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6.某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度（如图），在建筑物旁边有一高度为10 m的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°(AB,CD在同一平面内，点B，D在同一水平线上)，则建筑物CD的高为
15
m.答案
6.15
解析
【分析】
遇到仰角求高度的问题，首先考虑构造直角三角形转化已知条件。过点A作AE垂直CD于E，可得矩形ABDE，因此DE=AB=10m，AE=BD。接下来分别在含30°、60°角的两个直角三角形中，用含CD的式子表示出AE和BD，再利用AE=BD的等量关系列方程求解即可。
【解析】
过点A作AE⊥CD于点E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，AE⊥CD，
∴四边形ABDE是矩形，
∴DE=AB=10 m，AE=BD。
设建筑物CD的高为$ h $ m，则$ CE = CD - DE = (h - 10) $ m。
在$ \mathrm{Rt}△ AEC $中，$ ∠ CAE = 30° $，
由$ \tan30° = \frac{CE}{AE} $，得：
$ AE = \frac{CE}{\tan30°} = \frac{h - 10}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3}(h - 10) $。
在$ \mathrm{Rt}△ BCD $中，$ ∠ CBD = 60° $，
由$ \tan60° = \frac{CD}{BD} $，得：
$ BD = \frac{CD}{\tan60°} = \frac{h}{\sqrt{3}} $。
∵$ AE = BD $，
∴$ \sqrt{3}(h - 10) = \frac{h}{\sqrt{3}} $，
两边同乘$ \sqrt{3} $得：$ 3(h - 10) = h $，
解得$ h = 15 $。
【答案】
15
【知识点】
解直角三角形的应用（仰角问题）、矩形的性质、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是仰角测量的典型题型，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，借助矩形的性质找到两个直角三角形之间边的等量关系，列方程求解即可，需要熟练掌握30°、60°等特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
遇到仰角求高度的问题，首先考虑构造直角三角形转化已知条件。过点A作AE垂直CD于E，可得矩形ABDE，因此DE=AB=10m，AE=BD。接下来分别在含30°、60°角的两个直角三角形中，用含CD的式子表示出AE和BD，再利用AE=BD的等量关系列方程求解即可。
【解析】
过点A作AE⊥CD于点E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，AE⊥CD，
∴四边形ABDE是矩形，
∴DE=AB=10 m，AE=BD。
设建筑物CD的高为$ h $ m，则$ CE = CD - DE = (h - 10) $ m。
在$ \mathrm{Rt}△ AEC $中，$ ∠ CAE = 30° $，
由$ \tan30° = \frac{CE}{AE} $，得：
$ AE = \frac{CE}{\tan30°} = \frac{h - 10}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3}(h - 10) $。
在$ \mathrm{Rt}△ BCD $中，$ ∠ CBD = 60° $，
由$ \tan60° = \frac{CD}{BD} $，得：
$ BD = \frac{CD}{\tan60°} = \frac{h}{\sqrt{3}} $。
∵$ AE = BD $，
∴$ \sqrt{3}(h - 10) = \frac{h}{\sqrt{3}} $，
两边同乘$ \sqrt{3} $得：$ 3(h - 10) = h $，
解得$ h = 15 $。
【答案】
15
【知识点】
解直角三角形的应用（仰角问题）、矩形的性质、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是仰角测量的典型题型，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，借助矩形的性质找到两个直角三角形之间边的等量关系，列方程求解即可，需要熟练掌握30°、60°等特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
7.(陕西中考)小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽.测量示意图如图所示,他们在河边的山坡BM上的点C处安装测角仪CD,测得河对岸点A的俯角α为8.5°,CD与BM的夹角β为78.5°,又测得点C与河岸点B之间的距离CB为10 m.已知CD=1.6 m,点A,B,C,D,M,N在同一平面上,点A,B,N在同一水平直线上,且CD⊥AB,求河宽AB.(参考数据:sin 8.5°≈0.15,cos 8.5°≈0.99,tan 8.5°≈0.15,sin 78.5°≈0.98,cos 78.5°≈0.20,tan 78.5°≈4.92)
答案
7.解:延长$DC$,交$AN$于点$H$,则$DH⊥ AN$. 在$\mathrm{Rt}△ BCH$中,$BC=10\ \mathrm{cm}$,$∠ BCH=∠ β=78.5°$,$\therefore CH=BC· \cos ∠ BCH\approx10×0.20=2(\mathrm{m})$,$BH=BC· \sin ∠ BCH\approx10×0.98=9.8(\mathrm{m}).\therefore DH=CD+CH=3.6\ \mathrm{m}.\because DE// AN$,$\therefore ∠ DAH=∠ EDA=α=8.5°$.在$\mathrm{Rt}△ DAH$中,$AH=\dfrac{DH}{\tan ∠ DAH}\approx24\ \mathrm{m}.\therefore AB=AH-BH=14.2\ \mathrm{m}$.答:河宽$AB$约为$14.2\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
要计算河宽AB，观察图形可知AB=AH-BH，因此需分别求出AH和BH的长度。首先根据CD⊥AN的条件，延长DC交AN于点H，即可得到两个直角三角形Rt△BCH和Rt△DAH。首先在Rt△BCH中，已知BC的长度和角β的大小，利用三角函数可求出CH和BH；再结合CD的长度求出DH的长度，根据平行线的性质，俯角α等于∠DAH，接着在Rt△DAH中利用正切函数求出AH的长度，最后用AH减去BH即可得到AB的长度。
【解析】
延长$DC$，交$AN$于点$H$，则$DH⊥ AN$。
在$\mathrm{Rt}△ BCH$中，$BC=10\ \mathrm{m}$，$∠ BCH=∠ β=78.5°$，
$\therefore CH=BC· \cos ∠ BCH\approx10×0.20=2(\mathrm{m})$，
$BH=BC· \sin ∠ BCH\approx10×0.98=9.8(\mathrm{m})$。
$\therefore DH=CD+CH=1.6+2=3.6(\mathrm{m})$。
$\because DE// AN$，
$\therefore ∠ DAH=∠ EDA=α=8.5°$。
在$\mathrm{Rt}△ DAH$中，$AH=\dfrac{DH}{\tan ∠ DAH}\approx\dfrac{3.6}{0.15}=24(\mathrm{m})$。
$\therefore AB=AH-BH=24-9.8=14.2(\mathrm{m})$。
【答案】
河宽$AB$约为$14.2\ \mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形的应用；俯角的定义；平行线的性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的应用，解题的关键是合理添加辅助线构造直角三角形，将实际问题中的长度、角度关系转化为直角三角形中的边角关系，结合三角函数即可求解。
【难度系数】
0.6
要计算河宽AB，观察图形可知AB=AH-BH，因此需分别求出AH和BH的长度。首先根据CD⊥AN的条件，延长DC交AN于点H，即可得到两个直角三角形Rt△BCH和Rt△DAH。首先在Rt△BCH中，已知BC的长度和角β的大小，利用三角函数可求出CH和BH；再结合CD的长度求出DH的长度，根据平行线的性质，俯角α等于∠DAH，接着在Rt△DAH中利用正切函数求出AH的长度，最后用AH减去BH即可得到AB的长度。
【解析】
延长$DC$，交$AN$于点$H$，则$DH⊥ AN$。
在$\mathrm{Rt}△ BCH$中，$BC=10\ \mathrm{m}$，$∠ BCH=∠ β=78.5°$，
$\therefore CH=BC· \cos ∠ BCH\approx10×0.20=2(\mathrm{m})$，
$BH=BC· \sin ∠ BCH\approx10×0.98=9.8(\mathrm{m})$。
$\therefore DH=CD+CH=1.6+2=3.6(\mathrm{m})$。
$\because DE// AN$，
$\therefore ∠ DAH=∠ EDA=α=8.5°$。
在$\mathrm{Rt}△ DAH$中，$AH=\dfrac{DH}{\tan ∠ DAH}\approx\dfrac{3.6}{0.15}=24(\mathrm{m})$。
$\therefore AB=AH-BH=24-9.8=14.2(\mathrm{m})$。
【答案】
河宽$AB$约为$14.2\ \mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形的应用；俯角的定义；平行线的性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的应用，解题的关键是合理添加辅助线构造直角三角形，将实际问题中的长度、角度关系转化为直角三角形中的边角关系，结合三角函数即可求解。
【难度系数】
0.6
8. 项目学习新趋势（安庆模拟）根据以下素材，探索完成任务.
项目背景：飞来石(图①)，位于安徽省黄山风景区平天红的一块平坦岩石上，由中细粒斑状花岗岩经风化作用形成.图②为其侧面示意图.某学校科技小组想用所学知识使用无人机测量飞来石的高度AB(飞来石的底部不可到达)
图示及说明：如图②，无人机从点C竖直上升到点D，测得CD的长为3 m，飞来石顶部A的仰角为22°.接着无人机沿着与水平线成30°角的方向继续飞行到点E，此时无人机正好在A的正上方，测得AE的长为4 m，
任务：求飞来石的高度AB(结果保留整数)
参考数据：$\sin22°\approx0.37$，$\cos22°\approx0.93$，$\tan22°\approx0.40$，$\sqrt{3}\approx1.73$
项目背景：飞来石(图①)，位于安徽省黄山风景区平天红的一块平坦岩石上，由中细粒斑状花岗岩经风化作用形成.图②为其侧面示意图.某学校科技小组想用所学知识使用无人机测量飞来石的高度AB(飞来石的底部不可到达)
图示及说明：如图②，无人机从点C竖直上升到点D，测得CD的长为3 m，飞来石顶部A的仰角为22°.接着无人机沿着与水平线成30°角的方向继续飞行到点E，此时无人机正好在A的正上方，测得AE的长为4 m，
任务：求飞来石的高度AB(结果保留整数)
参考数据：$\sin22°\approx0.37$，$\cos22°\approx0.93$，$\tan22°\approx0.40$，$\sqrt{3}\approx1.73$
答案
8.解:过点$D$作$DG⊥ AB$于点$G$,可得四边形$BCDG$为矩形.$\therefore BG=CD=3\ \mathrm{m}$. 由题意,得$∠ ADG=22°$,$∠ EDG=30°$.设$DG=x\ \mathrm{m}$. 在$\mathrm{Rt}△ ADG$中,$AG=DG· \tan ∠ ADG\approx0.4x\ \mathrm{m}$. 在$\mathrm{Rt}△ EDG$中,$EG=DG· \tan ∠ EDG=\dfrac{\sqrt{3}x}{3}\ \mathrm{m}.\because AE=EG-AG$,$\therefore \dfrac{\sqrt{3}x}{3}-0.4x=4$,解得$x\approx22.6$.$\therefore AG=0.4x=9.04\ \mathrm{m}.\therefore AB=AG+BG\approx12\ \mathrm{m}$.答:飞来石的高度$AB$约为$12\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
这是利用解直角三角形测量不可到达物体高度的实际问题，解题思路如下：1. 作辅助线$DG⊥AB$，构造出矩形$BCDG$和两个直角三角形$\mathrm{Rt}△ADG$、$\mathrm{Rt}△EDG$，利用矩形性质可得$BG=CD=3\mathrm{m}$，将水平距离$DG$设为未知数$x$；2. 分别在两个直角三角形中，利用正切函数表示出$AG$和$EG$的长度；3. 结合$EG-AG=AE=4\mathrm{m}$的等量关系列方程，求解得到$x$的值后算出$AG$的长度；4. 最后根据$AB=AG+BG$代入数值计算，即可得到飞来石的高度。
【解析】
过点$D$作$DG⊥ AB$于点$G$，可得四边形$BCDG$为矩形，$\therefore BG=CD=3\ \mathrm{m}$。
由题意得$∠ ADG=22°$，$∠ EDG=30°$，设$DG=x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADG$中，$AG=DG· \tan ∠ ADG\approx0.4x\ \mathrm{m}$；
在$\mathrm{Rt}△ EDG$中，$EG=DG· \tan ∠ EDG=\dfrac{\sqrt{3}x}{3}\ \mathrm{m}$。
$\because AE=EG-AG$，$\therefore \dfrac{\sqrt{3}x}{3}-0.4x=4$，代入$\sqrt{3}\approx1.73$解得$x\approx22.6$。
$\therefore AG=0.4x\approx9.04\ \mathrm{m}$，$\therefore AB=AG+BG\approx9.04+3\approx12\ \mathrm{m}$。
【答案】
飞来石的高度$AB$约为$12\ \mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形应用；仰角问题；矩形的性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查解直角三角形的实际应用，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形与矩形，结合三角函数找到等量关系建立方程求解，是高度测量类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
这是利用解直角三角形测量不可到达物体高度的实际问题，解题思路如下：1. 作辅助线$DG⊥AB$，构造出矩形$BCDG$和两个直角三角形$\mathrm{Rt}△ADG$、$\mathrm{Rt}△EDG$，利用矩形性质可得$BG=CD=3\mathrm{m}$，将水平距离$DG$设为未知数$x$；2. 分别在两个直角三角形中，利用正切函数表示出$AG$和$EG$的长度；3. 结合$EG-AG=AE=4\mathrm{m}$的等量关系列方程，求解得到$x$的值后算出$AG$的长度；4. 最后根据$AB=AG+BG$代入数值计算，即可得到飞来石的高度。
【解析】
过点$D$作$DG⊥ AB$于点$G$，可得四边形$BCDG$为矩形，$\therefore BG=CD=3\ \mathrm{m}$。
由题意得$∠ ADG=22°$，$∠ EDG=30°$，设$DG=x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADG$中，$AG=DG· \tan ∠ ADG\approx0.4x\ \mathrm{m}$；
在$\mathrm{Rt}△ EDG$中，$EG=DG· \tan ∠ EDG=\dfrac{\sqrt{3}x}{3}\ \mathrm{m}$。
$\because AE=EG-AG$，$\therefore \dfrac{\sqrt{3}x}{3}-0.4x=4$，代入$\sqrt{3}\approx1.73$解得$x\approx22.6$。
$\therefore AG=0.4x\approx9.04\ \mathrm{m}$，$\therefore AB=AG+BG\approx9.04+3\approx12\ \mathrm{m}$。
【答案】
飞来石的高度$AB$约为$12\ \mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形应用；仰角问题；矩形的性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查解直角三角形的实际应用，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形与矩形，结合三角函数找到等量关系建立方程求解，是高度测量类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
