登录
9.已知直线$y=kx+b$经过点$(0,1)$和$(2,5)$则它与$x$轴所夹锐角的正切值是
2
。答案
9.2
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步先求直线的解析式，已知直线过两个已知点，可使用待定系数法，将两点坐标代入y=kx+b，联立二元一次方程组求解出k的值；第二步结合一次函数k的几何意义，直线与x轴所夹锐角的正切值等于k的绝对值，本题k为正数，因此所求正切值就是k的数值。
【解析】
解：将点$(0,1)$和$(2,5)$分别代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}b=1 \\2k+b=5\end{cases}$
把$b=1$代入$2k+b=5$，得$2k+1=5$，解得$k=2$。
根据一次函数的性质，直线与x轴所夹锐角的正切值等于$\vert k\vert$，此处$k=2＞0$，因此正切值为2。
【答案】
2
【知识点】
1.待定系数法求一次函数解析式
2.一次函数k的几何意义
【点评】
本题属于基础题，主要考察一次函数的基础性质，熟练掌握待定系数法的运算步骤和斜率k的几何含义，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步先求直线的解析式，已知直线过两个已知点，可使用待定系数法，将两点坐标代入y=kx+b，联立二元一次方程组求解出k的值；第二步结合一次函数k的几何意义，直线与x轴所夹锐角的正切值等于k的绝对值，本题k为正数，因此所求正切值就是k的数值。
【解析】
解：将点$(0,1)$和$(2,5)$分别代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}b=1 \\2k+b=5\end{cases}$
把$b=1$代入$2k+b=5$，得$2k+1=5$，解得$k=2$。
根据一次函数的性质，直线与x轴所夹锐角的正切值等于$\vert k\vert$，此处$k=2＞0$，因此正切值为2。
【答案】
2
【知识点】
1.待定系数法求一次函数解析式
2.一次函数k的几何意义
【点评】
本题属于基础题，主要考察一次函数的基础性质，熟练掌握待定系数法的运算步骤和斜率k的几何含义，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
10. 如图,为测量一座山峰CF的高度,将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段,每一段山坡近似是“直”的,测得坡长AB=800 m,BC=200 m,坡面AB的坡度为$1:\sqrt{3}$,坡面BC的坡度为$1:1$.则山峰的高度CF约为
541.4
m.(结果精确到0.1 m,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.414,\sqrt{3}\approx1.732$)答案
10.541.4
解析
【分析】
要计算山峰高度CF，我们可以通过作辅助线拆分CF为两段分别求解：过B作BG⊥AF于G、BH⊥CF于H，可得四边形BGFH是矩形，即HF=BG。首先根据坡度的定义（坡面铅直高度与水平宽度的比值，等于坡面夹角的正切值），先求AB段的铅直高度BG，再求BC段的铅直高度CH，最后CF=CH+BG，代入数值计算即可。
【解析】
过点B作$BG⊥ AF$于点G，$BH⊥ CF$于点H。
$\because CF⊥ AF$，$\therefore$四边形BGFH是矩形，$\therefore HF=BG$。
1. 求BG的长度：
坡面AB的坡度为$1:\sqrt{3}$，即$\tan A=\frac{BG}{AG}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\therefore ∠ A=30°$。
在$Rt△ ABG$中，$AB=800\mathrm{m}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，
$\therefore BG=AB·\sin30°=800×\frac{1}{2}=400\mathrm{m}$，即$HF=400\mathrm{m}$。
2. 求CH的长度：
坡面BC的坡度为$1:1$，即$\tan∠ CBH=\frac{CH}{BH}=1$，$\therefore ∠ CBH=45°$。
在$Rt△ BCH$中，$BC=200\mathrm{m}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore CH=BC·\sin45°=200×\frac{\sqrt{2}}{2}=100\sqrt{2}\approx100×1.414=141.4\mathrm{m}$。
3. 求CF的高度：
$CF=CH+HF=141.4+400=541.4\mathrm{m}$。
【答案】
541.4
【知识点】
坡度的概念，解直角三角形的应用，矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题关键是通过作辅助线将问题转化为直角三角形和矩形的性质求解，要准确理解坡度的含义，避免将铅直高度和水平宽度的比例搞反。
【难度系数】
0.7
要计算山峰高度CF，我们可以通过作辅助线拆分CF为两段分别求解：过B作BG⊥AF于G、BH⊥CF于H，可得四边形BGFH是矩形，即HF=BG。首先根据坡度的定义（坡面铅直高度与水平宽度的比值，等于坡面夹角的正切值），先求AB段的铅直高度BG，再求BC段的铅直高度CH，最后CF=CH+BG，代入数值计算即可。
【解析】
过点B作$BG⊥ AF$于点G，$BH⊥ CF$于点H。
$\because CF⊥ AF$，$\therefore$四边形BGFH是矩形，$\therefore HF=BG$。
1. 求BG的长度：
坡面AB的坡度为$1:\sqrt{3}$，即$\tan A=\frac{BG}{AG}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\therefore ∠ A=30°$。
在$Rt△ ABG$中，$AB=800\mathrm{m}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，
$\therefore BG=AB·\sin30°=800×\frac{1}{2}=400\mathrm{m}$，即$HF=400\mathrm{m}$。
2. 求CH的长度：
坡面BC的坡度为$1:1$，即$\tan∠ CBH=\frac{CH}{BH}=1$，$\therefore ∠ CBH=45°$。
在$Rt△ BCH$中，$BC=200\mathrm{m}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore CH=BC·\sin45°=200×\frac{\sqrt{2}}{2}=100\sqrt{2}\approx100×1.414=141.4\mathrm{m}$。
3. 求CF的高度：
$CF=CH+HF=141.4+400=541.4\mathrm{m}$。
【答案】
541.4
【知识点】
坡度的概念，解直角三角形的应用，矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题关键是通过作辅助线将问题转化为直角三角形和矩形的性质求解，要准确理解坡度的含义，避免将铅直高度和水平宽度的比例搞反。
【难度系数】
0.7
11.一座人行天桥的示意图如图所示，天桥的高度是10 m，CB⊥DB，坡面AC的坡角为45°.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度i=√3:3.若新坡角处需留3 m宽的人行道，则离原坡角(点A处)10 m的建筑物是否需要拆除？(参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)
答案
11.解:
∵CB⊥AB,∠CAB=45°,
∴△ABC为等腰直角三角形.
∴AB=BC=10 m.在Rt△BCD中,新坡面DC的坡度i=√3:3,即∠CDB=30°,
∴CD=2BC=20 m.
∴BD=√(CD²-BC²)=10√3 m,
∴AD=BD-AB=10√3-10≈7.32(m).
∵3+7.32=10.32(m)＞10 m,
∴离原坡角10 m的建筑物需要拆除.
∵CB⊥AB,∠CAB=45°,
∴△ABC为等腰直角三角形.
∴AB=BC=10 m.在Rt△BCD中,新坡面DC的坡度i=√3:3,即∠CDB=30°,
∴CD=2BC=20 m.
∴BD=√(CD²-BC²)=10√3 m,
∴AD=BD-AB=10√3-10≈7.32(m).
∵3+7.32=10.32(m)＞10 m,
∴离原坡角10 m的建筑物需要拆除.
解析
【分析】
要判断离A点10m的建筑物是否需要拆除，核心是计算出新坡面占用的水平总长度后与10m比较：①先根据原坡面45°的坡角，结合CB垂直地面、高度为10m，利用等腰直角三角形的性质求出原坡面的水平宽度AB；②再根据新坡面的坡度定义，求出新坡面的水平宽度BD；③计算D到A的距离AD，加上3m的人行道宽度，若总长度大于10m则建筑物需要拆除，反之不需要。
【解析】
解：
∵CB⊥AB，∠CAB=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=10 m。
在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度i=√3:3，即$\tan∠ CDB=\frac{BC}{BD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CDB=30°，
∴CD=2BC=20 m，
由勾股定理得$BD=\sqrt{CD^2-BC^2}=\sqrt{20^2-10^2}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴$AD=BD-AB=10\sqrt{3}-10\approx10×1.732-10=7.32\ \mathrm{m}$，
∵需留3m宽的人行道，总占用长度为$7.32+3=10.32\ \mathrm{m}$，
$10.32\ \mathrm{m}＞10\ \mathrm{m}$，
∴离原坡角10m的建筑物需要拆除。
【答案】
离原坡角10m的建筑物需要拆除
【知识点】
坡度坡角问题；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用题，解题关键是准确理解坡度、坡角的定义，能将实际场景中的长度关系转化为直角三角形的边长计算问题，再结合实际要求完成判断，考查了数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.65
要判断离A点10m的建筑物是否需要拆除，核心是计算出新坡面占用的水平总长度后与10m比较：①先根据原坡面45°的坡角，结合CB垂直地面、高度为10m，利用等腰直角三角形的性质求出原坡面的水平宽度AB；②再根据新坡面的坡度定义，求出新坡面的水平宽度BD；③计算D到A的距离AD，加上3m的人行道宽度，若总长度大于10m则建筑物需要拆除，反之不需要。
【解析】
解：
∵CB⊥AB，∠CAB=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=10 m。
在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度i=√3:3，即$\tan∠ CDB=\frac{BC}{BD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CDB=30°，
∴CD=2BC=20 m，
由勾股定理得$BD=\sqrt{CD^2-BC^2}=\sqrt{20^2-10^2}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴$AD=BD-AB=10\sqrt{3}-10\approx10×1.732-10=7.32\ \mathrm{m}$，
∵需留3m宽的人行道，总占用长度为$7.32+3=10.32\ \mathrm{m}$，
$10.32\ \mathrm{m}＞10\ \mathrm{m}$，
∴离原坡角10m的建筑物需要拆除。
【答案】
离原坡角10m的建筑物需要拆除
【知识点】
坡度坡角问题；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用题，解题关键是准确理解坡度、坡角的定义，能将实际场景中的长度关系转化为直角三角形的边长计算问题，再结合实际要求完成判断，考查了数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.65
12. 生产生活情境化 某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至$B_1$层之间安装电梯$AC$，截面图如图所示，底层与$B_1$层平行，层高$AD$为9 m，点$A$，$B$之间的距离为6 m，$∠ ACD=20°$.（参考数据：$\sin 20°\approx0.34$，$\cos 20°\approx0.94$，$\tan 20°\approx0.36$）
(1)身高1.9 m的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在$B$处会不会碰到头？
(2)若采取中段平台设计（如折线$AEFC$所示），已知平台$EF// CD$，且$AE$段和$FC$段的坡度$i=1:2$，求平台$EF$的长度.
(1)身高1.9 m的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在$B$处会不会碰到头？
(2)若采取中段平台设计（如折线$AEFC$所示），已知平台$EF// CD$，且$AE$段和$FC$段的坡度$i=1:2$，求平台$EF$的长度.
答案
12.解:(1)连接AB,过点B作GB⊥AB,交AC于点G.
∵AB//CD,
∴∠BAG=∠ACD=20°.在Rt△ABG中,AB=6 m,
∴BG=AB·tan∠BAG≈2.16 m.
∵2.16＞1.9,
∴身高1.9 m的人在竖直站立的情况下搭乘电梯,在B处不会碰到头.(2)在Rt△ACD中,AD=9 m,∠ACD=20°,
∴CD=AD/tan∠ACD≈25 m.过点F作FM⊥CD于点M,过点E作EN⊥AD于点N.设FM=DN=x m,则AN=(9-x)m.
∵AE段和FC段的坡度i=1:2,
∴CM=2x m,NE=2(9-x)=18-2x(m).
∴CM+NE=2x+18-2x=18(m).
∴EF=CD-(CM+NE)=7 m.答:平台EF的长度约为7 m.
∵AB//CD,
∴∠BAG=∠ACD=20°.在Rt△ABG中,AB=6 m,
∴BG=AB·tan∠BAG≈2.16 m.
∵2.16＞1.9,
∴身高1.9 m的人在竖直站立的情况下搭乘电梯,在B处不会碰到头.(2)在Rt△ACD中,AD=9 m,∠ACD=20°,
∴CD=AD/tan∠ACD≈25 m.过点F作FM⊥CD于点M,过点E作EN⊥AD于点N.设FM=DN=x m,则AN=(9-x)m.
∵AE段和FC段的坡度i=1:2,
∴CM=2x m,NE=2(9-x)=18-2x(m).
∴CM+NE=2x+18-2x=18(m).
∴EF=CD-(CM+NE)=7 m.答:平台EF的长度约为7 m.
解析
【分析】
(1) 要判断B处是否会碰头，需计算B点竖直方向到电梯AC的净高，再和1.9m比较。首先过B作AB的垂线交AC于G，由两层平行可得AB//CD，利用内错角相等得∠BAG=20°，在Rt△ABG中用正切函数求出BG的长度，比较大小即可得出结论。
(2) 求EF的长度，首先在Rt△ACD中用正切求出CD的总水平长度；再作辅助线构造直角三角形，结合坡度的定义（竖直高度:水平宽度=1:2）设未知数，分别表示出AE、FC段的水平长度，发现两者之和和未知数无关，最后用CD减去两段水平长度之和即可得到EF的长度。
【解析】
(1) 过点B作GB⊥AB，交AC于点G。
∵底层与$B_1$层平行，
∴$AB// CD$，
∴$∠ BAG=∠ ACD=20°$。
在$Rt△ ABG$中，$AB=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore BG=AB· \tan∠ BAG\approx6×0.36=2.16\ \mathrm{m}$。
∵$2.16＞1.9$，
∴身高1.9 m的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B处不会碰到头。
(2) 在$Rt△ ACD$中，$AD=9\ \mathrm{m}$，$∠ ACD=20°$，
$\therefore CD=\frac{AD}{\tan∠ ACD}\approx\frac{9}{0.36}=25\ \mathrm{m}$。
过点F作$FM⊥ CD$于点M，过点E作$EN⊥ AD$于点N。
设$FM=DN=x\ \mathrm{m}$，则$AN=(9-x)\ \mathrm{m}$。
∵AE段和FC段的坡度$i=1:2$，
$\therefore CM=2x\ \mathrm{m}$，$NE=2(9-x)=18-2x\ (\mathrm{m})$，
$\therefore CM+NE=2x+18-2x=18\ (\mathrm{m})$，
$\therefore EF=CD-(CM+NE)=25-18=7\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 在B处不会碰到头；
(2) 平台EF的长度约为7 m。
【知识点】
解直角三角形应用，坡度问题，三角函数应用
【点评】
本题结合商场电梯设计的实际场景，考查了三角函数、坡度在实际问题中的应用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，合理构造辅助线是解题的关键，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断B处是否会碰头，需计算B点竖直方向到电梯AC的净高，再和1.9m比较。首先过B作AB的垂线交AC于G，由两层平行可得AB//CD，利用内错角相等得∠BAG=20°，在Rt△ABG中用正切函数求出BG的长度，比较大小即可得出结论。
(2) 求EF的长度，首先在Rt△ACD中用正切求出CD的总水平长度；再作辅助线构造直角三角形，结合坡度的定义（竖直高度:水平宽度=1:2）设未知数，分别表示出AE、FC段的水平长度，发现两者之和和未知数无关，最后用CD减去两段水平长度之和即可得到EF的长度。
【解析】
(1) 过点B作GB⊥AB，交AC于点G。
∵底层与$B_1$层平行，
∴$AB// CD$，
∴$∠ BAG=∠ ACD=20°$。
在$Rt△ ABG$中，$AB=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore BG=AB· \tan∠ BAG\approx6×0.36=2.16\ \mathrm{m}$。
∵$2.16＞1.9$，
∴身高1.9 m的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B处不会碰到头。
(2) 在$Rt△ ACD$中，$AD=9\ \mathrm{m}$，$∠ ACD=20°$，
$\therefore CD=\frac{AD}{\tan∠ ACD}\approx\frac{9}{0.36}=25\ \mathrm{m}$。
过点F作$FM⊥ CD$于点M，过点E作$EN⊥ AD$于点N。
设$FM=DN=x\ \mathrm{m}$，则$AN=(9-x)\ \mathrm{m}$。
∵AE段和FC段的坡度$i=1:2$，
$\therefore CM=2x\ \mathrm{m}$，$NE=2(9-x)=18-2x\ (\mathrm{m})$，
$\therefore CM+NE=2x+18-2x=18\ (\mathrm{m})$，
$\therefore EF=CD-(CM+NE)=25-18=7\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 在B处不会碰到头；
(2) 平台EF的长度约为7 m。
【知识点】
解直角三角形应用，坡度问题，三角函数应用
【点评】
本题结合商场电梯设计的实际场景，考查了三角函数、坡度在实际问题中的应用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，合理构造辅助线是解题的关键，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
