6.(蚌埠一模)如图,学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西$15°$的方向上,又从A处向正东方向行驶300 m到达凉亭B处,测得湖心岛C在其南偏西$60°$的方向上,则凉亭B与湖心岛C之间的距离为 ()

A.150 m
B.$(150+150\sqrt{3})\mathrm{m}$
C.$(150+100\sqrt{2})\mathrm{m}$
D.$(400-100\sqrt{2})\mathrm{m}$

(第6题图)
(第7题图)

6.B

【分析】
解题时先结合方向角的定义，求出△ABC的各个内角度数，再通过作高将斜三角形转化为两个含特殊角的直角三角形，利用特殊角的三角函数性质分别计算对应边长，相加即可得到BC的长度。具体思路：1. 先推导∠CAB=105°，∠ABC=30°，由三角形内角和得∠C=45°；2. 过A作AD⊥BC，将△ABC分为Rt△ABD和Rt△ADC；3. 在Rt△ABD中用30°角的三角函数求AD、BD的长；4. 在Rt△ADC中用45°角的性质求CD的长，BC=BD+CD即为所求。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D。
由题意可知AB=300 m，
∠CAB = 90° + 15° = 105°，∠ABC = 90° - 60° = 30°，
∴ ∠C = 180° - 105° - 30° = 45°。
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=300 m，
∴ $AD = AB·\sin30° = 300×\frac{1}{2}=150$（m），
$BD = AB·\cos30° = 300×\frac{\sqrt{3}}{2}=150\sqrt{3}$（m）。
在Rt△ADC中，∠C=45°，∠ADC=90°，
∴ $CD = AD = 150$ m。
∴ $BC = BD + CD = 150\sqrt{3}+150=(150+150\sqrt{3})$ m。
【答案】
B
【知识点】
方向角问题，解直角三角形，特殊角的三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的典型实际应用题，解题关键是将方向角转化为三角形的内角，通过作辅助线构造直角三角形，结合特殊角的三角函数值计算边长，难度适中。
【难度系数】
0.65

7.如图,轮船从点B处以60 n mile/h的速度沿南偏东$20°$方向匀速航行,在点B处观测灯塔A位于南偏东$50°$方向上,轮船航行40 min到达点C处,在点C处观测灯塔A位于北偏东$10°$方向上,则点C处与灯塔A的距离是n mile.

7.$\dfrac{40\sqrt{3}}{3}$

【分析】
解题时可按以下步骤思考：①先根据轮船的航行速度和时间，求出BC的长度；②结合方向角的定义，利用“不同观测点的正北、正南方向线互相平行”的性质，计算出△ABC各个内角的度数；③发现△ABC为等腰三角形，过A作BC的高构造直角三角形，利用三角函数即可求出AC的长度。
【解析】
1. 计算BC的长度：
40 min = $\dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3}$ h，
由路程=速度×时间得：$BC = 60 × \dfrac{2}{3} = 40$ n mile。
2. 计算△ABC的内角：
由方向角定义得：$∠ ABC = 50° - 20° = 30°$，
因为点B的正南方向线与点C的正北方向线平行，内错角相等，所以BC与点C正北方向线的夹角为$20°$，
又因为点C观测A在北偏东$10°$方向，所以$∠ ACB = 20° + 10° = 30°$，
因此$∠ BAC = 180° - 30° - 30° = 120°$，且$AB=AC$。
3. 求AC的长度：
过点A作$AD ⊥ BC$于点D，由等腰三角形三线合一得$BD = \dfrac{1}{2}BC = 20$ n mile，
在$Rt△ ABD$中，$\cos∠ ABD = \dfrac{BD}{AB}$，
代入$∠ ABD=30°$，$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$得：
$AB = \dfrac{BD}{\cos30°} = \dfrac{20}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{40\sqrt{3}}{3}$ n mile，
因此$AC = AB = \dfrac{40\sqrt{3}}{3}$ n mile。
【答案】
$\dfrac{40\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
方向角的识别，解直角三角形，等腰三角形的性质
【点评】
本题是方向角应用的典型题型，解题核心是通过方向角转化得到三角形的内角度数，再结合三角形性质和三角函数求解，需要注意方向角的基准为正北、正南方向，避免角度计算错误。
【难度系数】
0.6

8.(连云港中考)如图,港口B位于岛A的北偏西$37°$方向,灯塔C在岛A的正东方向,$AC=6\ \mathrm{km}$,一艘海轮D在岛A的正北方向,且B,D,C三点在一条直线上,$CD=\dfrac{5}{2}BD$.
(1)求岛A与港口B之间的距离;

(2)求$\tan C$的值.(参考数据:$\sin 37°\approx\dfrac{3}{5}$,
$\cos 37°\approx\dfrac{4}{5},\tan 37°\approx\dfrac{3}{4}$)

8.解:(1)过点 B 作 $BM ⊥ AD$,垂足为 M. $\because AC ⊥ AD,\therefore BM// AC.\therefore △ BDM ∽ △ CDA.\therefore \dfrac{BM}{CA}=\dfrac{BD}{CD}.\because CD=\dfrac{5}{2}BD,AC=6\ \mathrm{km},$ $\therefore \dfrac{BM}{6}=\dfrac{2}{5}.\therefore BM=\dfrac{12}{5}\ \mathrm{km}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABM$ 中,$∠ BAD=37°,\sin ∠ BAD=\dfrac{BM}{AB},\therefore AB\approx 4\ \mathrm{km}.$ 答:岛 A 与港口 B 之间的距离约为 4 km. (2)在 $\mathrm{Rt}△ ABM$ 中,$AM=AB· \cos 37°\approx \dfrac{16}{5}\ \mathrm{km}.$ 由(1),得$△ BDM ∽ △ CDA,\therefore \dfrac{DM}{DA}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{2}{5}.\therefore AD=\dfrac{5}{7}AM=\dfrac{16}{7}\ \mathrm{km}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$\tan C=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{8}{21}.$

【分析】
(1) 要求岛A与港口B的距离AB，已知∠BAD=37°，需构造含37°角的直角三角形。过点B作BM⊥AD，由AC⊥AD可得BM//AC，进而证得△BDM∽△CDA，结合已知的线段比例和AC的长度可求出BM的长，再在Rt△ABM中利用正弦三角函数即可求出AB的长度。
(2) 要求tanC的值，在Rt△ADC中，tanC=AD/AC，AC已知，因此只需先求出AD的长度。先在Rt△ABM中利用余弦求出AM的长，再根据相似三角形的对应边比例关系得到DM与AD的比值，进而求出AD的长，最后代入锐角三角函数定义即可求得tanC。
【解析】
(1) 过点B作$BM ⊥ AD$，垂足为M。
$\because AC ⊥ AD$，$\therefore BM// AC$，$\therefore △ BDM ∽ △ CDA$，$\therefore \dfrac{BM}{CA}=\dfrac{BD}{CD}$。
$\because CD=\dfrac{5}{2}BD$，$AC=6\ \mathrm{km}$，$\therefore \dfrac{BM}{6}=\dfrac{2}{5}$，解得$BM=\dfrac{12}{5}\ \mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，$∠ BAD=37°$，$\sin ∠ BAD=\dfrac{BM}{AB}$，
$\therefore AB=\dfrac{BM}{\sin37°}\approx\dfrac{\dfrac{12}{5}}{\dfrac{3}{5}}=4\ \mathrm{km}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，$AM=AB· \cos37°\approx 4×\dfrac{4}{5}=\dfrac{16}{5}\ \mathrm{km}$。
由(1)得$△ BDM ∽ △ CDA$，$\therefore \dfrac{DM}{DA}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{2}{5}$，
$\therefore AD=\dfrac{5}{7}AM=\dfrac{5}{7}×\dfrac{16}{5}=\dfrac{16}{7}\ \mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\tan C=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{\dfrac{16}{7}}{6}=\dfrac{8}{21}$。
【答案】
(1) 岛A与港口B之间的距离约为$\boxed{4\ \mathrm{km}}$；
(2) $\tan C$的值为$\boxed{\dfrac{8}{21}}$。
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 锐角三角函数
3. 方向角问题
【点评】
本题是方向角类的综合应用题，核心考查相似三角形和锐角三角函数的结合应用，解题的关键是通过作辅助线构造出相似三角形与直角三角形，将已知的角度、线段比例关系转化为可计算的线段长度，是解直角三角形实际应用的典型考法。
【难度系数】
0.6

9.如图，某一海域有4个小岛A,B,C,D，其中小岛B,C,D位于同一条直线上，经测量，小岛A位于小岛B北偏东$45°$方向，且小岛A位于小岛C北偏东$15°$方向，小岛B和小岛C之间的距离为12 n mile.
(1)求小岛A和小岛C之间的距离AC；(结果保留根号)
(2)若小岛D位于小岛A东偏南$60°$方向，求小岛A与小岛D之间的距离AD.(结果精确到0.01 n mile，参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414,\sqrt{3}\approx1.732$)

9.解:(1)过点 C 作 $CE ⊥ AB$ 于点 E. 由题意可知$∠ B=90°-45°=45°,∠ ACD=90°-15°=75°,\therefore CE=BC· \sin B=6\sqrt{2}\ \mathrm{n mile},$ $∠ BAC=∠ ACD-∠ B=30°.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACE$ 中,$∠ CAE=30°,\therefore AC=2CE=12\sqrt{2}\ \mathrm{n mile}.$ 答:小岛 A 和小岛 C 之间的距离 AC 为$12\sqrt{2}\ \mathrm{n mile}.$ (2)过点 C 作 $CF ⊥ AD$ 于点 F. 由题意可知$∠ D=∠ DAG=60°,\therefore ∠ CAD=180°-∠ ACD-∠ D=45°.\therefore AF=CF=AC· \sin ∠ CAF=12\ \mathrm{n mile}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,$DF=\dfrac{CF}{\tan D}=4\sqrt{3}\ \mathrm{n mile}.\therefore AD=AF+DF=12+4\sqrt{3}\approx 18.93(\mathrm{n mile}).$ 答:小岛 A 与小岛 D 之间的距离 AD 约为 18.93 n mile.

【分析】
要解决这道方向角相关的实际问题，可按以下思路推导：
(1) 求AC的长度：首先将方向角转化为三角形内角，由A在B北偏东45°得$∠ B=45°$，由A在C北偏东15°得外角$∠ ACD=75°$，利用三角形外角性质可推出$∠ BAC=30°$。过C作$CE⊥ AB$构造直角三角形，先在$\mathrm{Rt}△ BCE$中用三角函数求出CE的长度，再在$\mathrm{Rt}△ ACE$中利用30°角的性质即可求出AC。
(2) 求AD的长度：先根据D在A东偏南60°的条件推出$∠ D=60°$，再用三角形内角和算出$∠ CAD=45°$，过C作$CF⊥ AD$构造两个直角三角形，分别求出AF和DF的长度，相加即可得到AD，最后代入近似值计算结果。
【解析】
(1) 过点C作$CE ⊥ AB$于点E。
由题意得：$∠ B=90°-45°=45°$，$∠ ACD=90°-15°=75°$，
根据三角形外角性质，$∠ BAC=∠ ACD-∠ B=75°-45°=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BC=12\ \mathrm{n\ mile}$，
$\therefore CE=BC·\sin45°=12×\frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}\ \mathrm{n\ mile}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ CAE=30°$，30°角所对直角边为斜边的一半，
$\therefore AC=2CE=2×6\sqrt{2}=12\sqrt{2}\ \mathrm{n\ mile}$。
(2) 过点C作$CF ⊥ AD$于点F。
由题意得$AG// BD$，$∠ DAG=60°$，$\therefore ∠ D=∠ DAG=60°$。
在$△ ACD$中，$∠ CAD=180°-∠ ACD-∠ D=180°-75°-60°=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACF$中，$AC=12\sqrt{2}\ \mathrm{n\ mile}$，
$\therefore AF=CF=AC·\sin45°=12\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=12\ \mathrm{n\ mile}$。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$\tan D=\frac{CF}{DF}$，
$\therefore DF=\frac{CF}{\tan60°}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile}$。
$\therefore AD=AF+DF=12+4\sqrt{3}\approx12+4×1.732=18.93\ \mathrm{n\ mile}$。
【答案】
(1) 小岛A和小岛C之间的距离AC为$12\sqrt{2}\ \mathrm{n\ mile}$；
(2) 小岛A与小岛D之间的距离AD约为$18.93\ \mathrm{n\ mile}$。
【知识点】
方向角的应用，解直角三角形，三角形内外角性质
【点评】
本题是解直角三角形在方位问题中的典型应用，核心是通过作高构造直角三角形，将斜三角形的求解转化为直角三角形的三角函数计算，解题关键是准确把方向角转化为三角形的内角度数，结合特殊角的三角函数值计算即可。
【难度系数】
0.65