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1. 学科特色教材变式「2026浙江台州期中」两个完全一样的三角尺如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（
A.∠A的平分线上
B.AC边的高上
C.∠B的平分线上
D.AB边的中线上
A
）A.∠A的平分线上
B.AC边的高上
C.∠B的平分线上
D.AB边的中线上
答案
1.A
2.已知,如图,OC是∠AOB内部的一条射线,P是射线OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,下列条件:①∠AOC=∠BOC,②PD=PE,③OD=OE,④∠DPO=∠EPO.其中,能判定OC是∠AOB的平分线的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.D ①
∵ ∠AOC=∠BOC,
∴ OC 是∠AOB 的平分线,故①符合题意;②
∵ PD ⊥ OA, PE ⊥ OB, PD = PE,
∴ OC 是∠AOB 的平分线,故②符合题意;③在 Rt△POD 和Rt△POE 中, $\begin{cases} OP=OP, \\ OD=OE, \end{cases}$
∴ Rt△POD≌Rt△POE(HL),
∴ ∠AOC= ∠BOC,
∴ OC 是∠AOB 的平分线,故③符合题意;④易得△POD≌△POE(AAS),
∴ ∠AOC =∠BOC,
∴ OC 是∠AOB 的平分线,故④符合题意,故选 D.
∵ ∠AOC=∠BOC,
∴ OC 是∠AOB 的平分线,故①符合题意;②
∵ PD ⊥ OA, PE ⊥ OB, PD = PE,
∴ OC 是∠AOB 的平分线,故②符合题意;③在 Rt△POD 和Rt△POE 中, $\begin{cases} OP=OP, \\ OD=OE, \end{cases}$
∴ Rt△POD≌Rt△POE(HL),
∴ ∠AOC= ∠BOC,
∴ OC 是∠AOB 的平分线,故③符合题意;④易得△POD≌△POE(AAS),
∴ ∠AOC =∠BOC,
∴ OC 是∠AOB 的平分线,故④符合题意,故选 D.
3.「2026海南乐东期末」如图,在$△ ABC$中,点$O$到三边的距离相等,$∠ BAC=70°$,则$∠ BOC=$
125°
.答案
3.答案 125°
解析
∵ 点 O 到△ABC 三边的距离相等,
∴ O 为△ABC 的三内角平分线的交点,
∴ ∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∵ ∠A=70°,
∴ ∠ABC+∠ACB=180°−∠A=110°,
∴ ∠OBC+∠OCB=55°,
∴ ∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=125°.
解析
∵ 点 O 到△ABC 三边的距离相等,
∴ O 为△ABC 的三内角平分线的交点,
∴ ∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∵ ∠A=70°,
∴ ∠ABC+∠ACB=180°−∠A=110°,
∴ ∠OBC+∠OCB=55°,
∴ ∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=125°.
4.「2026上海黄浦月考」如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB的中点，DE平分∠ADC。求证：CE平分∠BCD。
答案
4.证明 如图,过点 E 作 EF⊥CD,垂足为 F，
∵ ∠A=90°,DE 平分∠ADC,
∴ AE=EF.
∵ 点 E 为 AB 的中点,
∴ AE=BE,
∴ EF=BE.
∵ ∠B=90°,
∴ CE 平分∠BCD.
5.「2026四川广元月考改编」如图，$DE ⊥ AB$，交$AB$的延长线于点$E$，$BE = CF$，$DF ⊥ AC$于点$F$，且$DB = DC$，$∠ C = 40°$，求$∠ DAC$的度数.
答案
5.解析
∵ DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ ∠BED=∠CFD=90°,
∵ DB=DC,BE=CF,
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴ DE=DF,
∴ AD 是∠BAC 的平分线.
∵ ∠C=40°,
∴ ∠BAC=90°−40°=50°,
∴ ∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×50°=25°.
∵ DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ ∠BED=∠CFD=90°,
∵ DB=DC,BE=CF,
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴ DE=DF,
∴ AD 是∠BAC 的平分线.
∵ ∠C=40°,
∴ ∠BAC=90°−40°=50°,
∴ ∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×50°=25°.
6.「2026江苏淮安期中，★☆」如图，直线$l_1,l_2,l_3$表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（
A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
D
）A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
答案
6.D 如图,三条公路围成的中间部分为三角形,易知这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求.(1)三角形两个内角平分线的交点,共1处;(2)三个外角两两平分线的交点,共3处.综上,可供选择的地址有4处.故选 D.
7.「2026广东汕尾月考，★☆」如图，在$△ ABC$中，$P,Q$分别是$BC,AC$上的点，作$PR ⊥ AB$，$PS ⊥ AC$，垂足分别为$R,S$，若$∠ QAP = ∠ APQ$，$PR = PS$，则下列四个结论中正确的有（
①$AP$平分$∠ BAC$；②$AS = AR$；③$QP // AR$；
④$△ BRP ≌ △ CSP$.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
）①$AP$平分$∠ BAC$；②$AS = AR$；③$QP // AR$；
④$△ BRP ≌ △ CSP$.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
7.B
∵ PR=PS,PR⊥AB,PS⊥AC,
∴ AP 平分∠BAC,故①正确;
∵ AP 平分∠BAC,
∴ ∠RAP=∠QAP,
∵ ∠QAP=∠APQ,
∴ ∠RAP=∠APQ,
∴ QP//AR,故③正确;在Rt△RAP 和 Rt△SAP 中, $\begin{cases} AP=AP, \\ PR=PS, \end{cases}$
∴ Rt△RAP≌Rt△SAP(HL),
∴ AS=AR,故②正确;根据已知条件无法证得△BRP≌△CSP,故④错误.综上可知,结论正确的是①②③,共3个.故选 B.
∵ PR=PS,PR⊥AB,PS⊥AC,
∴ AP 平分∠BAC,故①正确;
∵ AP 平分∠BAC,
∴ ∠RAP=∠QAP,
∵ ∠QAP=∠APQ,
∴ ∠RAP=∠APQ,
∴ QP//AR,故③正确;在Rt△RAP 和 Rt△SAP 中, $\begin{cases} AP=AP, \\ PR=PS, \end{cases}$
∴ Rt△RAP≌Rt△SAP(HL),
∴ AS=AR,故②正确;根据已知条件无法证得△BRP≌△CSP,故④错误.综上可知,结论正确的是①②③,共3个.故选 B.
