初中数学
八年级
上册
人教版
8.「2026湖北十堰期末改编，★☆」如图，已知点P的坐标为$(a,b-2)$，根据作图痕迹判断$a$与$b$的数量关系为（）

A.$a+b=2$
B.$a-b=2$
C.$a+b=-2$
D.$a-b=-2$

8.A 由作图可知 P 点为第二象限角平分线上的点,
∵ 点 P 的坐标为(a,b-2),
∴ a+b-2 = 0,
∴ a+b = 2.故选 A.

9.「2026广东汕头期末，★☆」如图，在$△ ABC$中，与$∠ ABC$和$∠ ACB$共顶点的外角平分线$BP$，$CP$交于点$P$，$PE ⊥ AC$于点$E$.若$△ ABC$的面积为10，$△ BPC$的面积为7，$PE=4$，则$△ ABC$的周长为.

9.答案 12
解析 如图,连接 AP,过点 P 作 PF ⊥ BC 于点 F,PG ⊥ AB 于点 G,
∵ 与∠ABC 和∠ACB 共顶点的外角平分线 BP,CP 交于点 P,PE ⊥ AC,PF ⊥ BC,PG ⊥ AB,
∴ PG = PF = PE = 4,
∵ △BPC 的面积为 7,
∴ $\frac{1}{2}BC×4=7$,
∴ $BC=\frac{7}{2}$,
∵ △ABC 的面积为 10,
∴ $\frac{1}{2}AB×4+\frac{1}{2}AC×4-7=10$,
∴ $AB+AC=\frac{17}{2}$,
∴ △ABC 的周长 = $AB+AC+BC=\frac{17}{2}+\frac{7}{2}=12$.故答案为 12.

10.「2026山西朔州期末，★★」如图，AP为$△ ABC$的角平分线，$∠ C=90°$，$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{5}{13}$，$BC=6$，$D$为$AB$上一动点，连接$PD$，则$PD$的最小值为。

10.答案 $\frac{5}{3}$
解析 如图,过点 P 作 PE ⊥ AB 于点 E,
∵ AP 为△ABC 的角平分线,∠C = 90°,PE ⊥ AB,
∴ PC = PE,
∴ $\frac{S_{△ACP}}{S_{△ABP}}=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$,
∵ $\frac{S_{△ACP}}{S_{△ABP}}=\frac{\frac{1}{2}PC·AC}{\frac{1}{2}PB·AC}=\frac{PC}{PB}$,
∴ $\frac{PC}{PB}=\frac{5}{13}$,
设 PC = 5k,则 PB = 13k,
∴ BC = 18k,
∵ BC = 6,
∴ 18k = 6,解得 $k=\frac{1}{3}$,
∴ PE = PC = $\frac{5}{3}$,
∵ D 为 AB 上一动点,
∴ 当 PD ⊥ AB 时,PD 有最小值,此时点 D 与点 E 重合,故 PD 的最小值为 $\frac{5}{3}$.

11.「2026陕西渭南期末，★☆」如图，AD为$△ ABC$的中线，BE为$△ ABD$的角平分线，过点E作$EN ⊥ AB$于点N，EM为$△ BED$的高.
(1)若$∠ BED = 40°$，$∠ BAD = 25°$，求$∠ ABD$的度数.
(2)若$AB = 16$，$BD = 8$，$△ ABC$的面积为64，求EM的长.

11.解析 (1)由条件可知∠ABE = ∠BED - ∠BAD = 40°-25° = 15°,
∵ BE 为△ABD 的角平分线,
∴ ∠ABD = 2∠ABE = 30°.
(2)
∵ AD 为△ABC 的中线,
∴ $S_{△ABD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=32$,
∵ BE 为△ABD 的角平分线,EN ⊥ AB,EM 为△BED 的高,
∴ NE = ME,
∵ $S_{△ABD}=S_{△ABE}+S_{△BDE}=32$,
∴ $\frac{1}{2}AB·NE+\frac{1}{2}BD·ME=32$,
∵ AB = 16,BD = 8,NE = ME,
∴ $\frac{1}{2}×16ME+\frac{1}{2}×8ME=32$,解得 $ME=\frac{8}{3}$.

12. 核心素养 推理能力 已知点 C 是∠MAN 的平分线上一点,∠BCD 的两边 CB,CD 分别与射线 AM,AN 相交于 B,D 两点,且∠ABC+∠ADC=180°.过点 C 作 CE⊥AM,垂足为 E.
(1)如图1,当点 E 在线段 AB 上时,求证:BC=DC.
(2)如图2,当点 E 在线段 AB 的延长线上时,探究线段 AB,AD 与 BE 之间的数量关系.
(3)如图3,在(2)的条件下,若∠MAN=60°,连接 BD,作∠ABD 的平分线 BF 交 AD 于点 F,交 AC 于点 O,连接 DO 并延长交 AB 于点 G,若 BG=1,DF=2,求线段 DB 的长.

12.解析 (1)证明:如图,过点 C 作 CF ⊥ AN,垂足为 F.
∵ AC 平分∠MAN,CE ⊥ AB,CF ⊥ AN,
∴ CE = CF,∠CEB = ∠CFD = 90°,
∵ ∠CBE + ∠ADC = 180°,∠CDF + ∠ADC = 180°,
∴ ∠CBE = ∠CDF.
在△BCE 和△DCF 中,$\begin{cases} ∠CBE = ∠CDF, \\ ∠CEB = ∠CFD, \\ CE = CF, \end{cases}$
∴ △BCE ≅ △DCF(AAS),
∴ BC = DC.

(2)如图,过点 C 作 CF ⊥ AD,垂足为 F.
∵ AC 平分∠MAN,CE ⊥ AM,CF ⊥ AD,
∴ CE = CF,∠CFA = ∠CEA = 90°,
易证△ACE ≅ △ACF,
∴ AE = AF.
∵ ∠ABC+∠ADC = 180°,∠ABC+∠CBE = 180°,
∴ ∠CDF = ∠CBE.
在△BCE 和△DCF 中,$\begin{cases} ∠CBE = ∠CDF, \\ ∠CEB = ∠CFD = 90°, \\ CE = CF, \end{cases}$
∴ △BCE ≅ △DCF(AAS),
∴ BE = DF,
∴ AD = AF+DF = AE+DF = AB+BE+DF = AB+2BE,
∴ AD-AB = 2BE.

(3)如图,在 BD 上截取 BH = BG,连接 OH.
∵ BF 平分∠ABD,
∴ ∠ABF = ∠DBF,
在△OBH 和△OBG 中,
$\begin{cases} BH = BG, \\ ∠OBH = ∠OBG, \\ OB = OB, \end{cases}$
∴ △OBH ≅ △OBG(SAS),
∴ ∠OHB = ∠OGB,∠BOH = ∠BOG.
∵ AO 是∠MAN 的平分线,BO 是∠ABD 的平分线,
∴ DO 平分∠ADB,
∴ ∠ODH = ∠ODF.
∵ ∠OHB = ∠ODH+∠DOH,∠OGB = ∠ODF+∠DAB,
∴ ∠DOH = ∠DAB = 60°,
∴ ∠GOH = 180°-∠DOH = 120°,
∴ ∠BOG = ∠BOH = 60°,
∴ ∠DOF = ∠BOG = 60°,
∴ ∠DOH = ∠DOF.
在△ODH 和△ODF 中,$\begin{cases} ∠DOH = ∠DOF, \\ OD = OD, \\ ∠ODH = ∠ODF, \end{cases}$
∴ △ODH ≅ △ODF(ASA),
∴ DH = DF,
∴ DB = DH+BH = DF+BG = 2+1 = 3.