1.「2025河北秦皇岛一模」若矩形的面积为6 cm²，则它的长$y(\mathrm{cm})$与宽$x(\mathrm{cm})$之间的函数关系用图象表示大致是（）

∵矩形面积=长×宽,
∴长 y(cm) 与宽 x(cm)之间的函数关系是 $y=\frac{6}{x}$,其中 x＞0,所以图象是双曲线在第一象限的一支.故选 C.

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据矩形面积的等量关系推导长与宽的函数解析式；第二步，结合实际意义确定自变量x的取值范围，矩形的宽和长均为正数，因此x＞0，对应函数值y也大于0；第三步，根据反比例函数的图象特征，结合取值范围判断符合的图象即可。
【解析】
根据矩形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，代入已知条件得$xy=6$，变形可得长与宽的函数关系为$y=\frac{6}{x}$。
由于矩形的宽$x$是正数，即$x＞0$，对应的长$y$也为正数，因此该函数的图象是反比例函数$y=\frac{6}{x}$位于第一象限的分支，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；自变量取值范围确定
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的应用类题目，易错点是容易忽略实际问题中自变量的取值范围，误选包含两个象限的反比例函数图象，解题时要优先结合实际意义判断自变量的取值范围，再匹配对应图象。
【难度系数】
0.7

2.「2026广东广州白云期中」当三角形的面积为9 $\mathrm{cm}^2$时，它的底边长$a(\mathrm{cm})$与底边上的高$h(\mathrm{cm})$之间的关系式为 ，底边长$a(\mathrm{cm})$与底边上的高$h(\mathrm{cm})$之间为 关系。

$a=\frac{18}{h}$;反比例
解析
∵ 三角形的面积=$\frac{1}{2}×$底边长×底边上的高,
∴ $\frac{1}{2}ah=9$,
∴ $a=\frac{18}{h}$,
∴ 底边长 $a$(cm) 与底边上的高$h$(cm)之间为反比例关系.

【分析】
解题时首先回忆三角形的面积计算公式，已知三角形面积固定为9cm²，将已知面积代入公式后，通过等式变形即可得到底边长a关于高h的表达式；再结合反比例关系的定义，就能判断a与h的关系类型。
【解析】
根据三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}×底边长×底边上的高$，
已知$S=9\mathrm{cm}^2$，代入公式可得：$\frac{1}{2}ah=9$，
等式两边同时乘2得$ah=18$，变形为用$h$表示$a$的形式为$a=\frac{18}{h}$；
形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的对应关系属于反比例关系，因此底边长a与底边上的高h之间为反比例关系。
【答案】
$a=\frac{18}{h}$；反比例
【知识点】
三角形面积公式；反比例函数的定义
【点评】
本题结合几何面积公式考查函数关系式的建立和反比例关系的判定，属于基础题，熟练掌握相关公式和概念即可正确求解。
【难度系数】
0.9

3. 学科$\frac{特色}{教材变式}$「2025广东汕头澄海一模」某数学兴趣小组用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为900 N和0.5 m，当动力臂由1.5 m增加到2 m时，撬动这块石头可以节省 N的力(提示:动力×动力臂=阻力×阻力臂)

75
解析 设动力为 $F$(N),动力臂为 $L$(m),则 $FL=900×0.5=450$,
∴ $F$ 与 $L$ 之间的关系式为 $F=\frac{450}{L}$,当 $L=1.5$时,$F=\frac{450}{1.5}=300$,当 $L=2$ 时,$F=\frac{450}{2}=225$,
∴ 可以节省300-225=75(N)的力.

【分析】
首先根据题干给出的杠杆原理“动力×动力臂=阻力×阻力臂”，已知阻力和阻力臂为固定值，可先计算出阻力与阻力臂的乘积，得到动力和动力臂的乘积为定值，由此确定动力是动力臂的反比例函数。接下来分别将动力臂1.5m、2m代入函数关系式求出对应动力，最后将两个动力作差即可得到节省的力的大小。
【解析】
设动力为$F$(N)，动力臂为$L$(m)，根据杠杆原理可得：
$FL=900×0.5=450$
因此$F$与$L$的函数关系式为$F=\frac{450}{L}$。
当$L=1.5\mathrm{m}$时，$F_1=\frac{450}{1.5}=300\mathrm{N}$；
当$L=2\mathrm{m}$时，$F_2=\frac{450}{2}=225\mathrm{N}$；
则节省的力为$F_1-F_2=300-225=75\mathrm{N}$。
【答案】
75
【知识点】
反比例函数的实际应用；根据实际问题列函数关系式
【点评】
本题结合生活实际场景考查反比例函数的应用，解题核心是利用题干给出的等量关系建立反比例函数模型，再代入数值计算即可，贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.85

4.「2026浙江杭州期中」政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为$72\ 000\ \mathrm{m}^3$，某运输公司承担了运送土石方的任务.
(1)求运输公司平均运送速度$v$(单位：$\mathrm{m}^3$/天)与完成运送任务所需时间$t$(单位：天)之间的函数关系式.
(2)若这个运输公司每天可运送土石方$8\ 000\ \mathrm{m}^3$，则公司完成全部运输任务需要多长时间？

(1)由题意得 $vt=72\ 000$,
∴ $v$ 与 $t$ 之间的函数关系式为 $v=\frac{72\ 000}{t}(t＞0)$.
(2)在 $v=\frac{72\ 000}{t}$ 中,当 $v=8\ 000$ 时,$t=\frac{72\ 000}{8\ 000}=9$.
答:公司完成全部运输任务需要9天.

【分析】
第(1)问可根据工程问题的基本等量关系“工作总量=工作效率×工作时间”思考：题目中土石方总量固定为72000$\mathrm{m}^3$，因此平均运送速度$v$和所需时间$t$的乘积为定值，符合反比例函数的特征，整理式子后结合实际意义标注自变量$t$的取值范围即可。第(2)问属于已知函数值求自变量的值，将给出的$v=8000$代入第(1)问得到的函数关系式，计算即可求出对应时间$t$。
【解析】
(1)由题意得，运送总量=平均运送速度×运送时间，即$vt=72000$，
整理得$v$与$t$之间的函数关系式为：$v=\frac{72\ 000}{t}(t＞0)$。
(2)把$v=8\ 000$代入$v=\frac{72\ 000}{t}$中，得：
$8000=\frac{72000}{t}$，解得$t=\frac{72\ 000}{8\ 000}=9$。
【答案】
(1)$v=\frac{72000}{t}(t＞0)$；(2)9天
【知识点】
反比例函数的实际应用，列反比例函数解析式，反比例函数求值
【点评】
本题结合工程场景考查反比例函数的基础应用，解题关键是抓住总量不变的等量关系建立函数模型，同时要注意实际问题中自变量的取值范围需要符合现实逻辑，整体属于基础题型。
【难度系数】
0.9

5.「2026 陕西榆林榆阳期中」机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置,最快移动速度v(m/s)与载重后总质量M(kg)的乘积一定.已知一款机器狗(如图)载重后总质量M=25 kg时,它的最快移动速度v=2 m/s.
(1)求v与M之间的函数关系式.
(2)当机器狗载重后总质量M=10 kg时,求它的最快移动速度v.

(1)由题意设 $v·M=k$($k$ 为常数,且 $k≠0$),即$v$ 与 $M$ 之间的函数关系式为 $v=\frac{k}{M}$($k$ 为常数,且 $k≠0$).将 $M=25\ \mathrm{kg}$,$v=2\ \mathrm{m/s}$ 代入 $v=\frac{k}{M}$,解得 $k=50$,
∴ $v$ 与 $M$ 之间的函数关系式为 $v=\frac{50}{M}$.
(2)当 $M=10\ \mathrm{kg}$ 时,$v=\frac{50}{10}=5\ \mathrm{m/s}$,
∴ 当机器狗载重后总质量 $M=10\ \mathrm{kg}$ 时,它的最快移动速度 $v$ 为 $5\ \mathrm{m/s}$.

【分析】
题目明确说明最快移动速度v与载重后总质量M的乘积一定，可知v和M成反比例函数关系，解题思路如下：(1)先根据反比例函数的定义设出v与M的函数关系式，再将已知的M、v对应值代入，求出常数k，即可得到v与M的函数关系式；(2)将M=10代入第一问求出的函数关系式中，直接计算就能得到对应的v值。
【解析】
(1) 由题意可知v与M的乘积为定值，设$v· M=k$（k为常数，且$k≠0$），即$v=\frac{k}{M}$。
将$M=25\ \mathrm{kg}$，$v=2\ \mathrm{m/s}$代入$v=\frac{k}{M}$，得$2=\frac{k}{25}$，解得$k=2×25=50$。
∴v与M之间的函数关系式为$v=\frac{50}{M}$。
(2) 将$M=10\ \mathrm{kg}$代入$v=\frac{50}{M}$，得$v=\frac{50}{10}=5\ \mathrm{m/s}$。
【答案】
(1) $v=\frac{50}{M}$；(2) $5\ \mathrm{m/s}$
【知识点】
反比例函数定义、待定系数法、反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数在实际场景中的基础应用题，解题核心是抓住“两个量乘积一定”的特征判断函数类型，再通过代入计算求解，侧重考察基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.8

6. 聚焦 中考 跨学科主题学习 「2025黑龙江哈尔滨南岗二模，★☆」根据欧姆定律 $I=\frac{U}{R}$ 可知，若一个灯泡的电压 $U(\mathrm{V})$ 保持不变，通过灯泡的电流 $I(\mathrm{A})$ 越大，则灯泡就越亮。当电阻 $R=30\ \Omega$ 时，可测得某灯泡的电流 $I=0.4\ \mathrm{A}$。若电压保持不变，电阻 $R$ 减小为 $15\ \Omega$，则该灯泡亮度的变化情况为（）

A.不变
B.变亮
C.变暗
D.不确定

∵ $I=\frac{U}{R}$,$R=30\ \Omega$ 时,$I=0.4\ \mathrm{A}$,
∴ $U=IR=12(\mathrm{V})$.
∴ $I=\frac{12}{R}$.当 $R=15\ \Omega$ 时,$I=\frac{12}{15}=0.8(\mathrm{A})$.
∵ $0.8＞0.4$,
∴ 该灯泡的亮度变化情况为变亮.故选 B.

【分析】
解题时先抓住“电压保持不变”的核心条件，第一步利用已知的电阻和对应电流，通过欧姆定律的变形公式求出定值电压U；第二步将减小后的电阻代入电流计算公式，求出新的电流大小；第三步将新电流与原电流对比，结合题干给出的“电压不变时电流越大灯泡越亮”的结论，即可判断亮度变化情况。
【解析】
解：根据欧姆定律$I=\frac{U}{R}$，
当$R=30\ \Omega$，$I=0.4\ \mathrm{A}$时，可得电压$U=IR=30×0.4=12\ \mathrm{V}$，
由题意电压U保持不变，因此电流与电阻的关系为$I=\frac{12}{R}$，
当电阻减小为$R=15\ \Omega$时，此时电流$I=\frac{12}{15}=0.8\ \mathrm{A}$，
因为$0.8\ \mathrm{A}＞0.4\ \mathrm{A}$，且电压不变时电流越大灯泡越亮，因此灯泡变亮。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
欧姆定律；反比例函数应用；数值比较
【点评】
本题是跨物理与数学的综合题，结合实际情境考查基础知识点的运用，解题关键是先求出定值电压，再通过计算对比电流大小得出结论，侧重考查公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.9

7.「2024河北中考，★☆」节能环保已成为人们的共识.
淇淇家计划购买500度电,若平均每天用电x度,则能使用y天.下列说法错误的是 ()

A.若$x=5$,则$y=100$
B.若$y=125$,则$x=4$
C.若$x$减小,则$y$也减小
D.若$x$减小一半,则$y$增大一倍

由题意得 $y=\frac{500}{x}(x＞0)$.A.若 $x=5$,则 $y=\frac{500}{5}=100$,正确,不符合题意;B.若 $y=125$,则 $125=\frac{500}{x}$,解得$x=4$,正确,不符合题意;C.对于 $y=\frac{500}{x}(x＞0)$,若 $x$ 减小,则 $y$ 增大,所以原说法错误,符合题意;D.若 $x$ 减小为$\frac{1}{2}x$,则 $y$ 变为 $2y$,正确,不符合题意.故选 C.

【分析】
首先根据题目给出的等量关系“总用电量=平均每天用电量×使用天数”，推导得出y与x的函数关系式为反比例函数$y=\frac{500}{x}(x＞0)$。接下来通过代入求值的方法验证A、B选项，再结合x＞0时反比例函数的性质判断C、D选项的正误，最终选出说法错误的选项。
【解析】
由题意得总电量为500度，因此$xy=500$，即$y=\frac{500}{x}(x＞0)$。
A. 若$x=5$，代入得$y=\frac{500}{5}=100$，说法正确，不符合题意；
B. 若$y=125$，代入得$125=\frac{500}{x}$，解得$x=4$，说法正确，不符合题意；
C. 对于反比例函数$y=\frac{500}{x}(x＞0)$，当$x$减小时，$y$会增大，因此原说法错误，符合题意；
D. 若$x$减小为原来的$\frac{1}{2}$，即变为$\frac{1}{2}x$，代入得新的$y'=\frac{500}{\frac{1}{2}x}=2×\frac{500}{x}=2y$，即$y$增大一倍，说法正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用 2. 反比例函数的性质
【点评】
本题结合生活用电的实际场景考查反比例函数的应用，解题的关键是正确列出函数关系式，再结合代入计算和反比例函数的性质逐一判断选项即可。
【难度系数】
0.8