解
在直线$y=x$上取横坐标为1的点，将$x=1$代入$y=x$得$y=1$，即得到点$P(1,1)$。过点$P$作$PA$垂直于x轴，垂足为$A$，则$OA=1$，$PA=1$。
在$Rt△ POA$中，$OA=PA=1$，因此$△ POA$是等腰直角三角形，所以$∠ POA=45°$，即直线$y=x$与x轴正方向所夹的锐角为$45°$。
方法2：利用斜率的几何意义求解
一次函数$y=kx$（$k\ne0$）中，斜率$k$等于直线与x轴正方向所夹锐角$α$的正切值，即$k=\tanα$。
本题中直线$y=x$的$k=1$，因此$\tanα=1$，又因为$α$为锐角，结合特殊角的三角函数值可得$α=45°$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质，特殊角的三角函数值，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是一次函数与几何结合的基础题型，侧重考查对一次函数斜率几何意义的理解和运用，掌握构造直角三角形结合三角函数求角度的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9

7.在平面直角坐标系中，已知一次函数$y=-\dfrac{1}{3}x+1$的图象与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，那么$\tan∠ BAO$的值为。

7.$\dfrac{1}{3}$

【分析】
要求$\tan∠ BAO$的值，首先需明确$∠ BAO$位于一次函数与坐标轴围成的直角$△ AOB$中。解题步骤可分为三步：第一步，根据一次函数与x轴交点纵坐标为0、与y轴交点横坐标为0的特点，分别代入函数解析式求出A、B两点的坐标；第二步，由坐标得到直角边OA、OB的长度；第三步，利用正切的定义，即直角三角形中锐角的正切值等于对边与邻边的比值，代入数值计算即可。
【解析】
对于一次函数$y=-\dfrac{1}{3}x+1$：
1. 求与x轴交点A的坐标：令$y=0$，代入解析式得：
$0=-\dfrac{1}{3}x+1$，解得$x=3$，故$A(3,0)$，可得$OA=3$。
2. 求与y轴交点B的坐标：令$x=0$，代入解析式得：
$y=1$，故$B(0,1)$，可得$OB=1$。
∵x轴与y轴互相垂直，
∴$∠ AOB=90°$，$△ AOB$为直角三角形。
在$Rt△ AOB$中，$∠ BAO$的对边是$OB$，邻边是$OA$，根据正切的定义：
$\tan∠ BAO=\dfrac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
一次函数与坐标轴的交点求解、锐角正切的定义
【点评】
本题是一次函数与锐角三角函数的综合基础题，解题核心是准确求出函数与坐标轴的交点坐标，再结合直角三角形中三角函数的定义计算，侧重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.8

8.已知直线$y=kx+b$经过点$(-1,2)$，且向上的方向与$x$轴的正方向所夹的锐角为$60°$，求直线的函数表达式.

8.解:
∵k=tan 60°=√3,
∴y=√3 x+b.将(-1,2)代入,得-√3 +b=2,解得b=2+√3.
∴直线的函数表达式为y=√3 x+2+√3.

【分析】
要确定一次函数$y=kx+b$的表达式，需先求出$k$和$b$两个未知参数。第一步求$k$：根据一次函数中$k$的几何意义，$k$等于直线向上方向与$x$轴正方向所夹锐角的正切值，已知夹角为$60°$，可直接计算得到$k$的值；第二步求$b$：已知直线经过点$(-1,2)$，将点的坐标代入仅含$b$的函数解析式，解一元一次方程即可求出$b$，最后代入$k$和$b$就能得到完整的函数表达式。
【解析】
解：
∵直线向上的方向与$x$轴的正方向所夹的锐角为$60°$，结合一次函数斜率$k$的几何意义，
∴$k=\tan60°=\sqrt{3}$，
此时直线解析式为$y=\sqrt{3}x+b$，
将点$(-1,2)$代入解析式，得：$\sqrt{3}×(-1)+b=2$，
解得：$b=2+\sqrt{3}$，
∴直线的函数表达式为$y=\sqrt{3}x+2+\sqrt{3}$。
【答案】
$y=\sqrt{3}x+2+\sqrt{3}$
【知识点】
一次函数k的几何意义，待定系数法求解析式，特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于一次函数基础题型，解题关键是先利用倾斜角与斜率的对应关系求出$k$，再结合已知点用待定系数法求解常数项，掌握相关核心概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8