1.「2025江苏苏州中考」如图,一次函数$y=2x+4$的图象与$x$轴,$y$轴分别交于$A,B$两点,与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象交于点$C$,过点$B$作$x$轴的平行线与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象交于点$D$,连接$CD$.
(1)求$A,B$两点的坐标.
(2)若$△ BCD$是以$BD$为底边的等腰三角形,求$k$的值.

(1)令y=0,则2x+4=0,解得x=-2.
∴点A的坐标为(-2,0).令x=0,则y=4.
∴点B的坐标为(0,4).
(2)过点C作CE⊥BD,垂足为E(图略),
∵CB=CD,CE⊥BD,
∴BE=DE.
根据题意得点D的坐标为$(\frac{1}{4}k,4)$,
∴点C的坐标为$(\frac{1}{8}k,8)$.
∵点C在一次函数y=2x+4的图象上,
∴$\frac{1}{4}k+4=8$.
∴k=16.

【分析】
(1)求一次函数与坐标轴的交点坐标，利用x轴上点的纵坐标为0、y轴上点的横坐标为0的特征，分别代入一次函数解析式计算即可得到A、B的坐标。
(2)首先根据BD平行于x轴，可知B、D两点纵坐标相同，结合反比例函数解析式可用含k的式子表示D点坐标；再由△BCD是以BD为底边的等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可知点C在BD的垂直平分线上，由此可推出C点的横坐标为D点横坐标的一半，再结合反比例函数解析式表示出C点的纵坐标；最后将C点坐标代入一次函数解析式，列方程求解即可得到k的值。
【解析】
(1)对于一次函数$y=2x+4$：
令$y=0$，则$2x+4=0$，解得$x=-2$，
∴点A的坐标为$(-2,0)$；
令$x=0$，则$y=2×0+4=4$，
∴点B的坐标为$(0,4)$。
(2)过点C作$CE⊥ BD$，垂足为E。
∵$△ BCD$是以$BD$为底边的等腰三角形，$CE⊥ BD$，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得$BE=DE$，即E为BD的中点。
∵$BD// x$轴，点B的纵坐标为4，
∴点D的纵坐标也为4，将$y=4$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$x=\frac{k}{4}$，即点D的坐标为$(\frac{k}{4},4)$。
∵E是BD中点，B点横坐标为0，D点横坐标为$\frac{k}{4}$，
∴E点横坐标为$\frac{0+\frac{k}{4}}{2}=\frac{k}{8}$，纵坐标为4。
又
∵$CE⊥ BD$，BD为水平线段，
∴CE为竖直线段，点C的横坐标与E点相同，为$\frac{k}{8}$。
将$x=\frac{k}{8}$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$y=\frac{k}{\frac{k}{8}}=8$，即点C的坐标为$(\frac{k}{8},8)$。
∵点C在一次函数$y=2x+4$的图象上，
∴将C点坐标代入得：$8=2×\frac{k}{8}+4$，
整理得$\frac{k}{4}+4=8$，解得$k=16$。
【答案】
(1)$A(-2,0)$，$B(0,4)$；
(2)$k=16$
【知识点】
一次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是一次函数、反比例函数与等腰三角形的综合题，解题的关键是利用坐标轴上点的特征、等腰三角形三线合一的性质，结合函数图象上点的坐标满足对应函数解析式的规律，用含k的式子表示出相关点的坐标，再列方程求解，侧重对基础知识点综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

2.「2025甘肃中考」如图,一次函数$y=x+4$的图象交$x$轴于点$A$,交反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＜0)$的图象于点$B(-1,a)$.将一次函数$y=x+4$的图象向下平移$m(m＞0)$个单位长度,所得的图象交$x$轴于点$C$.
(1)求反比例函数$y=\frac{k}{x}$的表达式.
(2)当$△ ABC$的面积为3时,求$m$的值.

(1)
∵y=x+4的图象与$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＜0)$的图象交于点B(-1,a),
∴a=-1+4=3,
∴B(-1,3),
∴k=-1×3=-3,
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{3}{x}$.
(2)如图,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,
∵B(-1,3),
∴BD=3.
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BD=3$,
∴$\frac{1}{2}AC×3=3$,
∴AC=2.
∵一次函数y=x+4的图象与x轴交于点A,
∴A(-4,0).
将y=x+4的图象向下平移m(m＞0)个单位长度,得到的图象对应的表达式为y=x+4-m,
令y=0,得x=m-4,
∴C(m-4,0),
∴AC=m-4-(-4),即2=m-4-(-4),
∴m=2.

【分析】
(1) 要确定反比例函数的表达式，需先得到其图象上某点的坐标。已知点B是一次函数与反比例函数的交点，因此先将B点横坐标代入一次函数解析式求出纵坐标a，得到B点完整坐标后，再代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$即可求出k的值，得到反比例函数表达式。
(2) 要求m的值，首先利用三角形面积公式求AC的长度：△ABC的顶点A、C都在x轴上，因此底为AC，高为点B到x轴的距离（即B点纵坐标的绝对值）。先通过面积计算出AC的长度，再求出原一次函数与x轴交点A的坐标；根据一次函数平移“上加下减”的规律得到平移后的函数解析式，求出平移后函数与x轴交点C的坐标，最后根据AC的长度列方程即可解出m的值。
【解析】
(1)
∵一次函数$y=x+4$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＜0)$的图象交于点$B(-1,a)$，
将$x=-1$代入$y=x+4$，得$a=-1+4=3$，
∴点B的坐标为$(-1,3)$，
将$B(-1,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=-1×3=-3$，
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{3}{x}$。
(2) 如图，过点B作$BD⊥x$轴，垂足为D，
∵$B(-1,3)$，
∴$BD=3$，
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AC·BD=3$，
代入$BD=3$得：$\frac{1}{2}×AC×3=3$，解得$AC=2$，
∵一次函数$y=x+4$的图象交x轴于点A，令$y=0$，得$x=-4$，
∴点A的坐标为$(-4,0)$，
将一次函数$y=x+4$的图象向下平移$m(m＞0)$个单位长度，所得图象对应的函数表达式为$y=x+4-m$，
令$y=0$，得$0=x+4-m$，解得$x=m-4$，
∴点C的坐标为$(m-4,0)$，
∴$AC=m-4-(-4)=m$，
又
∵$AC=2$，
∴$m=2$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{3}{x}}$；
(2) $m$的值为$\boldsymbol{2}$。

【知识点】
反比例函数解析式求解、一次函数平移、三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，考查了函数交点坐标的求解、一次函数平移规律以及利用三角形面积求参数的方法，解题核心是准确求出点的坐标和平移后函数的解析式，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

3.「2025四川凉山州中考」如图,一次函数$y_1=ax+b$的图象与反比例函数$y_2=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(6,1),B(2,m)$.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)利用图象,直接写出关于$x$的不等式$ax+b＞\frac{k}{x}$的解集:.
(3)在$x$轴上找一点$C$,使$△ ABC$的周长最小,并求出最小值.

(1)
∵反比例函数$y_2=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点A(6,1),
∴$1=\frac{k}{6}$,解得k=6,
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{6}{x}$.
在$y_2=\frac{6}{x}$中,当x=2时,$y_2=\frac{6}{2}=3$,
∴B(2,3),
∵一次函数$y_1=ax+b$的图象与反比例函数$y_2=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点A(6,1),B(2,3),
∴$\begin{cases}6a+b=1,\\2a+b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2},\\b=4,\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y_1=-\frac{1}{2}x+4$.
(2)2＜x＜6.
(3)如图所示,作点B关于x轴的对称点D,则D(2,-3),在x轴上任取一点C,连接BC,AC,DC,AD,
由轴对称的性质可得DC=BC,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AC+DC,
∵A(6,1),B(2,3),
∴$AB=\sqrt{(2-6)^2+(3-1)^2}=2\sqrt{5}$,
∴当AC+DC有最小值时,△ABC的周长有最小值,
∵AC+DC≥AD,
∴当A,C,D三点共线时,AC+DC有最小值,即此时△ABC的周长有最小值,最小值为$AD+2\sqrt{5}$,
∵A(6,1),D(2,-3),
∴$AD=\sqrt{(2-6)^2+(-3-1)^2}=4\sqrt{2}$,
∴△ABC的周长的最小值为$4\sqrt{2}+2\sqrt{5}$.

【分析】
(1) 求反比例函数解析式时，已知其图象过点A(6,1)，将A点坐标代入反比例函数表达式即可求出k值；再将B点横坐标代入反比例解析式求出m，得到B点完整坐标，最后把A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组即可求得一次函数的系数，得到一次函数解析式。
(2) 不等式$ax+b＞\frac{k}{x}$的几何意义是一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围，结合两函数交点的横坐标和x＞0的限定，可直接写出解集。
(3) △ABC的周长为AB+AC+BC，其中AB长度固定，因此只需让AC+BC最小即可让周长最小。利用轴对称的“将军饮马”模型，作B关于x轴的对称点D，根据轴对称性质得BC=DC，那么AC+BC=AC+DC，当A、C、D三点共线时AC+DC最小，等于AD的长度，最后计算AB和AD的长度之和即可得到周长最小值。
【解析】
(1)
∵反比例函数$y_2=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点A(6,1),
∴$1=\frac{k}{6}$,解得k=6,
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{6}{x}$.
在$y_2=\frac{6}{x}$中,当x=2时,$y_2=\frac{6}{2}=3$,
∴B(2,3),
∵一次函数$y_1=ax+b$的图象经过点A(6,1),B(2,3),
∴$\begin{cases}6a+b=1,\\2a+b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2},\\b=4,\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y_1=-\frac{1}{2}x+4$.
(2) 观察图象可得，一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围是2＜x＜6，即不等式$ax+b＞\frac{k}{x}$的解集为2＜x＜6。
(3) 如图所示,作点B关于x轴的对称点D,则D(2,-3),在x轴上任取一点C,连接BC,AC,DC,AD,
由轴对称的性质可得DC=BC,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AC+DC,
∵A(6,1),B(2,3),
∴$AB=\sqrt{(2-6)^2+(3-1)^2}=2\sqrt{5}$,
∴当AC+DC有最小值时,△ABC的周长有最小值,
根据两点之间线段最短可知$AC+DC≥AD$,
∴当A,C,D三点共线时,AC+DC有最小值,即此时△ABC的周长有最小值,最小值为$AD+2\sqrt{5}$,
∵A(6,1),D(2,-3),
∴$AD=\sqrt{(2-6)^2+(-3-1)^2}=4\sqrt{2}$,
∴△ABC的周长的最小值为$4\sqrt{2}+2\sqrt{5}$.
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y_2=\frac{6}{x}$，一次函数解析式为$y_1=-\frac{1}{2}x+4$；
(2) $\boldsymbol{2＜x＜6}$；
(3) 点C为AD与x轴的交点时△ABC周长最小，最小值为$\boldsymbol{4\sqrt{2}+2\sqrt{5}}$。

【知识点】
待定系数法求函数解析式，函数图象解不等式，轴对称最短路径
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，既考查了函数解析式求解、数形结合解不等式等基础内容，也结合最短路径模型考查了转化思想，是中考常见的综合类考点。
【难度系数】
0.7