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1.如图,小明在点O处测得图书馆A在他的北偏东$60°$方向,且与他相距200 m,则图书馆A到公路的距离AB为 （
A.100 m
B.$100\sqrt{2}$ m
C.$100\sqrt{3}$ m
D.$\frac{200\sqrt{3}}{3}$ m
（第1题图）
（第2题图）
A
）A.100 m
B.$100\sqrt{2}$ m
C.$100\sqrt{3}$ m
D.$\frac{200\sqrt{3}}{3}$ m
（第1题图）
（第2题图）
答案
1.A
解析
【分析】
本题是方向角结合解直角三角形的应用类题目，解题思路如下：第一步，先根据方向角的定义确定直角三角形中的锐角度数：“北偏东60°”是指OA与正北方向的夹角为60°，因此OA与正东方向OB的夹角∠AOB=90°-60°=30°；第二步，明确△OAB是直角三角形（AB⊥OB），已知斜边OA长度为200m，要求AB的长度，可利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，或锐角三角函数直接计算即可。
【解析】
由题意可知AB⊥OB，即△ABO为直角三角形，∠ABO=90°。
∵点A在点O的北偏东60°方向，
∴∠AOB=90°-60°=30°，
又
∵OA=200m，
在Rt△ABO中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴AB=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×200=100（m）。
【答案】
A
【知识点】
方向角的定义，解直角三角形，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是准确根据方向角确定直角三角形的内角度数，再结合直角三角形的边角关系即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
本题是方向角结合解直角三角形的应用类题目，解题思路如下：第一步，先根据方向角的定义确定直角三角形中的锐角度数：“北偏东60°”是指OA与正北方向的夹角为60°，因此OA与正东方向OB的夹角∠AOB=90°-60°=30°；第二步，明确△OAB是直角三角形（AB⊥OB），已知斜边OA长度为200m，要求AB的长度，可利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，或锐角三角函数直接计算即可。
【解析】
由题意可知AB⊥OB，即△ABO为直角三角形，∠ABO=90°。
∵点A在点O的北偏东60°方向，
∴∠AOB=90°-60°=30°，
又
∵OA=200m，
在Rt△ABO中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴AB=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×200=100（m）。
【答案】
A
【知识点】
方向角的定义，解直角三角形，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是准确根据方向角确定直角三角形的内角度数，再结合直角三角形的边角关系即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
2.如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西$40°$方向，货轮以20 n mile/h的速度航行0.8 h后正好到达灯塔M的正东方向的B处，此时货轮与灯塔M的距离约为
13.4
n mile.（结果精确到0.1 n mile，参考数据：$\sin 40°\approx0.64$，$\cos 40°\approx0.77$，$\tan 40°\approx0.84$）答案
2.13.4
解析
【分析】
解题首先根据“路程=速度×时间”计算出货轮从A到B航行的距离AB的长度；再结合题意判断△ABM是直角三角形，其中∠ABM=90°，且在A点测得M在北偏西40°，即∠MAB=40°；要求的MB是Rt△ABM中∠MAB的对边，已知邻边AB，因此选择正切函数建立边角关系，代入数据计算即可得到结果。
【解析】
解：首先计算AB的长度：
$AB = 速度×时间 = 20×0.8 = 16\ \mathrm{n mile}$
由题意可知，B在M的正东方向，AB为正北方向，故$∠ ABM=90°$，$△ ABM$是直角三角形，且$∠ MAB=40°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，$\tan∠ MAB = \frac{MB}{AB}$，
因此$MB = AB · \tan40° \approx 16 × 0.84 = 13.44 \approx 13.4\ \mathrm{n mile}$
【答案】
13.4
【知识点】
方向角的识别；解直角三角形的应用；锐角三角函数的应用
【点评】
本题结合航行的实际情境考查方向角相关的解直角三角形问题，解题的核心是将实际场景中的方向关系转化为直角三角形的内角和边长关系，选择对应的锐角三角函数计算，整体难度不高，需要注意不要混淆三角函数对应的边角关系。
【难度系数】
0.7
解题首先根据“路程=速度×时间”计算出货轮从A到B航行的距离AB的长度；再结合题意判断△ABM是直角三角形，其中∠ABM=90°，且在A点测得M在北偏西40°，即∠MAB=40°；要求的MB是Rt△ABM中∠MAB的对边，已知邻边AB，因此选择正切函数建立边角关系，代入数据计算即可得到结果。
【解析】
解：首先计算AB的长度：
$AB = 速度×时间 = 20×0.8 = 16\ \mathrm{n mile}$
由题意可知，B在M的正东方向，AB为正北方向，故$∠ ABM=90°$，$△ ABM$是直角三角形，且$∠ MAB=40°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，$\tan∠ MAB = \frac{MB}{AB}$，
因此$MB = AB · \tan40° \approx 16 × 0.84 = 13.44 \approx 13.4\ \mathrm{n mile}$
【答案】
13.4
【知识点】
方向角的识别；解直角三角形的应用；锐角三角函数的应用
【点评】
本题结合航行的实际情境考查方向角相关的解直角三角形问题，解题的核心是将实际场景中的方向关系转化为直角三角形的内角和边长关系，选择对应的锐角三角函数计算，整体难度不高，需要注意不要混淆三角函数对应的边角关系。
【难度系数】
0.7
3.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东$37°$方向,距离灯塔100 n mile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东$45°$方向上的B处.这时B处距离A处有多远?(参考数据:$\sin 37°\approx0.60,\cos 37°\approx0.80,\tan 37°\approx0.75$)
答案
3.解:过点 P 作 $PC ⊥ AB$ 于点 C,则$∠ ACP=∠ BCP=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ APC$ 中,$∠ A=37°,AP=100\ \mathrm{n mile},\therefore PC=AP· \sin A\approx 60\ \mathrm{n mile},AC=AP· \cos A\approx 80\ \mathrm{n mile}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ BPC$ 中,$∠ B=45°,\therefore BC=\dfrac{PC}{\tan B}=60\ \mathrm{n mile}.\therefore AB=AC+BC=140\ \mathrm{n mile}.$ 答:这时 B 处距离 A 处约 140 n mile.
解析
【分析】
这是方向角相关的解直角三角形实际应用题，解题思路如下：首先，题干给出的△APB不是直角三角形，需要通过作辅助线构造直角三角形，过点P作PC⊥AB于点C，即可将△APB拆分为Rt△APC和Rt△BPC两个直角三角形；其次，在Rt△APC中，已知∠A=37°、AP=100 n mile，可利用正弦、余弦三角函数分别求出PC和AC的长度；最后，在Rt△BPC中，∠B=45°，可得BC=PC，将AC与BC相加即可得到AB的总长度。
【解析】
过点 P 作 $PC ⊥ AB$ 于点 C，则$∠ ACP=∠ BCP=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ APC$ 中，$∠ A=37°,AP=100\ \mathrm{n mile}$，
$\therefore PC=AP· \sin A\approx 100×0.60=60\ \mathrm{n mile}$，
$AC=AP· \cos A\approx 100×0.80=80\ \mathrm{n mile}$。
在 $\mathrm{Rt}△ BPC$ 中，$∠ B=45°$，
$\therefore BC=\dfrac{PC}{\tan B}=\dfrac{60}{1}=60\ \mathrm{n mile}$。
$\therefore AB=AC+BC=80+60=140\ \mathrm{n mile}$。
【答案】
这时B处距离A处约140 n mile。
【知识点】
方向角问题、锐角三角函数、解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景中的典型应用，重点考查对方向角概念的理解，以及通过作辅助线构造直角三角形转化问题的能力，解题核心是将实际问题中的数量关系对应到直角三角形的边角关系中，结合给出的三角函数值准确计算边长。
【难度系数】
0.7
这是方向角相关的解直角三角形实际应用题，解题思路如下：首先，题干给出的△APB不是直角三角形，需要通过作辅助线构造直角三角形，过点P作PC⊥AB于点C，即可将△APB拆分为Rt△APC和Rt△BPC两个直角三角形；其次，在Rt△APC中，已知∠A=37°、AP=100 n mile，可利用正弦、余弦三角函数分别求出PC和AC的长度；最后，在Rt△BPC中，∠B=45°，可得BC=PC，将AC与BC相加即可得到AB的总长度。
【解析】
过点 P 作 $PC ⊥ AB$ 于点 C，则$∠ ACP=∠ BCP=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ APC$ 中，$∠ A=37°,AP=100\ \mathrm{n mile}$，
$\therefore PC=AP· \sin A\approx 100×0.60=60\ \mathrm{n mile}$，
$AC=AP· \cos A\approx 100×0.80=80\ \mathrm{n mile}$。
在 $\mathrm{Rt}△ BPC$ 中，$∠ B=45°$，
$\therefore BC=\dfrac{PC}{\tan B}=\dfrac{60}{1}=60\ \mathrm{n mile}$。
$\therefore AB=AC+BC=80+60=140\ \mathrm{n mile}$。
【答案】
这时B处距离A处约140 n mile。
【知识点】
方向角问题、锐角三角函数、解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景中的典型应用，重点考查对方向角概念的理解，以及通过作辅助线构造直角三角形转化问题的能力，解题核心是将实际问题中的数量关系对应到直角三角形的边角关系中，结合给出的三角函数值准确计算边长。
【难度系数】
0.7
4.如图,在一笔直的海岸线上有A,B两个观测站,观测站A在观测站B的正西方向,AB=2 km,从观测站A测得船C在北偏东45°的方向,从观测站B测得船C在北偏西30°的方向.求船C离观测站A的距离.(结果保留根号)
答案
4.解:过点 C 作 $CD ⊥ AB$ 于点 D,则$∠ CAD=∠ ACD=45°,\therefore AD=CD.$ 设 $AD=CD=x\ \mathrm{km},$ 则 $AC=\sqrt{2}x\ \mathrm{km},BD=AB-AD=(2-x)\mathrm{km}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,$\because ∠ CBD=60°,\tan ∠ CBD=\dfrac{CD}{BD},\therefore \dfrac{x}{2-x}=\sqrt{3},$ 解得 $x=3-\sqrt{3}.$ 经检验,$x=3-\sqrt{3}$是原方程的根,且符合题意.$\therefore AC=\sqrt{2}x=(3\sqrt{2}-\sqrt{6})\mathrm{km}.$ 答:船 C 离观测站 A 的距离为$(3\sqrt{2}-\sqrt{6})\mathrm{km}.$
解析
【分析】
这是一道利用解直角三角形解决方向角的实际应用题，解题思路如下：首先，题目给出的△ABC不是直角三角形，无法直接利用边角关系求解，因此需要作辅助线构造直角三角形，我们可以过点C作CD⊥AB于点D，得到两个直角三角形Rt△ACD和Rt△BCD；其次，根据方向角可知∠CAD=45°，因此Rt△ACD是等腰直角三角形，得到AD=CD，我们可以设AD=CD为x，用含x的式子表示出AC和BD的长度；最后，在Rt△BCD中，根据∠CBD=60°，利用正切三角函数的定义列方程求解x，再代入AC的表达式即可得到结果。
【解析】
过点C作$CD ⊥ AB$于点D，
由方向角的定义可得$∠ CAD=90°-45°=45°$，
$\therefore ∠ ACD=45°=∠ CAD$，$\therefore AD=CD$。
设 $AD=CD=x\ \mathrm{km}$，
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{2}x\ \mathrm{km}$，
$\because AB=2\ \mathrm{km}$，$\therefore BD=AB-AD=(2-x)\mathrm{km}$。
由方向角的定义可得$∠ CBD=90°-30°=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$\tan ∠ CBD=\dfrac{CD}{BD}$，
$\therefore \dfrac{x}{2-x}=\sqrt{3}$，
解得 $x=3-\sqrt{3}$，经检验，$x=3-\sqrt{3}$是原方程的根，且符合题意。
$\therefore AC=\sqrt{2}x=\sqrt{2}(3-\sqrt{3})=(3\sqrt{2}-\sqrt{6})\mathrm{km}$。
【答案】
船C离观测站A的距离为$(3\sqrt{2}-\sqrt{6})\mathrm{km}$。
【知识点】
方向角问题；解直角三角形；锐角三角函数应用
【点评】
本题是方向角实际应用的常规题型，解题的核心是通过作高将斜三角形转化为两个直角三角形，结合方程思想，利用直角三角形的性质和锐角三角函数建立等量关系求解，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
这是一道利用解直角三角形解决方向角的实际应用题，解题思路如下：首先，题目给出的△ABC不是直角三角形，无法直接利用边角关系求解，因此需要作辅助线构造直角三角形，我们可以过点C作CD⊥AB于点D，得到两个直角三角形Rt△ACD和Rt△BCD；其次，根据方向角可知∠CAD=45°，因此Rt△ACD是等腰直角三角形，得到AD=CD，我们可以设AD=CD为x，用含x的式子表示出AC和BD的长度；最后，在Rt△BCD中，根据∠CBD=60°，利用正切三角函数的定义列方程求解x，再代入AC的表达式即可得到结果。
【解析】
过点C作$CD ⊥ AB$于点D，
由方向角的定义可得$∠ CAD=90°-45°=45°$，
$\therefore ∠ ACD=45°=∠ CAD$，$\therefore AD=CD$。
设 $AD=CD=x\ \mathrm{km}$，
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{2}x\ \mathrm{km}$，
$\because AB=2\ \mathrm{km}$，$\therefore BD=AB-AD=(2-x)\mathrm{km}$。
由方向角的定义可得$∠ CBD=90°-30°=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$\tan ∠ CBD=\dfrac{CD}{BD}$，
$\therefore \dfrac{x}{2-x}=\sqrt{3}$，
解得 $x=3-\sqrt{3}$，经检验，$x=3-\sqrt{3}$是原方程的根，且符合题意。
$\therefore AC=\sqrt{2}x=\sqrt{2}(3-\sqrt{3})=(3\sqrt{2}-\sqrt{6})\mathrm{km}$。
【答案】
船C离观测站A的距离为$(3\sqrt{2}-\sqrt{6})\mathrm{km}$。
【知识点】
方向角问题；解直角三角形；锐角三角函数应用
【点评】
本题是方向角实际应用的常规题型，解题的核心是通过作高将斜三角形转化为两个直角三角形，结合方程思想，利用直角三角形的性质和锐角三角函数建立等量关系求解，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
5.如图,一渔轮在海上A处测得灯塔C在它的北偏东$60°$方向,渔轮向正东方向航行10 n mile到达点B处,测得灯塔C在它的北偏东$45°$方向.若灯塔C四周14 n mile范围内有暗礁,则渔轮继续向正东方向航行,是否有触礁的危险? ($\sqrt{2}≈1.41,\sqrt{3}≈1.73$)
答案
5.解:过点 C 作 $CH ⊥ AB$ 于点 H. $\because ∠ DAC=60°,∠ CBE=45°,\therefore ∠ CAH=90°-∠ CAD=30°,∠ CBH=90°-∠ CBE=45°.$ $\therefore ∠ BCH=90°-∠ CBH=45°=∠ CBH.\therefore BH=CH.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACH$ 中,$∠ CAH=30°,AH=AB+BH=10+CH,\tan ∠ CAH=\dfrac{CH}{AH},\therefore CH=\dfrac{\sqrt{3}}{3}(10+CH).\therefore CH=5\sqrt{3}+5\approx 13.65(\mathrm{n mile}).$ $\because 13.65＜14,\therefore$ 渔轮继续向正东方向航行,有触礁的危险.
解析
【分析】
要判断渔轮继续向东航行是否有触礁危险，本质是求灯塔C到正东航线AB的最短距离，根据垂线段最短，只需过点C作AB的垂线CH，计算CH的长度后与14n mile比较即可。首先根据方向角得出两个直角三角形的内角：$∠ CAH=30°$，$∠ CBH=45°$，可得$BH=CH$，再结合$AB=10\ \mathrm{n\ mile}$的条件，利用30°角的正切函数建立关于CH的方程，求解后比较大小就能得出结论。
【解析】
过点C作$CH ⊥ AB$，交AB的延长线于点H。
由题意得：$∠ DAC=60°$，$∠ CBE=45°$，$AB=10\ \mathrm{n\ mile}$，
$\therefore ∠ CAH=90° - ∠ DAC=30°$，$∠ CBH=90° - ∠ CBE=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCH$中，$∠ BCH=90° - ∠ CBH=45°=∠ CBH$，
$\therefore BH=CH$，
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$AH=AB+BH=10+CH$，$\tan∠ CAH=\frac{CH}{AH}$，即$\tan30°=\frac{CH}{10+CH}$，
$\therefore \frac{CH}{10+CH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得：$CH=5\sqrt{3}+5$，
代入$\sqrt{3}\approx1.73$得：$CH\approx5×1.73+5=13.65\ \mathrm{n\ mile}$，
$\because 13.65＜14$，
$\therefore$ 渔轮继续向正东方向航行，有触礁的危险。
【答案】
渔轮继续向正东方向航行，有触礁的危险。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 方向角
3. 锐角三角函数
【点评】
本题是典型的方向角实际应用问题，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将实际安全判断问题转化为求点到直线距离的数学问题，利用特殊角的三角函数建立方程求解，考查了数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
要判断渔轮继续向东航行是否有触礁危险，本质是求灯塔C到正东航线AB的最短距离，根据垂线段最短，只需过点C作AB的垂线CH，计算CH的长度后与14n mile比较即可。首先根据方向角得出两个直角三角形的内角：$∠ CAH=30°$，$∠ CBH=45°$，可得$BH=CH$，再结合$AB=10\ \mathrm{n\ mile}$的条件，利用30°角的正切函数建立关于CH的方程，求解后比较大小就能得出结论。
【解析】
过点C作$CH ⊥ AB$，交AB的延长线于点H。
由题意得：$∠ DAC=60°$，$∠ CBE=45°$，$AB=10\ \mathrm{n\ mile}$，
$\therefore ∠ CAH=90° - ∠ DAC=30°$，$∠ CBH=90° - ∠ CBE=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCH$中，$∠ BCH=90° - ∠ CBH=45°=∠ CBH$，
$\therefore BH=CH$，
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$AH=AB+BH=10+CH$，$\tan∠ CAH=\frac{CH}{AH}$，即$\tan30°=\frac{CH}{10+CH}$，
$\therefore \frac{CH}{10+CH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得：$CH=5\sqrt{3}+5$，
代入$\sqrt{3}\approx1.73$得：$CH\approx5×1.73+5=13.65\ \mathrm{n\ mile}$，
$\because 13.65＜14$，
$\therefore$ 渔轮继续向正东方向航行，有触礁的危险。
【答案】
渔轮继续向正东方向航行，有触礁的危险。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 方向角
3. 锐角三角函数
【点评】
本题是典型的方向角实际应用问题，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将实际安全判断问题转化为求点到直线距离的数学问题，利用特殊角的三角函数建立方程求解，考查了数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
