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15.「★☆」如图所示的是一个数值转换机，若输出的结果为-32，则输入x的值为
±4
。答案
±4
解析 由题意可得 $x^2×(-2) = -32$,
所以 $x^2 = 16$,所以 $x = ±4$.
解析 由题意可得 $x^2×(-2) = -32$,
所以 $x^2 = 16$,所以 $x = ±4$.
16.「2026上海松江月考改编，★☆」如果$\sqrt{1-3x}$和$\sqrt{y-27}$互为相反数，那么$xy$的平方根是
±3
。答案
±3
解析 因为 $\sqrt{1-3x}$ 和 $\sqrt{y-27}$ 互为相反数,
所以 $\sqrt{1-3x}+\sqrt{y-27}=0$,
所以 $1-3x=0,y-27=0$,
解得 $x=\dfrac{1}{3},y=27$,所以 $xy=\dfrac{1}{3}×27=9$.
因为 9 的平方根为±3,
所以 $xy$ 的平方根是±3.
解析 因为 $\sqrt{1-3x}$ 和 $\sqrt{y-27}$ 互为相反数,
所以 $\sqrt{1-3x}+\sqrt{y-27}=0$,
所以 $1-3x=0,y-27=0$,
解得 $x=\dfrac{1}{3},y=27$,所以 $xy=\dfrac{1}{3}×27=9$.
因为 9 的平方根为±3,
所以 $xy$ 的平方根是±3.
17.「2026四川成都期末，★☆」在数轴上，点A表示的数a的平方为16，点B表示的数b的绝对值为3，且点A，B位于原点的两侧，则线段AB的中点表示的数为
$\pm\frac{1}{2}$
。答案
$\pm\dfrac{1}{2}$
解析 因为 a 的平方为 16,所以 $a=±4$,因为 b 的绝对值为 3,所以 $b=±3$,因为点 A,B 位于原点的两侧,所以 $a=4,b=-3$ 或 $a=-4,b=3$.当 $a=4,b=-3$ 时,线段 AB 的中点表示的数为$(4-3)÷2=\dfrac{1}{2}$;当 $a=-4,b=3$ 时,线段 AB 的中点表示的数为$(3-4)÷2=-\dfrac{1}{2}$.综上,线段 AB 的中点表示的数为$\pm\dfrac{1}{2}$.
解析 因为 a 的平方为 16,所以 $a=±4$,因为 b 的绝对值为 3,所以 $b=±3$,因为点 A,B 位于原点的两侧,所以 $a=4,b=-3$ 或 $a=-4,b=3$.当 $a=4,b=-3$ 时,线段 AB 的中点表示的数为$(4-3)÷2=\dfrac{1}{2}$;当 $a=-4,b=3$ 时,线段 AB 的中点表示的数为$(3-4)÷2=-\dfrac{1}{2}$.综上,线段 AB 的中点表示的数为$\pm\dfrac{1}{2}$.
18.「2026河南周口月考，★☆」在学习了平方根后，小明同学提出了一个有趣的问题：一个数的算术平方根为$3x-2$，平方根为$\pm(x+2)$，求这个数.
小明的解答过程如下：
解:因为一个数的算术平方根为$3x-2$，平方根为$\pm(x+2)$，
所以$3x-2=x+2$或$3x-2=-(x+2)$.
①当$3x-2=x+2$时，解得$x=2$，
所以$(3x-2)^2=16$，所以这个数为16.
②当$3x-2=-(x+2)$时，解得$x=0$，
所以$(3x-2)^2=4$，所以这个数为4.
综上所述，这个数为16或4.
小明的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程.
小明的解答过程如下：
解:因为一个数的算术平方根为$3x-2$，平方根为$\pm(x+2)$，
所以$3x-2=x+2$或$3x-2=-(x+2)$.
①当$3x-2=x+2$时，解得$x=2$，
所以$(3x-2)^2=16$，所以这个数为16.
②当$3x-2=-(x+2)$时，解得$x=0$，
所以$(3x-2)^2=4$，所以这个数为4.
综上所述，这个数为16或4.
小明的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程.
答案
不正确,正确的解答过程如下:
因为一个数的算术平方根为 $3x-2$,平方根为$\pm(x+2)$,
所以 $3x-2=x+2$ 或 $3x-2=-(x+2)$.
①当 $3x-2=x+2$ 时,解得 $x=2$,
此时 $3x-2=4$,$\pm(x+2)=\pm4$,$4^2=16$,故这个数为 16.
②当 $3x-2=-(x+2)$ 时,解得 $x=0$,
此时 $3x-2=-2＜0$,不符合题意,舍去.
综上所述,这个数为 16.
因为一个数的算术平方根为 $3x-2$,平方根为$\pm(x+2)$,
所以 $3x-2=x+2$ 或 $3x-2=-(x+2)$.
①当 $3x-2=x+2$ 时,解得 $x=2$,
此时 $3x-2=4$,$\pm(x+2)=\pm4$,$4^2=16$,故这个数为 16.
②当 $3x-2=-(x+2)$ 时,解得 $x=0$,
此时 $3x-2=-2＜0$,不符合题意,舍去.
综上所述,这个数为 16.
19. 核心素养 推理能力 「2026江苏无锡期中」小明是一位勤于思考、勇于创新的同学.在学了平方根的有关知识后,他知道负数没有平方根.例如:因为没有一个实数的平方等于-1,所以-1没有平方根.有一天,小明产生了一个想法:假设存在一个数$i$,使$i^2=-1$,那么$(-i)^2=-1$,因此-1就有两个平方根$i$和$-i$了.同时,因为$(±2i)^2=(±2)^2i^2=-4$,所以-4的平方根是$±2i$.因为$(±3i)^2=(±3)^2i^2=-9$,所以-9的平方根是$±3i$.请你根据上面的材料解答下列问题.
(1)求$-25,-36$的平方根(写成因为……,所以……的形式).
(2)求$i+i^2+i^3+…+i^{2025}$的值.
(3)求$(3+2i)^2$和$(3+2i)×(3-2i)$的值.
(1)求$-25,-36$的平方根(写成因为……,所以……的形式).
(2)求$i+i^2+i^3+…+i^{2025}$的值.
(3)求$(3+2i)^2$和$(3+2i)×(3-2i)$的值.
答案
(1) 因为 $(±5i)^2=(±5)^2i^2=-25$,所以-25 的平方根是±5i.
因为 $(±6i)^2=(±6)^2i^2=-36$,所以-36 的平方根是±6i.
(2)$i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,i^5=i,i^6=-1,i^7=-i,i^8=1,······$,由此可发现,化简后每 4 个加数为一个循环,分别为 $i,-1,-i,1$,因为 2 025÷4 = 506……1,所以 $i+i^2+i^3+\dots+i^{2\ 025}=506×(i-1-i+1)+i=i$.
(3) $(3+2i)^2=9+12i+4i^2=5+12i$.
$(3+2i)×(3-2i)=9-4i^2=13$.
因为 $(±6i)^2=(±6)^2i^2=-36$,所以-36 的平方根是±6i.
(2)$i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,i^5=i,i^6=-1,i^7=-i,i^8=1,······$,由此可发现,化简后每 4 个加数为一个循环,分别为 $i,-1,-i,1$,因为 2 025÷4 = 506……1,所以 $i+i^2+i^3+\dots+i^{2\ 025}=506×(i-1-i+1)+i=i$.
(3) $(3+2i)^2=9+12i+4i^2=5+12i$.
$(3+2i)×(3-2i)=9-4i^2=13$.
