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8. 情境 现实生活 社会发展「2026山东济南期中，★☆」2025年某市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时，假设某条主干道的交通流量$Q$(单位:辆/小时)与车辆的平均速度$v$(单位:千米/小时)之间的关系可以用反比例函数来描述.已知当车辆的平均速度为40千米/小时时，交通流量$Q$为1200辆/小时，如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，那么车辆的平均速度应至少达到
48
千米/小时.答案
48
解析 设 $Q=\frac{k}{v}(k≠0)$,由题意知,$Q＞0$,$v＞0$,当 $v=40$时,$Q=1\ 200$,
∴ $k=40×1\ 200=48\ 000$,
∴ $Q=\frac{48\ 000}{v}$,
∵ $k＞0$,
∴ 当 $Q≤1\ 000$ 时,$v≥48\ 000÷1\ 000=48$,即如果交通管理部门希望将交通流量控制在1 000辆/小时以内,那么车辆的平均速度应至少达到48千米/小时.
解析 设 $Q=\frac{k}{v}(k≠0)$,由题意知,$Q＞0$,$v＞0$,当 $v=40$时,$Q=1\ 200$,
∴ $k=40×1\ 200=48\ 000$,
∴ $Q=\frac{48\ 000}{v}$,
∵ $k＞0$,
∴ 当 $Q≤1\ 000$ 时,$v≥48\ 000÷1\ 000=48$,即如果交通管理部门希望将交通流量控制在1 000辆/小时以内,那么车辆的平均速度应至少达到48千米/小时.
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路为：首先根据题意设出Q与v的反比例函数解析式，再利用已知条件求出解析式中的比例系数k，最后根据“交通流量控制在1000辆/小时以内”的要求，代入解析式得到关于v的不等式，解不等式即可求出车辆平均速度的最小值。
【解析】
设反比例函数解析式为$ Q = \frac{k}{v} (k ≠ 0, v＞0, Q＞0) $，将$ v=40 $，$ Q=1200 $代入解析式，得$ 1200 = \frac{k}{40} $，解得$ k = 40 × 1200 = 48000 $，因此函数解析式为$ Q = \frac{48000}{v} $。
根据题意，交通流量控制在1000辆/小时以内，即$ Q ≤ 1000 $，代入解析式得$ \frac{48000}{v} ≤ 1000 $，因为$ v＞0 $，两边同乘v不等号方向不变，得$ 48000 ≤ 1000v $，解得$ v ≥ 48 $，即车辆的平均速度应至少达到48千米/小时。
【答案】
48
【知识点】
反比例函数的应用
【点评】
本题考查反比例函数的实际应用，核心是利用待定系数法求函数解析式，再结合不等式解决实际问题，属于常规基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路为：首先根据题意设出Q与v的反比例函数解析式，再利用已知条件求出解析式中的比例系数k，最后根据“交通流量控制在1000辆/小时以内”的要求，代入解析式得到关于v的不等式，解不等式即可求出车辆平均速度的最小值。
【解析】
设反比例函数解析式为$ Q = \frac{k}{v} (k ≠ 0, v＞0, Q＞0) $，将$ v=40 $，$ Q=1200 $代入解析式，得$ 1200 = \frac{k}{40} $，解得$ k = 40 × 1200 = 48000 $，因此函数解析式为$ Q = \frac{48000}{v} $。
根据题意，交通流量控制在1000辆/小时以内，即$ Q ≤ 1000 $，代入解析式得$ \frac{48000}{v} ≤ 1000 $，因为$ v＞0 $，两边同乘v不等号方向不变，得$ 48000 ≤ 1000v $，解得$ v ≥ 48 $，即车辆的平均速度应至少达到48千米/小时。
【答案】
48
【知识点】
反比例函数的应用
【点评】
本题考查反比例函数的实际应用，核心是利用待定系数法求函数解析式，再结合不等式解决实际问题，属于常规基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
9.「2025江苏常州溧阳期末，★☆」人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为60 km/h时，视野为80度，如果视野f(单位:度)是车速v(单位:km/h)的反比例函数.
(1)求f与v之间的函数关系式.
(2)计算当车速为120 km/h时视野的度数.
(3)若在某山区弯道行车时，考虑交通安全，综合环境的影响，视野的度数至少要求是160度，求车速最多是多少.
(1)求f与v之间的函数关系式.
(2)计算当车速为120 km/h时视野的度数.
(3)若在某山区弯道行车时，考虑交通安全，综合环境的影响，视野的度数至少要求是160度，求车速最多是多少.
答案
(1)设 $f$ 与 $v$ 之间的函数关系式为 $f=\frac{k}{v}$($k$ 为常数,且 $k≠0$),
将 $v=60$,$f=80$ 代入 $f=\frac{k}{v}$,解得 $k=4\ 800$,
∴ $f$ 与 $v$ 之间的函数关系式为 $f=\frac{4\ 800}{v}$.
(2)当 $v=120$ 时,$f=\frac{4\ 800}{120}=40$,
∴ 当车速为 $120\ \mathrm{km/h}$ 时视野为 40 度.
(3)根据题意,得 $\frac{4\ 800}{v}≥160$,解得 $v≤30$,
∴ 车速最多是 $30\ \mathrm{km/h}$.
将 $v=60$,$f=80$ 代入 $f=\frac{k}{v}$,解得 $k=4\ 800$,
∴ $f$ 与 $v$ 之间的函数关系式为 $f=\frac{4\ 800}{v}$.
(2)当 $v=120$ 时,$f=\frac{4\ 800}{120}=40$,
∴ 当车速为 $120\ \mathrm{km/h}$ 时视野为 40 度.
(3)根据题意,得 $\frac{4\ 800}{v}≥160$,解得 $v≤30$,
∴ 车速最多是 $30\ \mathrm{km/h}$.
解析
【分析】这是一道反比例函数的实际应用题，解题思路如下：(1) 已知视野f与车速v为反比例函数关系，先设反比例函数解析式为$f=\frac{k}{v}$（k≠0），代入已知的v=60、f=80求出常数k，进而确定函数关系式；(2) 求车速为120km/h时的视野，只需将v=120代入已求得的函数关系式计算f的值；(3) 要求视野至少160度，即$f≥160$，代入函数关系式得到关于v的不等式，解不等式即可得到车速的最大值。
【解析】(1) 设$f$与$v$之间的函数关系式为$f=\frac{k}{v}$（$k$为常数，且$k≠0$），将$v=60$，$f=80$代入得：$80=\frac{k}{60}$，解得$k=4800$，因此$f$与$v$之间的函数关系式为$f=\frac{4800}{v}$；(2) 当$v=120$时，代入函数关系式得$f=\frac{4800}{120}=40$，即车速为120 km/h时视野为40度；(3) 由视野至少160度，得$\frac{4800}{v}≥160$，因为车速$v＞0$，两边同乘$v$得$4800≥160v$，解得$v≤30$，即车速最多是30 km/h。
【答案】(1) $f=\frac{4800}{v}$；(2) 40度；(3) 30 km/h
【知识点】反比例函数的应用，解一元一次不等式
【点评】本题考查反比例函数在实际问题中的应用，核心是掌握反比例函数解析式的确定方法，以及利用函数关系解决求值和不等式问题，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】0.5
【解析】(1) 设$f$与$v$之间的函数关系式为$f=\frac{k}{v}$（$k$为常数，且$k≠0$），将$v=60$，$f=80$代入得：$80=\frac{k}{60}$，解得$k=4800$，因此$f$与$v$之间的函数关系式为$f=\frac{4800}{v}$；(2) 当$v=120$时，代入函数关系式得$f=\frac{4800}{120}=40$，即车速为120 km/h时视野为40度；(3) 由视野至少160度，得$\frac{4800}{v}≥160$，因为车速$v＞0$，两边同乘$v$得$4800≥160v$，解得$v≤30$，即车速最多是30 km/h。
【答案】(1) $f=\frac{4800}{v}$；(2) 40度；(3) 30 km/h
【知识点】反比例函数的应用，解一元一次不等式
【点评】本题考查反比例函数在实际问题中的应用，核心是掌握反比例函数解析式的确定方法，以及利用函数关系解决求值和不等式问题，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】0.5
10. 情境 中华优秀传统文化 核心素养 模型观念 「2026河北廊坊月考」嘉嘉在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具(如图)，有一横杆固定于桔槔上点O处，并可绕点O转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定一块300 N的坠石，且OB=1 m.当横杆处于水平状态时，若改变OA的长l(单位:m,l≤2)，图中人物竖直向下施加的拉力F(单位:N)也随之改变.(提示:动力×动力臂=阻力×阻力臂)
(1)求F与l之间的函数解析式.
(2)当OA=1.5 m时，求拉力F.
(3)如果拉力F不超过250 N，那么OA的长应控制在什么范围？
(1)求F与l之间的函数解析式.
(2)当OA=1.5 m时，求拉力F.
(3)如果拉力F不超过250 N，那么OA的长应控制在什么范围？
答案
(1)根据题意得 $Fl=300×1$,
∴ $F=\frac{300}{l}(0＜l≤2)$.
(2)当 $OA=1.5\ \mathrm{m}$,即 $l=1.5\ \mathrm{m}$ 时,
拉力 $F=\frac{300}{1.5}=200(\mathrm{N})$.
(3)当 $F=250\ \mathrm{N}$ 时,$250=\frac{300}{l}$,解得 $l=1.2\ \mathrm{m}$,
∵ 拉力 $F$ 不超过 $250\ \mathrm{N}$,$l≤2$,
∴ $1.2≤l≤2$.
∴ $F=\frac{300}{l}(0＜l≤2)$.
(2)当 $OA=1.5\ \mathrm{m}$,即 $l=1.5\ \mathrm{m}$ 时,
拉力 $F=\frac{300}{1.5}=200(\mathrm{N})$.
(3)当 $F=250\ \mathrm{N}$ 时,$250=\frac{300}{l}$,解得 $l=1.2\ \mathrm{m}$,
∵ 拉力 $F$ 不超过 $250\ \mathrm{N}$,$l≤2$,
∴ $1.2≤l≤2$.
解析
【分析】
本题结合古代汲水工具桔槔，利用杠杆平衡条件（动力×动力臂=阻力×阻力臂）建立函数关系，进而解决函数求值和取值范围问题。首先明确杠杆的动力、动力臂、阻力、阻力臂：动力是拉力$ F $，动力臂是$ OA=l $；阻力是坠石的重力300N，阻力臂是$ OB=1\ \mathrm{m} $，根据杠杆平衡条件列等式推导函数，再代入计算和确定范围。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，代入已知条件得：
$ Fl = 300 × 1 $，
整理得函数解析式：$ F = \frac{300}{l} $，结合题意$ l $的取值范围为$ 0 ＜ l ≤ 2 $，因此$ F $与$ l $的函数解析式为$ F = \frac{300}{l}(0 ＜ l ≤ 2) $。
(2) 当$ OA = 1.5\ \mathrm{m} $时，即$ l = 1.5 $，代入函数解析式：
$ F = \frac{300}{1.5} = 200(\mathrm{N}) $。
(3) 已知拉力$ F $不超过250N，即$ F ≤ 250 $，代入函数解析式得：
$ \frac{300}{l} ≤ 250 $，
因为$ l ＞ 0 $，两边同乘$ l $不等号方向不变，解得$ l ≥ 1.2 $，结合题目中$ l ≤ 2 $，因此$ OA $的长应控制在$ 1.2 ≤ l ≤ 2 $。
【答案】
(1) $ F=\frac{300}{l}(0＜l≤2) $；(2) $ 200\ \mathrm{N} $；(3) $ 1.2≤l≤2 $
【知识点】
反比例函数、杠杆平衡条件
【点评】
本题结合古代科技情境，将物理杠杆平衡知识与数学反比例函数结合，考查知识的实际应用，难度适中，注重跨学科知识的融合运用。
【难度系数】
0.6
本题结合古代汲水工具桔槔，利用杠杆平衡条件（动力×动力臂=阻力×阻力臂）建立函数关系，进而解决函数求值和取值范围问题。首先明确杠杆的动力、动力臂、阻力、阻力臂：动力是拉力$ F $，动力臂是$ OA=l $；阻力是坠石的重力300N，阻力臂是$ OB=1\ \mathrm{m} $，根据杠杆平衡条件列等式推导函数，再代入计算和确定范围。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，代入已知条件得：
$ Fl = 300 × 1 $，
整理得函数解析式：$ F = \frac{300}{l} $，结合题意$ l $的取值范围为$ 0 ＜ l ≤ 2 $，因此$ F $与$ l $的函数解析式为$ F = \frac{300}{l}(0 ＜ l ≤ 2) $。
(2) 当$ OA = 1.5\ \mathrm{m} $时，即$ l = 1.5 $，代入函数解析式：
$ F = \frac{300}{1.5} = 200(\mathrm{N}) $。
(3) 已知拉力$ F $不超过250N，即$ F ≤ 250 $，代入函数解析式得：
$ \frac{300}{l} ≤ 250 $，
因为$ l ＞ 0 $，两边同乘$ l $不等号方向不变，解得$ l ≥ 1.2 $，结合题目中$ l ≤ 2 $，因此$ OA $的长应控制在$ 1.2 ≤ l ≤ 2 $。
【答案】
(1) $ F=\frac{300}{l}(0＜l≤2) $；(2) $ 200\ \mathrm{N} $；(3) $ 1.2≤l≤2 $
【知识点】
反比例函数、杠杆平衡条件
【点评】
本题结合古代科技情境，将物理杠杆平衡知识与数学反比例函数结合，考查知识的实际应用，难度适中，注重跨学科知识的融合运用。
【难度系数】
0.6
