8.如图,在△ABC和△BDE中,点C在边BD上,AC交BE于点F.若AC=BD,AB=ED,BC=BE,∠ACB=50°,则∠AFB的度数为.

（第8题图）
（第9题图）

8.$100°$

【分析】
解题时首先结合已知的三组边对应相等的条件，利用SSS全等判定定理证明△ABC≌△DEB，得到对应角∠EBD=∠ACB；再观察∠AFB的位置，它是△BFC的外角，根据三角形外角的性质即可计算出∠AFB的度数。
【解析】
在$△ ABC$和$△ DEB$中：
$\begin{cases}AC = BD \\AB = ED \\BC = BE\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEB \mathrm{(SSS)}$
$\therefore ∠ ACB = ∠ EBD$
已知$∠ ACB=50°$，因此$∠ EBD=50°$。
$\because ∠ AFB$是$△ BFC$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
$\therefore ∠ AFB = ∠ ACB + ∠ EBD = 50° + 50° = 100°$
【答案】
$100°$
【知识点】
全等三角形的判定（SSS），全等三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是先通过三边相等证明三角形全等得到对应角相等，再结合外角性质计算角度，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

9. 分类讨论 新理念 如图，$∠ ACB=90°$，$AC=2BC=4$，动点P从点A出发（不与点A重合），以每秒2个单位长度的速度沿射线AC运动，Q为射线CB上一动点，且始终保持$PQ=AB$。当点P运动s时，$△ ABC$与以点P,Q,C为顶点的三角形全等。

9.1或3或4

【分析】
本题是动点结合直角三角形全等的问题，解题思路如下：1、先梳理已知条件：∠ACB=∠PCQ=90°，AC=4，BC=2，动点P速度为每秒2个单位，设运动时间为t，则AP=2t，斜边PQ=AB；2、根据直角三角形全等的HL判定规则，斜边相等的两个直角三角形，只要一组直角边对应相等即可全等，因此分两种对应情况讨论：PC与AC对应相等、PC与BC对应相等；3、由于P沿射线AC运动，位置可在线段AC上或AC延长线上，因此PC的长度需用绝对值分类计算，同时排除P与A重合（t=0）的情况，最终筛选出符合要求的t值即可。
【解析】
设点P的运动时间为t秒，由题意得：$AP=2t$，$∠ ACB=∠ PCQ=90°$，$AC=4$，$BC=2$，$PQ=AB$。
∵$Rt△ ABC$和$Rt△ QCP$的斜边$AB=PQ$，因此两三角形全等只需直角边对应相等，分两类讨论：
1. 当$PC=AC=4$，$QC=BC=2$时，$Rt△ ABC≌ Rt△ QPC$（HL）
此时$PC=|4-2t|=4$，
解得$4-2t=4$即$t=0$（不符合P不与A重合的要求，舍去），或$2t-4=4$即$t=4$，符合题意；
2. 当$PC=BC=2$，$QC=AC=4$时，$Rt△ ABC≌ Rt△ PQC$（HL）
此时$PC=|4-2t|=2$：
① 若P在线段AC上，$4-2t=2$，解得$t=1$，符合题意；
② 若P在AC的延长线上，$2t-4=2$，解得$t=3$，符合题意。
综上，t的值为1或3或4。
【答案】
1或3或4
【知识点】
直角三角形全等判定、动点问题、分类讨论思想
【点评】
本题考查动点背景下的三角形全等判定，解题时要注意射线的延伸性，以及全等三角形对应边不唯一的特点，需全面分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.4

10.(2024－2025·合肥期末)如图,在△ABC和△EDC中,∠B=∠D=90°,AB=DE,EC=AC.
(1)求证:∠BCE=∠DCA;
(2)求证:HA=HE.

10.证明:(1)
∵∠B=∠D=90°,在Rt△ACB和Rt△ECD中，$\begin{cases} AB=ED, \\ AC=EC, \end{cases}$
∴Rt△ACB≌Rt△ECD(HL),
∴∠ACB=∠ECD,
∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE,
∴∠BCE=∠DCA.(2)
∵Rt△ACB≌Rt△ECD,
∴BC=DC,∠A=∠E.在△BCF和△DCG中,$\begin{cases} ∠BCF=∠DCG, \\ BC=DC, \\ ∠B=∠D, \end{cases}$
∴△BCF≌△DCG(ASA),
∴CF=CG.
∵AC=EC,
∴EF=AG.在△EFH和△AGH中,$\begin{cases} ∠E=∠A, \\ ∠EHF=∠AHG, \\ EF=AG, \end{cases}$
∴△EFH≌△AGH(AAS),
∴HA=HE.

【分析】
(1) 要证明∠BCE=∠DCA，首先观察已知条件：△ABC和△EDC均为直角三角形，且斜边AC=EC、直角边AB=DE，可先通过HL判定两个直角三角形全等，得到对应角∠ACB=∠ECD，再给两个相等的角同时减去公共角∠ACE，即可推导得到待证的角相等。
(2) 要证明HA=HE，可证明两条边所在的△EFH和△AGH全等。首先由(1)的全等结论可得BC=DC、∠A=∠E，再结合(1)推出的∠BCE=∠DCA，通过ASA证明△BCF≌△DCG，得到CF=CG，结合AC=EC可推导得到EF=AG，最后结合对顶角相等的条件，用AAS证明△EFH和△AGH全等，即可得到HA=HE。
【解析】
(1) 证明：
∵∠B=∠D=90°，
∴△ACB和△ECD都是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△ECD中，
$\begin{cases} AB=ED \\ AC=EC \end{cases}$
∴Rt△ACB≌Rt△ECD（HL），
∴∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB - ∠ACE = ∠ECD - ∠ACE，
即∠BCE=∠DCA。
(2) 证明：
∵Rt△ACB≌Rt△ECD，
∴BC=DC，∠A=∠E。
在△BCF和△DCG中，
$\begin{cases} ∠BCF=∠DCG \\ BC=DC \\ ∠B=∠D \end{cases}$
∴△BCF≌△DCG（ASA），
∴CF=CG。
又
∵AC=EC，
∴AC - CG = EC - CF，即EF=AG。
在△EFH和△AGH中，
$\begin{cases} ∠E=∠A \\ ∠EHF=∠AHG \\ EF=AG \end{cases}$
∴△EFH≌△AGH（AAS），
∴HA=HE。
【答案】
(1) ∠BCE=∠DCA得证；
(2) HA=HE得证。
【知识点】
1. HL判定定理
2. 全等三角形的判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的典型综合题，解题核心是先利用已知条件证明基础的直角三角形全等，逐步推导得到后续证明所需的边、角相等条件，逻辑链条清晰，侧重考查全等判定和性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7

11.如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（$BC=EF$），且$AC=DF$. 已知$AC ⊥ BF$，$ED ⊥ BF$，则$∠ B + ∠ F$的度数为.

11.$90°$

【分析】
首先观察图形，已知AC、ED都垂直于BF，可得出△ABC和△DEF都是直角三角形；题目给出斜边BC=EF，直角边AC=DF，符合直角三角形全等判定的HL定理，可先证明两个直角三角形全等，得到对应角相等；再结合直角三角形两锐角互余的性质，通过等量代换即可求出∠B+∠F的度数。
【解析】
解：
∵$AC⊥BF$，$ED⊥BF$，
∴$∠ BAC=∠ EDF=90°$，即$△ ABC$和$△ DEF$均为直角三角形。
在$Rt△ ABC$和$Rt△ DEF$中，
$\begin{cases} BC=EF \\ AC=DF \end{cases}$
∴$Rt△ ABC≌Rt△ DEF(\mathrm{HL})$，
∴$∠ B=∠ DEF$。
在$Rt△ DEF$中，$∠ DEF+∠ F=90°$，
将$∠ DEF$替换为$∠ B$，可得$∠ B+∠ F=90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
直角三角形全等判定（HL）；全等三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是先根据垂直条件确定两个三角形为直角三角形，再利用HL判定全等，结合直角三角形的性质做等量代换即可得到结果。
【难度系数】
0.8

12.如图,某同学用10块高度都是5 cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺ABD(∠ABD=90°,BD=AB),点B在CE上,点A,D分别与木墙的顶端重合.
(1)求证:△ACB≌△BED;
(2)求两堵木墙之间的距离CE.

12.(1)证明:由题意,得AC⊥CE,DE⊥CE,
∴∠ACB=∠BED=90°=∠ABD.
∴∠BDE+∠DBE=90°,∠DBE+∠ABC=90°.
∴∠ABC=∠BDE. 在△ACB和△BED中,
∵$\begin{cases} ∠ABC=∠BDE, \\ ∠ACB=∠BED, \\ AB=BD, \end{cases}$
∴△ACB≌△BED(AAS).(2)解:由题意,得AC=15 cm,DE=5×7=35(cm).
∵△ACB≌△BED,
∴BC=DE=35 cm,BE=AC=15 cm.
∴CE=BC+BE=50 cm. 答:两堵木墙之间的距离CE为50 cm.

【分析】
(1) 要证明△ACB≌△BED，首先根据木墙与地面垂直可得两个直角；再结合等腰直角三角尺的直角条件，利用同角的余角相等推出一组对应角相等，最后结合已知的AB=BD，即可用AAS判定两三角形全等。
(2) 求CE的长度时，CE可拆分为BC与BE的和，先根据小木块的数量和单块高度算出AC、DE的长度，再利用全等三角形对应边相等的性质，将BC、BE转化为已知长度的DE、AC，相加即可得到CE的长度。
【解析】
(1) 证明：由题意，得AC⊥CE，DE⊥CE，
∴∠ACB=∠BED=90°=∠ABD，
∴∠BDE+∠DBE=90°，∠DBE+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠BDE。
在△ACB和△BED中，
$\begin{cases} ∠ABC=∠BDE, \\ ∠ACB=∠BED, \\ AB=BD, \end{cases}$
∴△ACB≌△BED(AAS)。
(2) 解：由题意，单块小木块高度为5cm，右侧木墙共3块小木块，故AC=3×5=15 cm；左侧木墙共7块小木块，故DE=7×5=35 cm。
∵△ACB≌△BED，
∴BC=DE=35 cm，BE=AC=15 cm，
∴CE=BC+BE=35+15=50 cm。
【答案】
(1) △ACB≌△BED得证；(2) 两堵木墙之间的距离CE为50 cm。
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题是典型的“三垂直”全等模型应用题，结合生活实际场景考查几何逻辑推理能力，解题的核心是找准全等的判定条件，再利用全等性质转化线段求解，能够帮助学生巩固全等相关的基础知识点。
【难度系数】
0.7